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2009高考理科数学试题及答案解析-四川卷

时间:2014-02-07

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(理工农医科)
第Ⅰ卷
本试卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

S ? 4πR2

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

其中 R 表示球的半径 球的体积公式

V?

4 3 πR 3

P( A?B) ? P( A)?P( B)
一、选择题:

其中 R 表示球的半径

2 1.设集合 S ? x | x ? 5 , T ? x | x ? 4 x ? 21 ? 0 , 则 S ? T ?

?

?

?

?

A. ?x | ?7 ? x ? ?5?

B. ?x | 3 ? x ? 5?

C. ?x | ?5 ? x ? 3?

D. ?x | ?7 ? x ? 5?

【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式,考查集合的运算,基础 题。 解析:由题 S ? ( ?5,5), T ? ( ?7,3) ,故选择 C。 解析 2:由 S ? {x | ?5 ? x ? 5}, T ? {x | ?7 ? x ? 3} 故 S ? T ? {x | ?5 ? x ? 3} ,故选 C.

?a ? log 2 x(当x ? 2时) ? 2.已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 在点x ? 2处 连续,则常数 a 的值是 (当x ? 2时) ? ? x?2
A.2 B.3 C.4 D.5
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【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。 解析:由题得 a ? log 2 ? 2 ? 2 ? a ? 3 ,故选择 B。
2

x? ) 解 析 2 : 本 题 考 查 分 段 函 数 的 连 续 性 . 由 l i mf (
x ?2

x2 ? 4 lim ? x ?2 x ? 2

x ?2

l ixm ? ( ? 2, ) 4

f (2) ? a ? log22 ? a ? 1,由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 f (2) ? lim f ( x) ? 4 ,
x?2

-1-

可得 a ? 3 .故选 B. 3.复数 A.-1

(1 ? 2i ) 2 的值是 3 ? 4i
B.1 C.- i D. i

【考点定位】本小题考查复数的运算,基础题。

(1 ? 2i ) 2 (4i ? 3)(3 ? 4i ) ? 16 ? 9 ? ? ? ?1 ,故选择 A。 解析: 3 ? 4i 25 25
4.已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?
2

)( x ? R ) ,下面结论错误 的是 ..

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A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? C.函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 0 对称

B.函数 f ( x ) 在区间 ? 0, D.函数 f ( x ) 是奇函数

? ?? 上是增函数 ? 2? ?

【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等,基础题。 (同文 4) 解析:由函数的 f ( x) ? sin( x ? D. 5.如图,已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形, PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB ,则下 列结论正确的是 A. PB ? AD C. 直线 BC ∥平面 PAE D. 直线PD与平面ABC所成的角为45
?

?
2

) ? ? cos x( x ? R) 可以得到函数 f ( x) 是偶函数,所以选择

B.平面 PAB ? 平面PBC

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【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系,基础题。 (同文 6) 解: 由三垂线定理, 因 AD 与 AB 不相互垂直, 排除 A; 作 AG ? PB 于 G , 因面 PAB ? 面 ABCDEF,而 AG 在面 ABCDEF 上的射影在 AB 上,而 AB 与 BC 不相互垂直,故 排除 B;由 BC // EF ,而 EF 是平面 PAE 的斜线,故排除 C,故选择 D。 解析 2:设低面正六边形边长为 a ,则 AD ? 2a, PA ? 2 AB ? 2 a ,由 PA ? 平面 ABC 可知

PA ? AD , PA 且 AD ,所以在 Rt ?PAE 中有直线 PD 与平面 PAE 所成的角为 45? ,故应
选 D。

-2-

6.已知 a, b, c, d 为实数,且 c ? d 。则“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ”的 A. 充分而不必要条件 C.充要条件 B. 必要而不充分条件
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D. 既不充分也不必要条件

【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑,基础题。 (同文 7) 解析: a ? b 推不出 a ? c ? b ? d ;但 a ? c ? b ? d ? a ? b ? c ? d ? b ,故选择 B。

?b ? d? ? 3? ( 5 ? ) 8 解析 2: 令 a ? 2, b ? 1, c ? 3, d ? ?5 , 则 a ?c ?? 1

; 由 a ?c ?b ?d 可

得, a ? b ? (c ? d ) 因为 c ? d ,则 c ? d ? 0 ,所以 a ? b 。故“ a ? b ”是“ a ? c ? b ? d ” 的必要而不充分条件。 7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,其一条渐近线方程为 y ? x ,点 2 b2

???? ???? ? P( 3, y0 ) 在该双曲线上,则 PF1 ? PF2 =
A. ?12 B. ?2 C .0 D. 4
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【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义,基础题。 (同文 8) 解析:由题知 b ? 2 ,故 y0 ? ? 3 ? 2 ? ?1, F1 (?2,0), F2 (2,0) ,
2

∴ PF1 ? PF2 ? (?2 ? 3 ,?1) ? (2 ? 3 ,?1) ? 3 ? 4 ? 1 ? 0 ,故选择 C。 解析 2: 根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程

x2 y 2 ? ?1, 则左、 2 2

右焦点坐标分别为 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) ,再将点 P( 3, y0 ) 代入方程可 求出 P( 3, ?1) ,则可得 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,故选 C。 8.如图,在半径为 3 的球面上有 A, B, C 三点, ?ABC ? 90 , BA ? BC ,球心 O 到平面 ABC
?

???? ???? ?

的距离是

3 2 ,则 B、C 两点的球面距离是 2
B. ? C.

A.

? 3

4? 3

D. 2?

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【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距,基础题。 (同文 9) 解析:由知截面圆的半径

-3-

r ? 9?

? 18 3 2 2 ? ? BC ? ? 3 2 ? 3 ,故 ?BOC ? ,所以 B、C 两点的球面距 3 4 2 2
? ? ,故选择 B。

离为 3 ?

?
3

解析 2:过球心 O 作平面 ABC 的垂线交平面与 D , ?ABC, BA ? BC ,则 D 在直线 AC 上,

由于 OD ?

3 2 3 2 2 2 , CD ? OC ? OD ? ,所以 AC ? 3 2 ,由 ?ABC 为等腰直角三 2 2

角形可得 BC ? 3 ,所以 ?OBC 为等边三角形,则 B, C 两点的球面距离是
2

? ?3。 3

9.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线

l2 的距离之和的最小值是
A.2 B.3 C.

11 5

D.

37 16

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【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。 解析:直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于 P 到
2

抛物线的焦点 F (1,0) 的距离, 故本题化为在抛物线 y 2 ? 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点 F (1,0) 和 直 线 l2 的 距 离 之 和 最 小 , 最 小 值 为 F (1,0) 到 直 线 l1 : 4 x? 3 y? 6 ? 0 的距离,即

d min ?

|4?0?6| ? 2 ,故选择 A。 5

解析 2:如下图,由题意可知 d ?

| 3 ?1 ? 0 ? 6 | 32 ? 42

?2

10.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨;生产每 吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元,每吨乙产品可 获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨,B 原料不超过 18 吨, 那么该企业可获得最大利润是 A. 12 万元 B. 20 万元
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C. 25 万元

D. 27 万元

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【考点定位】本小题考查简单的线性规划,基础题。 (同文 10)

-4-

解析:设甲、乙种两种产品各需生产 x 、 y 吨,可使利润 z 最大,故本题即

? 3 x ? y ? 13 ? 2 x ? 3 y ? 18 ? 已知约束条件 ? ,求目标函数 z ? 5 x ? 3 y 的最大 ?x ? 0 ? ?y ? 0
值,可求出最优解为 ?

?x ? 3 ,故 zmax ? 15 ? 12 ? 27 ,故选择 D。 ?y ? 4

11.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女 生相邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96

【考点定位】本小题考查排列综合问题,基础题。
3 2 2 2 解析:6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 A3 C 3 A4 A2 ? 332种, 1 2 2 2 2 其中男生甲站两端的有 A2 A2 C 3 A3 A2 ? 144,符合条件的排法故共有 188
2 2 2 1 1 2 2 2 2 解析 2:由题意有 2 A2 ? (C3 ? A2 ) ? C2 ? C3 ? A2 ? (C3 ? A2 ) ? A4 ? 188 ,选 B。

12. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数 x 都 有

5 f ( f ( )) 的值是 xf ( x? 1) ? (1? x ) f (x,则 ) 2 1 5 A.0 B. C.1 D. 2 2
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【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法,综合题。 (同文 12) 解析: 令x ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 , 则 ? f ( ) ? f (? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0 ; 令x ? 0, 则 f ( 0) ? 0 2 2 2 2 2 2 2 2 x?1 f ( x ) ,所以 x

由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) 得 f ( x ? 1) ?

5 3 5 3 5 3 5 1 5 f ( ) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? ? 2 f ( ) ? 0 ? f ( f ( )) ? f (0) ? 0 ,故选择 A。 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数 学(理科)
-5-

第Ⅱ卷
考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效. ...................... 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13. (2 x ?

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

(用数字作答)

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【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项,基础题。 (同文 13) 解析:由题知 (2 x ?

1 6 r 6? 2r 6? 2r ) 的通项为 Tr ?1 ? (?1) r C6 ,令 6 ? 2r ? 0 得 r ? 3 ,故常 2 x 2x

3 数项为 (?1) 3 C 6 ? ?20。

14.若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、 B 两点, 且两圆在点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是
w

【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识,综合题。 解 析 : 由 题 知 O1 (0,0), O2 (m,0) , 且

5 ?| m |? 3 5 , 又 O1 A ? AO2 , 所 以 有
, ∴

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5
AB ? 2 ? 5 ? 20 ? 4。 5

15.如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的各条棱长都相等, M 是侧 棱 CC1 的 中 点 , 则 异 面 直 线 AB1和BM 所 成 的 角 的 大 小 是 。
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【考点定位】本小题考查异面直线的夹角,基础题。 解析:不妨设棱长为 2,选择基向量 {BA, BB1 , BC } ,则

AB1 ? BB1 ? BA, BM ? BC ?

1 BB1 2

cos ? AB1 , BM ? ?

( BB1 ? BA) ? ( BC ? 2 2? 5

1 BB1 ) 0?2? 2?0 2 ? ? 0 ,故填写 90o 。 2 2? 5

法 2:取 BC 中点 N,连结 B1 N ,则 AN ? 面 B1C ,∴ B1 N 是 AB1 在面 B1C 上的射影,由

-6-

几何知识知 B1 N ? BM ,由三垂线定理得 AB1 ? BM ,故填写 90 。
o

16. 设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合, 对于映射 f : V ? V , a ?V , 记 a 的象为 f (a ) 。 若 映 射

f : V ? V 满 足 : 对 所 有 a, b ? V 及 任 意 实 数 ? , ? 都 有

f (? a ? ?b) ? ?f (a) ? ?f (b) ,则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题:
①设 f 是平面 M 上的线性变换,则 f (0) ? 0
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②对 a ? V 设 f (a ) ? 2a ,则 f 是平面 M 上的线性变换;

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③若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ? V 设 f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a, b ? V ,若 a , b 共线,则 f (a), f (b) 也共线。 其中真命题是 (写出所有真命题的序号)

【考点定位】本小题考查新定义,创新题。 解析:令 a ? b ? 0, ? ? ? ? 1 ,由题有 f (0) ? 2 f (0) ? f (0) ? 0 ,故①正确; 由题 f (? a ? ? b) ? 2(? a ? ? b) , ?f (a) ? ?f (b) ? 2? a ? 2? b ? 2(? a ? ? b) ,即

f (? a ? ?b) ? ?f (a) ? ?f (b) ,故②正确;
由题 f (? a ? ?b) ? ? a ? ?b ? e , ?f (a) ? ?f (b) ? ? a ? e ? ?b ? e ,即

f (? a ? ?b) ? ?f (a) ? ?f (b) ,故③不正确;
由题 b ?

? a , f (0) ? f (a ? ? b) ? f (a) ? ?f (b) ? 0 ? f (a) ? ?f (b) ,即 f (a), f (b)

也共线,故④正确;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

o s2 A ? ,sin 在 ? ABC 中, A, B 为锐角, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , 且c
(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

3 5

B?

1 0 1 0

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2 ? 1 ,求 a, b, c 的值。

本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基
-7-

础知识及基本运算能力。 解: (Ⅰ)? A 、 B 为锐角, sin B ?

10 3 10 2 ,? cos B ? 1 ? sin b ? 10 10
2

又 cos 2 A ? 1 ? 2sin A ?

3 , 5

? sin A ?

5 2 5 2 , cos A ? 1 ? sin A ? , 5 5 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? 5 10 5 10 2

? cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
?0 ? A ? B ? ?

?A? B ?

?
4

????????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ? 由正弦定理

3? 2 ,? sin C ? . 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C
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5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b , c ? 5b
Q a ? b ? 2 ? 1, ? 2b ? b ? 2 ?1 ,? b ? 1

?a ? 2,c ? 5

??????????????12 分

18. (本小题满分 12 分) 为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向省外人士发 行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) 。某旅游公司组织 了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中 游客中有

3 是省外游客,其余是省内游客。在省外 4

1 2 持金卡,在省内游客中有 持银卡。 3 3

(I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (II)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ? ,求 ? 的分布 列及数学期望 E? 。 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考察

-8-

运用概率只是解决实际问题的能力。 解: (Ⅰ)由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人 持银卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” , 事件 A , 1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡” 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡” 。
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P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 )

?
?

1 2 1 1 1 C9 C21 C9 C6C21 ? 3 3 C36 C36

9 27 ? 34 170 36 ? 85 36 。 85

所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是

??????????????????????6 分 (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3
3 C3 1 P(? ? 0 ) ? 3? , C9 84 1 2 C6 C 3 P(? ? 1) ? 3 3 ? C9 14

P(? ? 2) ?

2 1 3 C6 C3 15 C6 15 , ? P ( ? ? 3) ? ? , 3 3 C9 28 C9 21

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 3 15 5 14 84 28 21 1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 , ????????12 分 所以 E? ? 0 ? 84 14 28 21
19(本小题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与平面四 边形 ABEF 所在平面互相垂直,△ ABE 是等腰直角三角形,

AB ? AE, FA ? FE, ?AEF ? 45?

-9-

(I)求证: EF ? 平面BCE ; (II)设线段 CD 的中点为 P ,在直线 AE 上是否存在一点 M ,使得 PM ? 平面BCE ?若存 在,请指出点 M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由; (III)求二面角 F ? BD ? A 的大小。 本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量 知识解决数学问题的能力。 解法一: (Ⅰ) 因为平面 ABEF ⊥平面 ABCD , BC ? 平 面 ABCD , 平面 ABEF ? 平面 ABCD ? AB , 所以 BC ⊥平面 ABEF 所以 BC ⊥ EF . 因为 ?ABE 为等腰直角三角形, 所以 ?AEB ? 45
?

A B? A E ,

又因为 ?AEF ? 45 ,
?

所以 ?FEB ? 45 ? 45 ? 90 ,
? ? ?

即 EF ⊥ BE ? B , 所以 EF ⊥平面 BCE 。 ??????????????4 分

(Ⅱ)存在点 M ,当 M 为线段 AE 的中点时,PM∥平面 BCE 取 BE 的中点 N,连接 AN,MN,则 MN∥= 所以 PMNC 为平行四边形,所以 PM∥CN 因为 CN 在平面 BCE 内,PM 不在平面 BCE 内, 所以 PM∥平面 BCE ??????????????8 分

1 AB ∥=PC 2

(Ⅲ)由 EA⊥AB,平面 ABEF⊥平面 ABCD,易知,EA⊥平面 ABCD 作 FG⊥AB,交 BA 的延长线于 G,则 FG∥EA。从而,FG⊥平面 ABCD 作 GH⊥BD 于 G,连结 FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH 因此,∠AEF 为二面角 F-BD-A 的平面角
- 10 -

因为 FA=FE, ∠AEF=45°, 所以∠AFE=90°,∠FAG=45°. 设 AB=1,则 AE=1,AF=

2 . 2

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FG=AF·sinFAG=

1 2 1 3 = , 2 2

在 Rt△FGH 中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+

GH=BG·sinGBH=

3 2 3 2 · = 2 2 4 FG = GH

在 Rt△FGH 中,tanFHG=

2 3 2 . 3
????????????12 分

故二面角 F-BD-A 的大小为 arctan 解法二: (Ⅰ)因为△ABE 为等腰直角三角形,AB=AE, 所以 AE⊥AB.

又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABEF, 平面 ABEF∩平面 ABCD=AB, 所以 AE⊥平面 ABCD. 所以 AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系 A-xyz. 设 AB=1,则 AE=1,B(0,1,0) ,D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为 FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°.

1 1 , ). 2 2 ??? ? ? ??? ? 1 1 ??? 所以 EF ? (0, ? , ) , BE ? (0, ?1,1) , BC ? (1,0,0) . 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 EF ? BE ? 0 ? ? ? 0 , EF ? BC ? 0 . 2 2
从而, F (0, ? 所以 EF⊥BE, EF⊥BC.

- 11 -

因为 BE ? 平面 BCE,BC∩BE=B , 所以 EF⊥平面 BCE.

1 1 ).P(1, ,0). 2 2 ???? ? 1 1 从而 PM =( ?1, ? , ). 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 1 1 ( ? 1, ? ,) ( ? 0, ? , ? )=0 于是 PM ? EF ? 2 2 2 2
(Ⅱ) M(0,0, 所以 PM⊥FE,又 EF⊥平面 BCE,直线 PM 不在平面 BCE 内, 故 PM∥平面 BCE. ????????????8 分

(Ⅲ) 设平面 BDF 的一个法向量为 n1 ,并设 n1 =(x,y,z)

?? ?

?? ?

??? ? ??? ? 3 1 BD =(1, ? 1,0), BF ? (0, ? , ) 2 2 ?? ? ??? ? ?x ? y ? 0 ? ? ?n1 ? BD ? 0 即? 3 ? ??? ? ? ?? 1 ? y? z ?0 ? ? ?n1 ? BF ? 0 ? 2 2
去 y=1,则 x=1,z=3,从 n1 =(0,0,3) 取平面 ABD 的一个法向量为 n2 =(0,0,1)

?? ?

?? ?

?? ? ??? ?? ? ?? ? n1 ?n2 3 3 11 ? ?? ? ? cos n1 , n2 ? ?? ? 11 | n1 | ? | n2 | 11 ? 1
故二面角 F-BD-A 的大小为 arccos 20(本小题满分 12 分) 已知椭圆

3 11 . 11

??????????????12 分

x2 y 2 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? ,右准线方程为 2 a b 2

x ? 2。
(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F 1 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,且 F2 M ? F2 N ?

????? ???? ?

2 26 ,求直线 l 的方程。 3

本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理 运算能力。
- 12 -

解: (Ⅰ)有条件有

{

c 2 ? a 2 a2 ? 2 ,解得 a ? 2,c=1 。 c

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?b ? a 2 ? c2 ? 1。
所以,所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 。?????????????4 分 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F1 (?1,0) 、 F 。 (, ) 2 10 若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=-1. 将 x=-1 代入椭圆方程得 y ? ?

2 。 2

不妨设 M (?1,

2 2 , )、N ( ? 1, ? ) 2 2

uuuu v uuuv 2 2 ? F2 M ? F2 N ? (?2, ) ? (?2, ? ) ? (?4,0) . 2 2 uuuu v uuuv ? F2 M ? F2 N ? 4 ,与题设矛盾。

? 直线 l 的斜率存在。
设直线 l 的斜率为 k,则直线的方程为 y=k(x+1) 。 设 M (x1,y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,

联立

{

x2 ? y 2 ?1 2 y=k(x+1) ,消 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。
2k ?4k 2 ,从而 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

由根与系数的关系知 x1 ? x2 ?

又? F2 M ? ( x1 ?1, y1 ) , F2 N ? ( x2 ?1, y2 ) ,

?????

???? ?

????? ???? ? ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ) 。
????? ???? ?2 ? F2 M ? F2 N ? ( x1 ? x2 ? 2)2 ? ( y1 ? y2 )2

- 13 -

?(

8k 2 ? 2 2 2k 2 ) ?( ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

?

4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) 4k 4 ? 4k 2 ? 1

?

4(16k 4 ? 9k 2 ? 1) 2 26 2 ?( ) 。 4 2 4k ? 4k ? 1 3
4 2

化简得 40k ? 23k ? 17 ? 0 解得 k ? 1或者k ? ?
2 2

17 40

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

? k ? ?1. ? 所求直线l的方程为y ? x ? 1或者y ? ? x ? 1
21. (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0, 且a ? 1 函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) 。 (I)求函数 f ( x ) 的定义域,并判断 f ( x ) 的单调性; (II)若 n ? N , 求 lim
*

a f (n) ; n ??? a n ? a
f ( x)

(III)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,设 h( x) ? (1 ? e 极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 h( x) 的极值。

)( x2 ? m ? 1) ,若函数 h( x) 的

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算 能力。 解: (Ⅰ)由题意知 1 ? a ? 0
x

当 0 ? a ?1 时,f ( x)的定义域是(0, ? ?);当a ? 1时,f ( x)的定义域是(? ?, 0)

f?(x)=

-a x ln a ax g log e ? a 1 ? ax ax ? 1
x x

当 0 ? a ?1 时,x ? (0, ??).因为a ?1 ? 0, a ? 0, 故f?(x)<0,所以f(x)是减函数 当 a ?1 时,x ? (??,0),因为a ?1 ? 0, a ? 0, 故f ?( x) ? 0, 所以f ( x)是减函数 ….(4 分)
x x

(Ⅱ)因为 f (n) ? loga (1 ? a ), 所以a
n

f ( n)

? 1 ? an

- 14 -

由函数定义域知 1 ? a >0,因为 n 是正整数,故 0<a<1.
n

所以 lim

a f (n) 1 ? an 1 ? lim ? n ?? a n ? a n ?? a n ? a a

(Ⅲ) ( h x) ? ex ( x2 ? m ? 1)( x ? 0), 所以h?( x) ? e x ( x2 ? 2x ? m ? 1) 令 h?( x) ? 0,即x2 ? 2 x ? m ? 1 ? 0,由题意应有? ? 0,即m ? 0 ① 当 m=0 时, h?( x) ? 0 有实根 x ? ?1 ,在 x ? ?1 点左右两侧均有 h?( x) ? 0 故无极值 ② 当 0 ? m ? 1 时, h?( x) ? 0 有两个实根 x1 ? ?1 ? m, x2 ? ?1 ? m 当 x 变化时, h?( x) 、 h( x) 的变化情况如下表所示:

x
h?( x)
h( x )

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )

m

x2
0 极小值

( x2 ,0)
+ ↗

? h( x) 的极大值为 2e?1? m (1 ? m ) , h( x) 的极小值为 2e?1?

(1 ? m )

③ 当 m ? 1 时, h?( x) ? 0 在定义域内有一个实根, x ? ?1 ? m 同上可得 h( x) 的极大值为 2e?1?
m

(1 ? m )

(0, ? ?) 综上所述, m ? 时,函数 h( x) 有极值;
当 0 ? m ? 1 时 h( x) 的极大值为 2e?1? 当 m ? 1 时, h( x) 的极大值为 2e?1? 22. (本小题满分 14 分) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记
m m

(1 ? m ) , h( x) 的极小值为 2e?1? m (1 ? m )
w.w.w.k.s .5.u. c.o. m

(1 ? m )

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?bn ? 的通项公式; (II)记 cn ? b2n ? b2n?1 (n ? N * ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都有

- 15 -

Tn ?

3 ; 2

(III)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn 。已知正实数 ? 满足:对任意正整数 n, Rn ? ? n 恒成立, 求 ? 的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想,以及推理论证、 分析与解决问题的能力。 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? 5a1 ? 1,? a1 ? ? 又 Q an ? 5an ? 1, an?1 ? 5an?1 ? 1

1 4

1 ? an ?1 ? an ? 5an ?1 , 即an ?1 ? ? an 4 1 1 ? 数列 ?an ? 成等比数列,其首项 a1 ? ? ,公比是 q ? ? 4 4 1 ? an ? (? ) n 4 1 4 ? (? ) n 4 ……………………………………..3 分 ? bn ? 1 n 1 ? (? ) 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

5 (?4) n ?1

5 5 25 ?16n ? cn ? b2 n ? b2 n?1 ? 2 n ? ? 4 ? 1 42 n?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4)
=

25 ?16n 25 ?16n 25 ? ? (16n )2 ? 3 ?16n ? 4) (16n ) 2 16n

13 4 ,? c1 ? 3 3 3 当 n ? 1时,T1 ? 2 4 1 1 1 当 n ? 2时,Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? K ? n ) 3 16 16 16
又 b1 ? 3, b2 ?

- 16 -

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 2 4 16 ? ? 25 ? 16 1 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? ......................7分 1 3 48 2 1? 16
(Ⅲ)由(Ⅰ)知 bn ? 4 ?

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

5 (?4) n ?1

一方面,已知 Rn ? ? n 恒成立,取 n 为大于 1 的奇数时,设 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 则 Rn ? b1 ? b2 ? K ? b2k ?1

1 1 1 1 ? 4n ? 5 ? ( ?1 ?2 ?3 K? K ?2 1 ) k? 4 ? 1 4 ? 1 4? 1 4 ? 1 1 1 1 1 1 ? 4n ? 5? ? [ 1 ? ( 2 ? 3 ?)K K ? ( ? k ?2 1 k2 4 ?1 4? 1 4 ? 1 ? 4 1 4 ?
> 4n ? 1

)] 1

??n ? Rn ? 4n ?1,即(? ? 4)n ? ?1对一切大于 1 的奇数 n 恒成立
?? ? 4, 否则,(? ? 4)n ? ?1只对满足 n ?
1 的正奇数 n 成立,矛盾。 4??

另一方面,当 ? ? 4 时,对一切的正整数 n 都有 Rn ? 4n 事实上,对任意的正整数 k,有

b2 n ?1 ? b2 n ? 8 ?

5 (?4)
2 k ?1

5 ? 1 (?4) 2 k ? 1 ?

? 8?

5 20 ? k (16) ? 1 (16)k ? 4

? 8?

15 ?16k ? 40 ?8 (16k ? 1)(16k ? 4)

? 当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N * )
则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?1 ? b2m ) < 8m ? 4 n
w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

- 17 -

当 n 为奇数时,设 n ? 2m ?1(m ? N * ) 则 Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? K ? (b2m?3 ? b2m?2 ) ? b2m?1 < 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n

? 对一切的正整数 n,都有 Rn ? 4n
综上所述,正实数 ? 的最小值为 4………………………….14 分

- 18 -


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