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1.2.2 空间中的平行关系(3)

时间:2014-10-30


1.2.2

空间中的平行关系(3)——直线与平面平行的性质

自主学习 学习目标 1.理解直线与平面平行的性质定理的含义. 2.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理. 3.会证明直线与平面平行的性质定理. 4.能运用直线与平面平行的性质定理,证明一些空间线面平行关系的简单问题. 自学导引 直线与平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线就 和________________________________________________________________________. (1)符号语言描述:________________. (2)性质定理的作用: 可以作为直线和直线平行的判定方法,也提供了一种作平行线的方法. 对点讲练 知识点一 利用性质定理证明线线平行 例1 如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.

点评 线∥面线面平行的性质 ― ― → 线∥线.在空间平行关系中,交替使用线线平行、线面平行的 判定与性质是解决此类问题的关键.

转化

变式训练 1 如图所示,三棱锥 A—BCD 被一平面所截,截面为平行四边形 EFGH. 求证:CD∥平面 EFGH.

知识点二 线面平行性质定理与判定定理的综合应用

例 2 如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证:AP∥GH.

点评 本例应用了线面平行的性质定理证题,应把握以下三个条件: ①线面平行,即 a∥α;②面面相交,即 α∩β=b;③线在面内,即 这三个条件缺一不可.

变式训练 2 如图所示,已知 P 是 所在平面外一点,M、N 分别是 AB、PC 的 中点,平面 PAD∩平面 PBC=l. (1)求证:l∥BC; (2)MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论.

知识点三 综合应用问题

例 3 如图,一块矩形形状的太阳能吸光板安装在呈空间四边形形状的支架上.矩形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的边上.已知 AC=a,BD=b. 问:E、F、G、H 在什么位置时,吸光板的吸光量最大?

点评 利用线面平行的性质, 可以实现由线面平行到线线平行的转化. 在平时的解题过 程中, 若遇到线面平行这一条件, 就需在图中找(或作)过已知直线与已知平面相交的平面. 这 样就可以由性质定理实现平行转化.至于最值问题,常用函数思想解决,若题目中没有涉及 边长,要大胆地设未知量,以便解题.

变式训练 3 如图所示,四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面,若截面为平 行四边形. (1)求证:AB∥平面 EFGH,CD∥平面 EFGH. (2)若 AB=4,CD=6,求四边形 EFGH 周长的取值范围.

直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理经常交替使用, 也就是通过线 线平行推出线面平行,再通过线面平行推出新的线线平行,复杂的题目还可继续推下去.可 有如下示意图: 线线平行― ― ---→线面平行面与平面相交的交线 ― ----------― → 线线平行 或找一直线 课时作业 一、选择题 1.已知直线 l∥平面 α,直线 ,则直线 l 和 m 的位置关系是( A.相交 B.平行 C.异面 D.平行或异面 2.两条直线都和一个平面平行,则这两条直线的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均可能
在平面内作 经过直线作或找平

)

3.如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G、H,则 HG 与 AB 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行和异面 4.三棱锥 S-ABC,E、F 分别是 SB、SC 上的点,且 EF∥平面 ABC,则( ) A.EF 与 BC 相交 B.EF∥BC C.EF 与 BC 异面 D.以上均有可能 5.已知 a、b、c 是三条不重合的直线,α、β、γ 是三个不重合的平面,下面四个命题, 其中正确的命题是( ) A.a∥γ,b∥ ∥b B.c∥α,α∥ ∥β C.a∥b,b∥ ∥α D.a,b 异面,a∥α,a∥β,b∥α,b∥ ∥β

题 答

号 案

1

2

3

4

5

二、填空题

6.如图,点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,过 BC 的平面与平面 PAD 交于 EF,则四边形 EFBC 的形状一定是________. 7.设 m、n 是平面 α 外的两条直线,给出三个论断: ①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造三个命题, 写出你认为正确的一个命题:______________.(用序号表示) 8.

如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1, a B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ, 3 Q 在 CD 上,则 PQ=________. 三、解答题 9.

如图所示,已知 A、B、C、D 四点不共面,且 AB∥α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α =F,BD∩α=H,BC∩α=G. 求证:四边形 EFHG 是平行四边形.

10.如图所示,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 P∈BB′

(不与 B、B′重合).PA∩BA′=M,PC∩BC′=N. 求证:MN∥平面 AC.

【答案解析】 自学导引

? ? 两平面的交线平行 (1) ? β∩α=b? ?
a∥α 对点讲练 例1

∥b

证明 如图所示,过 a 作平面 γ 交平面 α 于 b, ∵a∥α,∴a∥b. 同样过 a 作平面 δ 交平面 β 于 c, ∵a∥β,∴a∥c.∴b∥c. 又 , ,∴b∥β. 又 ,α∩β=l,∴b∥l.∴a∥l. 变式训练 1 证明 ∵四边形 EFGH 为平行四边形, ∴EF∥GH. 又 平面 BCD, 平面 BCD, ∴EF∥平面 BCD. 而平面 ACD∩平面 BCD=CD, 平面 ACD, ∴EF∥CD. 而 平面 EFGH, 平面 EFGH, ∴CD∥平面 EFGH. 例 2 证明 如图所示,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO.

∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴O 是 AC 的中点,

又 M 是 PC 的中点, ∴AP∥OM. 又 平面 BMD, 平面 BMD, ∴AP∥平面 BMD. 又∵ 平面 PAHG, 平面 PAHG∩平面 BMD=GH, ∴AP∥GH. 变式训练 2

(1)证明 因为 BC∥AD, 平面 PAD, 平面 PAD, 所以 BC∥平面 PAD. 又因为平面 PBC∩平面 PAD=l, 所以 BC∥l. (2)解 平行. 证明如下: 取 PD 的中点 E,连接 AE,NE, 可以证得 NE∥AM 且 NE=AM, 可知四边形 AMNE 为平行四边形. 所以 MN∥AE. 又因为 平面 PAD, 平面 PAD, 又 平面 PAD, 平面 PAD, 所以 MN∥平面 PAD. 例 3 解 吸光板的吸光量最大,即要使得矩形 EFGH 的面积最大.设 EH=x,EF= y,则在矩形 EFGH 中,有 EH∥FG. 又 平面 BCD, 平面 BCD, ∴EH∥平面 BCD. 而 平面 ABD,平面 ABD∩平面 BCD=BD, ∴EH∥BD,同理 EF∥AC. x AE y BE ∴ = , = . b AB a AB

x y 两式相加,得 + =1.① b a 矩形 EFGH 的面积为 S=xy.② a 将①代入②,得 S=- x2+ax(0<x<b). b a b 当 x=- = 时,S 有最大值. a 2 2?- ? b ab a 此时,y=a- ( )= . b2 2 答 E、F、G、H 依次为 AB、BC、CD、DA 的中点时,吸光板的吸光量最大 变式训练 3 (1)证明 ∵四边形 EFGH 为平行四边形, ∴EF∥HG. ∵ 平面 ABD,∴EF∥平面 ABD. ∵ 平面 ABC,平面 ABD∩平面 ABC=AB, ∴EF∥AB.∴AB∥平面 EFGH. 同理可证,CD∥平面 EFGH. (2)解 设 EF=x(0<x<4),由(1)可知 EF∥AB, ∴ 则 CF x = . CB 4 FG BF BC-CF x = = =1- . 6 BC BC 4

3 从而 FG=6- x. 2 3 ∴四边形 EFGH 的周长 l=2(x+6- x)=12-x. 2 又 0<x<4,则有 8<l<12, 即四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,12). 课时作业 1.D 2.D 3.A [∵E、F 分别是 AA1、BB1 的中点,∴EF∥AB. 又 平面 EFGH, 平面 EFGH, ∴AB∥平面 EFGH. 又 平面 ABCD,平面 ABCD∩平面 EFGH=GH, ∴AB∥GH.] 4.B [∵ 面 SBC,面 SBC∩面 ABC=BC, EF∥面 ABC,∴EF∥BC.] 5.D [选项 A 中,a、b 相交、平行、异面都有可能,故 A 错误;B 中,c 还有可能在 β 中;C 项,a 也有可能在 α 中,故 B、C 错误.] 6.梯形 解析 ∵AD∥BC, 平面 BCEF, 平面 BCEF.∴AD∥平面 BCEF, 又平面 PAD∩平面 BCEF=EF. ∴AD∥EF,从而 EF∥BC 且 EF≠BC.

∴四边形 BCEF 为梯形. 7.①② ③(或①③ ②) 解析 设过 m 的平面 β 与 α 交于 l. ∵m∥α,∴m∥l,∵m∥n,∴n∥l, ∵ , ,∴n∥α. 8. 2 2 a 3

解析 ∵MN∥平面 AC,平面 PMN∩平面 AC=PQ, 2a ∴MN∥PQ,易知 DP=DQ= , 3 2 2a 故 PQ= PD2+DQ2= 2DP= . 3 9.证明 ∵AB∥α,平面 ABC∩α=EG, ∴EG∥AB.同理 FH∥AB, ∴EG∥FH,又 CD∥α,平面 BCD∩α=GH. ∴GH∥CD.同理 EF∥CD. ∴GH∥EF. ∴四边形 EFHG 是平行四边形. 10.证明 如图所示,连接 AC、A′C′. ∵ABCD-A′B′C′D′是长方体 ,∴AC∥A′C′.

又 平面 BA′C′, A′C′ 平面 BA′C′, ∴AC∥平面 BA′C′. 又∵平面 PAC 过 AC 与平面 BA′C′交于 MN, ∴MN∥AC. ∵MN 平面 AC, AC 平面 AC, ∴MN∥平面 AC.


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