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【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练:大题综合突破练:立体几何]

时间:2015-03-26

规范练?四?
BD⊥PC,E 是 PA 的中点. (1)求证:平面 PAC⊥平面 EBD;

立体几何

1.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,且 PA⊥底面 ABCD,

(2)若 PA=AB=AC=2,求三棱锥 P-EBD 的体积.

(1)证明

∵PA⊥平面 ABCD,

∴PA⊥BD,又 BD⊥PC,PA∩PC=P, ∴BD⊥平面 PAC, ∵BD?平面 EBD, ∴平面 PAC⊥平面 EBD. (2)解 由(1)可知 BD⊥AC,

所以四边形 ABCD 是菱形, ∠BAD=120° , 1 1 ∴S△ABD= BD· OA= ×2 3×1= 3. 2 2 1 1 3 ∴VP-EBD=VP-ABD-VE-ABD=3× 3×2-3× 3×1= 3 . 2.如图所示,AB 是圆 O 的直径,点 C 是弧 AB 的中点,点 V 是圆 O 所在平面外 一点,D 是 AC 的中点,已知 AB=2,VA=VB=VC=2.

(1)求证:OD∥平面 VBC; (2)求证:AC⊥平面 VOD; (3)求棱锥 C-ABV 的体积. (1)证明 ∵O、D 分别是 AB 和 AC 的中点,

∴OD∥BC.又 OD?平面 VBC,BC?平面 VBC, ∴OD∥平面 VBC. (2)证明 ∵VA=VB,O 为 AB 中点,∴VO⊥AB.

连接 OC,在△VOA 和△VOC 中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,∴△VOA≌ △VOC, ∴∠VOA=∠VOC=90° ,∴VO⊥OC. 又∵AB∩OC=O,AB?平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴VO⊥平面 ABC. 又∵AC?平面 ABC,∴AC⊥VO. 又∵VA=VC,D 是 AC 的中点, ∴AC⊥VD. ∵VO?平面 VOD,VD?平面 VOD,VO∩VD=V, ∴AC⊥平面 VOD. (3)解 由(2)知 VO 是棱锥 V-ABC 的高,且 VO= VA2-AO2= 3.

又∵点 C 是弧 AB 的中点, ∴CO⊥AB,且 CO=1,AB=2, 1 1 ∴三角形 ABC 的面积 S△ABC=2AB· CO=2×2×1=1, 1 1 3 ∴棱锥 V-ABC 的体积为 VV-ABC=3S△ABC· VO=3×1× 3= 3 , 故棱锥 C-ABV

3 的体积为 3 . 3.已知三棱柱 ABC-A′B′C′中,平面 BCC′B′⊥底面 ABC,BB′⊥AC,底 面 ABC 是边长为 2 的等边三角形,AA′=3,E、F 分别在棱 AA′,CC′上, 且 AE=C′F=2.

(1)求证:BB′⊥底面 ABC; (2)在棱 A′B′上找一点 M,使得 C′M∥平面 BEF,并给出证明. (1)证明 AO⊥BC, 又因为平面 BCC′B′⊥底面 ABC,AO?平面 ABC,平面 BCC′B′∩平面 ABC=BC, 所以 AO⊥平面 BCC′B′,又 BB′?平面 BCC′B,所以 AO⊥BB′. 又 BB′⊥AC,AO∩AC=A,AO?平面 ABC,AC?平面 ABC. 所以 BB′⊥底面 ABC. 取 BC 中点 O,连接 AO,因为三角形 ABC 是等边三角形,所以

(2)解

显然 M 不是 A′,B′,棱 A′B′上若存在一点 M,使得 C′M∥平

面 BEF,过 M 作 MN∥AA′交 BE 于 N,连接 FN,MC′,所以 MN∥CF,即 C′M 和 FN 共面, 所以 C′M∥FN, 所以四边形 C′MNF 为平行四边形,

所以 MN=2, 所以 MN 是梯形 A′B′BE 的中位线,M 为 A′B′的中点. 4.正△ABC 的边长为 2,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC、BC 的中点(如图 (1)),现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B(如图(2)).在图(2)中: (1)求证:AB∥平面 DEF; (2)求多面体 D-ABFE 的体积.

(1)证明

在△ABC 中,因为 E、F 分别是 AC、BC 的中点,所以 EF∥AB.

又 AB?平面 DEF,EF?平面 DEF.所以 AB∥平面 DEF (2)解 由二面角 A-DC-B 是直二面角知平面 ADC⊥平面 BCD, 又在正△ABC

中,D 为边 AB 的中点,故 AD⊥CD,所以 AD⊥平面 BCD, 1 3 11 1 3 V 三棱锥 A-BCD=3· S△BCD· AD= 6 ,V 三棱锥 E-FCD=3· S △BCD·AD= 2 2 24 , 3 所以多面体 D-ABFE 的体积 V=V 三棱锥 A-BCD-V 三棱锥 E-FCD= 8 .


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