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高考数学一轮复习 第2章 第6讲 对数与对数函数课时作业 文 新人教A版

时间:2018-08-03

第 6 讲 对数与对数函数

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数,则下列等式中恒成立的是 A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac 1 logab 解析 logab· logca=logab· = =logcb,故选 B. logac logac 答案 B 2.(2014· 郑州一模)函数 y=lg|x-1|的图象是 ( )

(

)

解析 当 x=1 时,函数无意义,故排除 B,D.又当 x=2 或 0 时,y=0,所以 A 项符合题 意. 答案 A 3.(2014· 安徽卷)设 a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则 ( ) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 解析 由 3<7<9 得 log33<log37<log39,∴1<a<2,由 21.1>21=2 得 b>2,由 0.83.1 <0.80=1 得 0<c<1,因此 c<a<b,故选 B. 答案 B 4.函数 f(x)=loga(ax-3)在[1,3]上单调递增,则 a 的取值范围是 ( ) A.(1,+∞) B.(0,1) 1 C.(0, ) 3 D.(3,+∞)

解析 由于 a>0,且 a≠1,∴u=ax-3 为增函数,∴若函数 f(x)为增函数,则 f(x)=logau 必为增函数,因此 a>1.又 y=ax-3 在[1,3]上恒为正,∴a-3>0,即 a>3,故选 D.
1

答案 D 5.(2014· 长春质检)已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则 ( ) A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) 解析 因为 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以 a>1,f(1)<f(2)<f(3).又函数 f(x)= loga|x|为偶函数,所以 f(2)=f(-2),所以 f(1)<f(-2)<f(3). 答案 B 二、填空题 6.(2014· 陕西卷)已知 4a=2,lg x=a,则 x=________. 1 解析 ∵4a=2,∴a=log42= , 2 1 1 ∴lg x= ,∴x=102 = 10. 2 答案 10 2 ,+∞?,则 a=______. 7.函数 y=log1 (3x-a)的定义域是? 3 ? ? 2 a 解析 要使函数有意义,则 3x-a>0,即 x> , 3 a 2 ∴ = ,∴a=2. 3 3 答案 2 8.(2014· 淄博一模)已知函数 f(x)为奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x,则满足不等式 f(x)>0 的 x 的取值范围是________.

解析 由题意知 y=f(x)的图象如图所示, 则 f(x)>0 的 x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞). 答案 (-1,0)∪(1,+∞) 三、解答题 1-x 9.已知函数 f(x)=lg , 1+x (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)判断函数 f(x)的单调性. 1-x 解 (1)要使 f(x)有意义,需满足 >0, 1+x
?1-x>0, ?1-x<0, ? ? 即? 或? 解得-1<x<1,故函数 f(x)的定义域为(-1,1). ? ? ?1+x>0 ?1+x<0,

2

1+x 1-x (2)由(1)知 f(x)的定义域为(-1,1), 关于坐标原点对称, 又 f(-x)=lg =-lg =-f(x), 1-x 1+x ∴f(x)为奇函数. 1-x1 1-x2 (3)由(1)知 f(x)的定义域为(-1,1).设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)=lg -lg = 1+x1 1+x2 lg? 1+x2? 1-x1x2+x2-x1 ?1-x1· . ?=lg1-x1x2- 1 + x1 1 - x2 - ? ?

∵-1<x1<x2<1,∴1-x1x2+x2-x1>1-x1x2-(x2-x1)=(1+x1)(1-x2)>0, 1-x1x2+x2-x1 ∴ >1, 1-x1x2- - ∴lg 1-x1x2+x2-x1 >0, 1-x1x2- -

即 f(x1)-f(x2)>0, ∴f(x)在(-1,1)上是减函数. 1 1 10.设 x∈[2,8]时,函数 f(x)= loga(ax)· loga(a2x)(a>0,且 a≠1)的最大值是 1,最小值是- , 2 8 求 a 的值. 1 解 由题意知 f(x)= (logax+1)(logax+2) 2 3 1 1 1 a x+3logax+2)= ?logax+ ?2- . = (log2 2? 8 2 2? 1 3 当 f(x)取最小值- 时,logax=- . 8 2 又∵x∈[2,8],∴a∈(0,1). ∵f(x)是关于 logax 的二次函数, ∴函数 f(x)的最大值必在 x=2 或 x=8 时取得. 1 3 1 1 loga2+ ?2- =1,则 a=2-3 , 若 ? 2? 8 2? 1 ?-3 此时 f(x)取得最小值时,x=? ?2 3 ? 2 = 2?[2,8],舍去. 3 1 1 1 loga8+ ?2- =1,则 a= , 若 ? 2? 8 2? 2 1?-3 此时 f(x)取得最小值时,x=? ?2? 2 =2 2∈[2,8],符合题意, 1 ∴a= . 2 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 11.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且 x∈(-1,0)时,f(x)= 1 2x+ ,则 f(log220)= 5 ( )

3

A.1

4 B. 5

4 C.-1 D.- 5 解析 由 f(x-2)=f(x+2),得 f(x)=f(x+4),因为 4<log220<5,所以 f(log220)=f(log220 4? 4 1? ? -4)=-f(4-log220)=-f? ?log25?=-?2log25+5?=-1. 答案 C 1 12.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是 ( 2 A.?0, )

?

2? 2?

B.?

2 ? ? 2 ,1?

C.(1, 2) D.( 2,2) 1 1 0<x≤ ?,即当 0<x≤ 时,函数 y=4x 解析 由题意得,当 0<a<1 时,要使得 4x<logax? 2 ? ? 2 的图象在函数 y=logax 图象的下方. 1 1 ? 1 ?1 ? 又当 x= 时,42 =2,即函数 y=4x 的图象过点? ?2,2?,把点?2,2?代入函数 y=logax,得 2 a= 2 2 ,若函数 y=4x 的图象在函数 y=logax 图象的下方,则需 <a<1(如图所示). 2 2

当 a>1 时,不符合题意,舍去. 所以实数 a 的取值范围是? 答案 B x 13.(2015· 湘潭模拟)已知函数 f(x)=ln ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 ab 的取值 1-x 范围是________. a b 解析 由题意可知 ln +ln =0, 1-a 1-b a b ? a b 即 ln?1-a× =1,化简得 a+b=1,故 ab=a(1-a)=-a2+a=- 1-b?=0,从而1-a× ? 1-b 2 ? . ? 2 ,1?

?a-1?2+1, ? 2? 4
4

1 又 0<a<b<1,∴0<a< , 2 1 1 1 a- ?2+ < . 故 0<-? ? 2? 4 4 1? 答案 ? ?0,4? 1-x 14.已知函数 f(x)=-x+log2 . 1+x 1 ? ? 1 ? (1)求 f? ?2 014?+f?-2 014?的值; (2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值?若存在,求出 f(x) 的最小值;若不存在,请说明理由. 1-x 1+x 解 (1)由 f(x)+f(-x)=log2 +log2 1+x 1-x 1 ? ? 1 ? =log21=0.∴f? ?2 014?+f?-2 014?=0. (2)f(x)的定义域为(-1,1), 2 ∵f(x)=-x+log2(-1+ ), x+1 当 x1<x2 且 x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数, ∴当 a∈(0,1),x∈(-a,a]时 f(x)单调递减, 1-a ∴当 x=a 时,f(x)min=-a+log2 . 1+a

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