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1.2空间几何体的三视图和直观图

时间:2018-06-30


1.2空间几何体的三视图与直观图

知识点一:中心投影和平行投影

1、中心投影:我们把光由一点向外散射形 成的投影,叫做中心投影。 注意:投射线交于一点.
A B C B’ C’ D’ D

2:平行投影
太阳光线(假定太阳光线 是平行的)把一个长方形形状 的窗框投射到地板上,变成了 什么图形? 窗框的投影图形与原 窗框图比较,哪些几何关 系或几何量发生了变化? 哪些没有发生变化?
A
F

M P
D

B

C

D’

P’ A’

F’

C’
B’

?

M’

平行投影:我们把一束平行光线照射下形成的 投影叫做平行投影,投影线正对着投影面时叫正 投影,否则叫斜投影。

平行斜投影

平行正投影

应用正投影法,能在投影面上反映物体 某些面的真实形状及大小,且与物体到投 影面的距离无关,因而作图方便,故得到 广泛的应用。

3、平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平 行投影具有下列性质. (1) 直线或线段的平行投影仍是直线或线段. (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线. (3)在同一直线或平行直线上,两条线段的平行 投影线段的长度比等于这两条线段的长度比. (4)与投射面平行的平面图形, 它的投影与这个图形全等. (5)平行于投射面的线段, 它的平行投影与这条线段平行 且等长. ? F

F’

练习:下列说法是否正确?
(1)正方形的平行投影可能是梯形.

(×)

(2) 两条相交直线的平行投影可能平行(×) . (3)互相垂直的两条直线的平行投影仍然互相垂 直. (×) (4)等腰三角形的平行投影仍是等腰三角形.

(×)

知识点二:空间几何体的三视图

1、欣赏三视图

2、基本几何体的三视图

回忆已经学过的正方体、长方体、圆柱、 圆锥、球的三视图.

正方体的三视图




长方体的三视图




长方体

圆柱的三视图





圆柱

圆锥的三视图




圆锥

球的三视图





球体

3、三视图有关概念 “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时 所得到的投影图. 光线从几何体的前面向后面正投影,所得的 投影图称为“正视图” ,自左向右投影所得的投 影图称为“侧视图”,自上向下投影所得的投影 图称为“俯视图”. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几 何体的三视图。

4、三视图的形成

V

V正立投影面

H水平投影面 W侧立投影面

W V

V正视图

H俯视图
W侧视图
H

正 视 图

侧视图 俯视图

5、三视图的特点

长对正 高平齐

宽相等

6、三视图表达的意义 从前向后正对着物体观察,画出正视图,正视 图反映了物体的长和高及前后两个面的实形. 从上向下正对着物体观察,画出俯视图,俯视 图反映了物体的长和宽及上下两个面的实形. 从左向右正对着物体观察,画出侧视图,左视 图反映了物体的宽和高及左右两个面的实形.

三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高.

7、基本几何体三视图

上一节学习的棱柱、棱锥、棱台以及圆台 的三视图是怎样的?

棱柱的三视图





六棱柱

棱锥的三视图




正三棱锥

棱锥的三视图




正四棱锥

棱台的三视图




正四棱台

圆台的三视图





圆台

8、由三视图想象几何体 下面是一些立体图形的三视图,请根据视 图说出立体图形的名称:

正视图

侧视图

俯视图

四棱柱

下面是一些立体图形的三视图,请根据视 图说出立体图形的名称:

正视图

侧视图

圆锥 俯视图

一个几何体的三视图如下,你能说出它是 什么立体图形吗?

四棱锥

课堂练习: P15:1、2、3

作业: 习题1.2( P20):1、2、3

知识结构

欣赏三视图

回忆学过的几 何体的三视图

三视图的 有关概念 其他基本几何 体的三视图

由三视图想象几何体

知识点三:空间几何体的直观图
当投射线和投射面成适当的角度或改变图 形相对于投射面的位置时,一个空间图形在 投射面上的平行投影(平面图形)可以形象 地表示这个空间图形。像这样用来表示空间 图形的平面图形,叫做空间图形的直观图。

先观察一个正方形,如何把它画成水平
放置的直观图呢?

y
Y’

x o
O’

X’

例1、用斜二测画法画水平放置的正六边 形的直观图
(1)在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为x 轴,对称轴MN所在直线为y轴,两轴交于点 O.画对应的x’,y’轴,两轴相交于点O’,使 ∠x’O’y’=45°.
y
F A

M

E D
x

y'
O'

O

x

'

B

N C

? 2?以O?为中心,在X?上取A?D?=AD,在y?轴上取
1 M?N?= MN .以点N ?为中心,画B?C?平行于x?轴, 2 并且等于BC;再以M?为中心,画E?F?平行于x?轴, 并且等于EF.

y

F

M

E D
C

y?

A
B

O

x

A?
B?

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

N

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?

y
F
M

E D
C

y?

A
B

O

x

A?
B?

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

N

y
F
M

E
F?

A
B

O

D
C

x

A?
B?

E?

D?
C?

N

用斜二测画法做直观图的步骤: 教材P16:

y
C

例2.画水平放置的正三角形的直 观图。
画法按如下步骤完成 : 第一步 在已知的正三角形 ABC中,
B

A

O

x
y`
C`
45 0

取AB所在的直线为 x轴, 取对称轴 CO为y轴. 画对应的 x` 轴、y` 轴, 使 使?x`O`y`? 450.
第二步 在x`轴上取 O`A`? OA, O`B`? OB, O`C `? 1 / 2OC. 第三步 连结A`C`, B`C`, 所得 的 三 角 形A`B`C`就是正三角形 ABC的直观图 .

A`

O`
C`

B` x`

A`

B`

图1 ? 1 ? 29

例3 作一个底面边长为5cm,高为11.5cm 的正五棱锥直观图。
y y1 D1 · N1 · C1 o1 x1 · M1 B1

D
E N o A M B C E1 A1

x

z S S

y1
E1

D1 ·
o1
B1

C1

x1

E1 A1

D1 ·

o1
B1

C1

A1

练习题:

1. 一个四边形的直观图是边长为a的正方 形,则原图形的面积是

2 2a

2




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