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2013年广州一模(理科数学WORD版)带答案

时间:2013-03-29


广州市 2013 届普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔 将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:如果事件 A,B 相互独立,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) .

? ? ? ? 线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y ) ? ,a ? y ? bx ,
i

? (x
i ?1

? x)

2

其中 x , y 表示样本均值。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? {1, 2 ,3 , 4 , 5 , 6 } ,集合 A ? {1,3 ,5} , B ? { 2 , 4 } ,则 A. U ? A ? B 2.已知
a 1? i

B. U ? ( C U A ) ? B

C. U ? A ? ( C U B )

D. U ? ( C U A ) ? ( C U B )

? 1 ? bi ,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a+bi=

A.1+2i

B.2+i

C.2-i

D.1-2i

? x ? 2 y ? 1, ? 3.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ?

A.-3 4.直线 x ? A.
?
6

B .0
2 2

C.1

D.3

3 y ? 0 截圆 ( x ? 2 ) ? y ? 4 所得劣弧所对的圆心角是

B.

?
3

C.

?
2

D.

2? 3

1

5.某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A.2 B.1 C.
2 3

D.

1 3

6.函数 y ? (sin x ? cos x )(sin x ? cos x ) 是 A.奇函数且在 [ 0 , C.偶函数且在 [ 0 ,
?
2 ] 上单调递增
] 上单调递增
x

B.奇函数且在 [ D.偶函数且在 [

?
2

, ? ] 上单调递增
, ? ] 上单调递增

?
2

?
2

7.已知 e 是自然对数的底数,函数 f ( x ) ? e ? x ? 2 的零点为 a,函数 g ( x ) ? ln x ? x ? 2 的 零点为 b,则下列不等式中成立的是 A. f ( a ) ? f (1) ? f ( b ) C. f (1) ? f ( a ) ? f ( b ) B. f ( a ) ? f ( b ) ? f (1) D. f ( b ) ? f (1) ? f ( a )

8.如图 2,一条河的两岸平行,河的宽度 d=600m,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往 河对岸的码头 B.已知 AB ? 1 km ,水流速度为 2km/h,若客船行驶完航程所用最短时 间为 6 分钟,则客船在静水中的速度大小为 A.8km/h C. 2 34 km / h B. 6 2 km / h D.10km/h

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 x ? 1 ? x 的解集是_________.
1

10. ? cos xdx ? _______ .
0

11.某工厂的某种型号机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有下表的统计资料: x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1 . 23 x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用所限为 10 年维修

费用约______万元(结果保留两位小数).

12.已知 a ? 0 , a ? 1 ,函数 f ( x ) ? ?

?a x ,

x ?1

?? x ? a, x ? 1

,若函数 f ( x ) 在区间[0,2]上的最大值比

2

最小值大

5 2

,则 a 的值为________.

13.已知经过同一点的 n ( n ? N *, n ? 3 ) 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这 n 个 平面将空间分成 f ( n ) 个部分,则 f ( 3 ) ? ______, (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,定点 A ( 2 ,
3 2
f ( n ) ________ .

? ) ,点 B 在直线 ? cos ? ?

3 ? sin ? ? 0 上

运动,当线段 AB 最短时,点 B 的极坐标为______. 15.(几何证明选讲选做题) 如图 3,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 与⊙O 交于点 D,若 BC=3, AD ?
16 5

,则 AB 的长为______.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函 f ( x ) ? A sin( ? x ? 为 8. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若函数 f ( x ) 图象上的两点 P,Q 的横坐标依次为 2,4,O 坐标原点,求 ? POQ 的 面积.
?
4 ) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小正周期

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为
1 2 , 乙,丙做对的概率分别为

m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其分布列 为:
?

0
1 4

1 a

2 b

3
1 24

P

(1)求至少有一位学生做对该题的概率; (2)求 m,n 的值; (3)求 ? 的数学期望.

3

18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ? ABC 是边长为 2 的等边三角形,
AA 1 ? 平面 ABC,D,E 分别是 CC1,AB 的中点.

(1)求证:CE//平面 A1BD; (2)若 H 为 A1B 上的动点,当 CH 为平面 A1AB 所成最大角的正切值为
15 2

时,求平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn, a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? na n ? ( n ? 1) S n ? 2 n ( n ? N *) . 且 (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 p,q,r 是三个互不相等的正整数,且 p,q,r 成等差数列,试判断 a p ? 1, a q ? 1, a r ? 1 是否成等比数列?并说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ) ,点 A(2,3)在 椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C 2 : x ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C
2

处的切线分别为 l1 , l 2 ,且 l1 与 l 2 交于点 P. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)是否存在满足 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? | AF 2 | 的点 P?若存在,指出这样的点 P 有几个 (不必求出点 P 的坐标) ;若不存在,说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) ? x ? ax ? m ? 1 ,关于 x 的不等式 f ( x ) ? ( 2 m ? 1) x ? 1 ? m 的解
2 2

集为 ( m , m ? 1) ,其中 m 为非零常数.设 g ( x ) ? (1)求 a 的值;

f (x) x ?1

.

(2) k ( k ? R ) 如何取值时,函数 ? ( x ) ? g ( x ) ? k ln( x ? 1) 存在极值点,并求出极值点; (3)若 m=1,且 x>0,求证: [ g ( x ? 1)] ? g ( x ? 1) ? 2 ? 2 ( n ? N *)
n n n

4

参考答案
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满 分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9.? , ? ? ?
?2 ? ?1 ?

10.s i n 1

11.1 2 .3 8

12. 或
2

1

7 2

13. n 8,

2

? n ? 2

14. ? 1,
?

?

1 1? ? ? 6 ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ? 1,
? ? 1 1? 6 ? ? 2 k ? ? ( k ? Z ). ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公 式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x ) 的最大值为2,且 A ? 0 , ∵ f ( x ) 的最小正周期为 8 , ∴ f ( x ) ? 2 s in (
?
4 x?

∴A ? 2.
2? ? 8 ,得 ? ?

?????1分
?
4

∴T ?

?

.

?????2 分 ?????3 分

?
4

).

(2)解法 1:∵ f ( 2 ) ? 2 s in ?

?? ? 2

?

? ?

? ? ? 2 cos 4 ? 4

?

2 ,

?????4 分

? ? ? ? f ( 4 ) ? 2 s in ? ? ? ? ? ? ? ? 2 s in 4 ? 4 ?

2 ,

????5 分

5

∴ P ( 2, 2 ), Q ( 4, ? 2 ) . ∴ OP ?
6 , PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .
2

?????8 分

∴ cos ? P O Q ?

OP

? OQ

2

? PQ

2

?

?
6 3

6

? ? ?3 2 ? ? ?2 3 ?
2 2

2

2 OP OQ

2 6?3 2

?

3 3

.?10 分

∴sin ? PO Q ?

1 ? cos ? PO Q ?
2

.

?????11 分

∴△ P O Q 的面积为 S ?

1 2

O P O Q sin ? PO Q ?

1 2

?

6 ? 3 2 ?

6 3

? 3 2 .

???12 分 解法 2:∵ f ( 2 ) ? 2 s in ?
?? ? 2 ?

? ?

? ? ? 2 cos 4 ? 4

?

2 ,

?????4 分

? ? ? ? f ( 4 ) ? 2 s in ? ? ? ? ? ? ? ? 2 s in 4 ? 4 ?

2 ,

?????5 分

∴ P ( 2, 2 ), Q ( 4, ? 2 ) . ∴ O P ? ( 2, 2 ), O Q ? ( 4, ? 2 ) .
??? ???? ? ??? ???? ? OP ?OQ ∴ c o s ? P O Q ? c o s ? O P , O Q ? ? ??? ???? ? ? OP OQ 6 6?3 2 ? 3 3
??? ? ????

?????8 分 . ?????10 分

∴sin ? PO Q ?

1 ? cos ? PO Q ?
2

6 3

.

?????11 分

∴△ P O Q 的面积为 S ?

1 2

O P O Q sin ? PO Q ?

1 2

?

6 ? 3 2 ?

6 3

? 3 2 .

???12 分 解法 3:∵ f ( 2 ) ? 2 s in ?
?? ? 2 ?

? ?

? ? ? 2 cos 4 ? 4

?

2 ,

???4 分

? ? ? ? f ( 4 ) ? 2 s in ? ? ? ? ? ? ? ? 2 s in 4 ? 4 ?

2 ,

?????5 分

∴ P ( 2, 2 ), Q ( 4, ? 2 ) .
2 2
6

∴直线 O P 的方程为 y ?

x ,即 x ?

2y ? 0.

?????7 分

∴点 Q 到直线 O P 的距离为 d ?

4 ? 2 3

? 2 3 .

?????9 分

∵ OP ?

6 ,
1 2 1 2

?????11 分

∴△ P O Q 的面积为 S ?

OP ? d ?

?

6 ? 2 3 ? 3 2 .?????12 分

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件的概率、 离散型随机变量的均值等基础知识, 考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) 解:设“甲做对”为事件 A , “乙做对”为事件 B , “丙做对”为事件 C ,由题意知,
P

? A?

?

1 2

,P

?B?

? m, P ?C

?

? n.

?????1 分

(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的, 所以至少有一位学生做对该题的概率是 1 ? P ? ? ? 0 ? ? 1 ?
1 4 1 4 3 4

?

.????3 分

(2)由题意知 P ? ? ? 0 ? ? P

? ABC ?
?

?

1 2 1 2

?1

? m ? ?1 ? n ? ?



?????4 分

P ?? ? 3 ? ? P

? ABC ?
1 12

mn ?

1 24



?????5 分

整理得

mn ?

,m ? n ?

7 12

.

由 m ? n ,解得 m ? (3)由题意知 a ? P ? ? ? 1 ? ? P
? 1 2

1 3

,n ?

1 4

.

?????7 分

? A B C ? ? P ? AB C ? ? P ? A BC ?
1 2 m ?1 ? n ? ? 1 2

?1

? m ? ?1 ? n ? ?

?1

? m? n ?

11 24

, ?9 分

b ? P (? ? 2 ) ? 1 ? P ( ? ? 0 ) ? P ( ? ? 1) ? P ( ? ? 3) =

1 4

, ?????10 分

∴ ? 的数学期望为 E ? ? 0 ? P (? ? 0 ) ? 1 ? P (? ? 1) ? 2 P ( ? ? 2 ) ? 3 P ( ? ? 3) =

13 12

.

????12分

7

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间 想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长 A1 D 交 A C 的延长线于点 F ,连接 B F . ∵ C D ∥ A A1 ,且 C D ? ∴ C 为 A F 的中点. ∵ E 为 A B 的中点, ∴C E ∥ BF .
1 2
A1

A A1 ,

C1 B1 D

?????2 分 ?????3 分
A E B

H C F

∵ B F ? 平面 A1 B D , C E ? 平面 A1 B D , ∴ C E ∥平面 A1 B D . (2)解:∵ A A1 ? 平面 A B C , C E ? 平面 A B C , ∴ A A1 ? C E . ∵△ A B C 是边长为 2 的等边三角形, E 是 A B 的中点, ∴C E ? AB ,C E ?
3 2 AB ? 3 .

?????4 分

?????5 分

∵ A B ? 平面 A1 A B , A A1 ? 平面 A1 A B , A B ? A A1 ? A , ∴ C E ? 平面 A1 A B . ∴ ? E H C 为 C H 与平面 A1 A B 所成的角. ∵CE ?
3,

?????6 分 ?????7 分

在 Rt△ C E H 中, t a n ? E H C ?

CE EH

?

3 EH

, ?????8 分
CE EH ? 3 EH ? 15 2

∴当 E H 最短时, t a n ? E H C 的值最大,则 ? E H C 最大. ∴当 E H ? A1 B 时, ? E H C 最大. 此时, t a n ? E H C ?

.

∴ EH

?

2 5 5

.

?????9 分

∵ C E ∥ B F , C E ? 平面 A1 A B ,

8

∴ B F ? 平面 A1 A B . ∵ A B ? 平面 A1 A B , A1 B ? 平面 A1 A B , ∴ B F ? A B , B F ? A1 B . ∴ ? A B A1 为平面 A1 B D 与平面 A B C 所成二面角(锐角).
5 5

?????10 分

?????11 分 ?????12 分

在 Rt△ E H B 中, B H ?

EB

2

? EH

2

?

, c o s ? A B A1 ?

BH EB

?

5 5

.?13 分

∴平面 A1 B D 与平面 A B C 所成二面角(锐角)的余弦值为 解法二: (1)证明:取 A1 B 的中点 F ,连接 D F 、 E F . ∵ E 为 A B 的中点, ∴ E F ∥ A A1 ,且 E F ?
1 2 1 2 A A1 .

5 5

. ?????14 分

z A1 C1 B1 D

?????1 分

∵ C D ∥ A A1 ,且 C D ?

A A1 ,

F
?????2 分 ?????3 分

∴ EF ∥CD , EF ? CD . ∴四边形 E F D C 是平行四边形. ∴CE ∥ DF .

H A E x B C y

∵ D F ? 平面 A1 B D , C E ? 平面 A1 B D , ∴ C E ∥平面 A1 B D . ?????4 分

(2)解:∵ A A1 ? 平面 A B C , C E ? 平面 A B C , ∴ A A1 ? C E . ∵△ A B C 是边长为 2 的等边三角形, E 是 A B 的中点, ∴C E ? AB ,C E ?
3 2 AB ? 3 .

?????5 分

∵ A B ? 平面 A1 A B , A A1 ? 平面 A1 A B , A B ? A A1 ? A , ∴ C E ? 平面 A1 A B . ∴ ? E H C 为 C H 与平面 A1 A B 所成的角.
9

?????6 分 ?????7 分

∵CE ?

3,

在 Rt△ C E H 中, t a n ? E H C ?

CE EH

?

3 EH

, ?????8 分
CE EH ? 3 EH ? 15 2

∴当 E H 最短时, t a n ? E H C 的值最大,则 ? E H C 最大. ∴当 E H ? A1 B 时, ? E H C 最大. 此时, t a n ? E H C ?

.

∴ EH

?

2 5 5

.

?????9 分

在 Rt△ E H B 中, B H ?

EB

2

? EH

2

?

5 5

.

∵Rt△ E H B ~Rt△ A1 A B ,
2 5 5 ? 5 2



EH A A1

?

BH AB

,即

5 A A1

.

∴ A A1 ? 4 .

?????10 分

以 A 为原点,与 A C 垂直的直线为 x 轴, A C 所在的直线为 y 轴, A A1 所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? x y z . 则 A ( 0 , 0 , 0 ) , A1 ( 0 , 0 , 4 ) , B
???? ????

(

3 , 1, 0 , D ( 0 , 2 , 2 ) .

)

∴ A A1 ? ( 0 , 0 , 4 ) , A1 B ? 设平面 A1 B D 的法向量为 n = 由 n ? A1 B , n ? A1 D ? 0 , 得? í
ì ? 3x + y 2z = 4z = 0. 0

(

???? ? 3 , 1, - 4 , A1 D ? ( 0 , 2 , - 2 ) .

)

? x, y, z ? ,

? 2y ? ?

令 y = 1 ,则 z = 1, x =

3.

∴平面 A1 B D 的一个法向量为 n =
????

(

3 , 1, 1 .

)

?????12 分

∵ A A1 ? 平面 A B C , ∴ A A1 = ( 0 , 0 , 4 ) 是平面 A B C 的一个法向量.
10

∴cos

???? ? n , A A1

???? ? n ? A A1 ? ???? ? ? n A A1

5 5

.

?????13 分

∴平面 A1 B D 与平面 A B C 所成二面角(锐角)的余弦值为

5 5

.

?????14 分

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归 与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:? a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ? ( n ? 1) S n ? 2 n , ∴ 当 n ? 1 时,有 a1 ? (1 ? 1) S 1 ? 2, 解得 a1 ? 2 . 由 a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ? ( n ? 1) S n ? 2 n , ① ?????1 分

得 a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ? ( n ? 1) a n ? 1 ? n S n ? 1 ? 2 ( n ? 1) , ② ?????2 分 ② - ①得: ( n ? 1) a n ? 1 ? n S n ? 1 ? ( n ? 1) S n ? 2 . 以下提供两种方法: 法 1:由③式得: ( n ? 1)( S n ? 1 ? S n ) ? n S n ? 1 ? ( n ? 1) S n ? 2 , 即 S n ?1 ? 2 S n ? 2 ;
? S n ?1 ? 2 ? 2 ( S n ? 2 ) ,

③ ?????3 分

?????4 分 ?????5 分

∵ S 1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , ∴数列 { S n ? 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ S n ? 2 ? 4 ? 2 n ? 1 ,即 S n ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 . 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? ( 2 n ? 1 ? 2 ) ? ( 2 n ? 2 ) ? 2 n , 又 a 1 ? 2 也满足上式,
n ∴ an ? 2 .

?????6 分 ?????7 分

?????8 分

法 2:由③式得: ( n ? 1) a n ? 1 ? n S n ? 1 ? ( n ? 1) S n ? 2 ? n ? S n ? 1 ? S n ? ? S n ? 2 , 得 a n ?1 ? S n ? 2 . 当 n ? 2 时, a n ? S n ? 1 ? 2 ,
11

④ ⑤

?????4 分 ?????5 分

⑤-④得: a n ? 1 ? 2 a n . 由 a1 ? 2 a 2 ? S 2 ? 4 ,得 a 2 ? 4 , ∴ a 2 ? 2 a1 . ∴数列 { a n } 是以 a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)解:∵ p , q , r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q . 假设 a p ? 1, a q ? 1, a r ? 1 成等比数列, 则 ? a p ? 1? ? a r ? 1? ? 即?2
p

?????6 分

?????7 分 ∴ an ? 2n . ????8 分

????9 分

?a

q

? 1

?

2

, , (*)

????10 分

? 1

? ?2

r

? 1

?

?

?2

q

? 1

?

2

化简得: 2 p ? 2 r ? 2 ? 2 q . ∵p ? r,

?????11 分

∴ 2 p ? 2 r ? 2 2 p ? 2 r ? 2 ? 2 q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.?13 分 ∴ a p ? 1, a q ? 1, a r ? 1 不是等比数列. ?????14 分

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化 归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C 1 的方程为
?2 3 ? 2 ? 2 ? 1, 依题意: ? a b ?a 2 ? b 2 ? 4. ?
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ?a ? b ? 0? ,

解得: ?

?a ?

2

? 16,

?b ? 12. ?
2

?????2 分

∴ 椭圆 C 1 的方程为

x

2

?

y

2

?1.

?????3 分

16

12 x a
2 2

解法 2:设椭圆 C 1 的方程为

?

y b

2 2

? 1 ?a ? b ? 0? ,

根据椭圆的定义得 2 a ? A F1 ? A F 2 ? 8 ,即 a ? 4 ,
2 2 2 ∵ c ? 2 , ∴b ? a ? c ? 12 .

?????1 分 ?????2 分

12

∴ 椭圆 C 1 的方程为
1 4 1 4

x

2

?

y

2

?1.
1 4 1 4

?????3 分

16
2

12
x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x 1 ,
2

(2)解法 1:设点 B ( x 1 ,
BA ? ( 2 ? x 1 , 3 ?

x1 ) , C ( x 2 , x1 ) ,
2

( x 2 ? x 1 )) ,
2 2

∵ A , B , C 三点共线,
???? ??? ?

∴ BC // BA . ∴ ? x 2 ? x1 ? ? 3 ?
? ? 1 1 2 ? x1 ? ? 4 4 ?

?????4 分

?x

2 2

? x1

2

? ?2

? x1 ? ,

化简得:2( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? 1 2 . 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?
1 4 x ,得 y ? ?
2


1 2 1 4 x1 2 x2 2

?????5 分

x.

?????6 分

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x1 ?
2

( x ? x1 ) , y ? 即

x1 2

x?

1 4

x1 . ②

2

同理,抛物线 C 2 在点 C 处的切线 l 2 的方程为 y ?

x?

1 4

x2 .

2



???8 分

设点 P ( x , y ) ,由②③得:
1 2

x1 2

x?

1 4

x1 ?
2

x2 2

x?

1 4

x2 ,

2

而 x 1 ? x 2 ,则 x ? 代入②得 y ?
1 4

( x1 ? x 2 ) .

?????9 分 ?????10 分

x1 x 2 ,

则 2 x ? x 1 ? x 2 , 4 y ? x 1 x 2 代 入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 , 即 点 P 的 轨 迹 方 程 为
y ? x?3.

?????11 分 若 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2 ,则点 P 在椭圆 C 1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, ?????12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C 1 内一点 (3, 0 ) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C 1 交于两点. ?????13 分

13

∴满足条件 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2

的点 P 有两个.

?????14 分

解法 2:设点 B ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) , P ( x 0 , y 0 ) , 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?
1 4 x ,得 y ? ?
2

1 2

x.

?????4 分

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y 1 ?

x1 2

( x ? x1 ) ,

即y ?

x1 2
1 4

x ? y1 ?

1 2

x1 .

2

?????5 分

∵ y1 ?

x1 , ∴ y ?
2

x1 2

x ? y1 .

∵点 P ( x 0 , y 0 ) 在切线 l1 上,

∴ y0 ?

x1 2

x 0 ? y1 .



?????6 分

同理, y 0 ?

x2 2

x0 ? y2 .


x 2

?????7 分

综合①、②得,点 B ( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B ( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?
x 2 x0 ? y ,

x 0 ? y . ???8 分

?????9 分 ?????10 分 ?????11 分

∵点 A ( 2 , 3 ) 在直线 L 上, ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . 若 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2

∴ y0 ? x0 ? 3 .

,则点 P 在椭圆 C 1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,?12 分

∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C 1 内一点 (3, 0 ) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C 1 交于两点. ∴满足条件 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2 的点 P 有两个. ?????13 分 ?????14分

解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ? 3 ,

14

由?

? y ? k ? ?x ?
2

?x

? 2 ? ? 3,

消去 y ,得 x

2

? 4 y,

? 4 kx ? 8 k ? 1 2 ? 0 .

?????4分

设 B ? x1 , y 1 ? , C

?x

2

, y 2 ? ,则 x1 ? x 2 ? 4 k , x1 x 2 ? 8 k ? 1 2 .

?????5分

由 x 2 ? 4 y ,即 y ?

1 4

x ,得 y ? ?
2

1 2

x.
x1 2
x1 2

?????6 分
1 2

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y 1 ? ∵ y1 ?
1 4 x1 , ∴ y ?
2

即 ( x ? x1 ) , y ?

x ? y1 ?

2 x 1 .?7 分

x1 2

x ?

1 4

x1 .

2

同理,得抛物线 C 2 在点 C 处的切线 l 2 的方程为 y ?

x2 2

x ?

1 4

x2 .

2

?????8 分

? ? x1 ? x 2 x1 1 2 ? 2k, x ? x1 , ?x ? ?y ? ? ? 2 2 4 由? 解得 ? x x x 1 2 ? ? y ? 1 2 ? 2k ? 3. y ? 2 x ? x2 , ? ? ? 4 ? 2 4

∴ P ?2k,2k ? 3? . ∵ P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2 ,
x
2

?????10 分

∴点 P 在椭圆 C 1 :

?

y

2

? 1 上.

?????11 分

16
2

12



?2k ?
16

2

?

?2k

? 3? 12

? 1.

化简得 7 k

2

? 1 2 k ? 3 ? 0 .(*)

?????12 分 ?????13 分

由 Δ ? 122 ? 4 ? 7 ? ? ?3? ? 228 ? 0 ,

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ?????14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基 础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于 x 的不等式 f 即不等式 x 2 ?

?x?

?

? 2m
2

? 1 ? x ? 1 ? m 的解集为 ? m , m ? 1 ? ,
2

?a

? 1 ? 2m ? x ? m

? m ? 0 的解集为 ? m , m ? 1 ? ,

15

∴ x2 ? ∴ x2 ?

?a ?a

? 1 ? 2m ? x ? m ? 1 ? 2m ? x ? m

2

? m ?

?x
2

? m ? ? x ? m ? 1? . ?

2

? m ? x

? 2m

? 1? x ? m

?m

? 1? .

∴ a ? 1 ? 2 m ? ? ? 2 m ? 1? . ∴ a ? ?2 . (2)解法 1:由(1)得 g ?????2 分

?x?

?

f

?x?

x ? 1

?

x

2

? 2x ? m ? 1 x ? 1

?

?x

? 1? ?

m x ? 1

.

∴?

?x?

? g

?x?

? k ln

?x

? 1? ?

?x

? 1? ?

m x ? 1

? k ln

?x

? 1? 的 定 义 域 为

? 1, ? ? ? .
∴ ? ?( x ) ? 1 ?
m

? x ? 1?

2

?

k x ? 1

?

x

2

?

?2

? k? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?

2

.

?????3 分

方程 x 2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式
Δ ?

?2

? k?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k

2

? 4m .

?????4 分
2 ? k ? 2 k
2

①当 m ? 0 时, Δ ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?
2 ? k ? 2
2

? 4m

? 1,

x2 ?

k

? 4m

? 1,

?????5 分

则 x ? ? 1, x 2 ? 时, ? ? ( x ) ? 0 ; x ? ∴函数 ? ∴函数 ?
2

?x

2

, ? ? ? 时, ? ? ( x ) ? 0 . , ? ? ? 上单调递增.

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递减,在 ? x ? x ? 有极小值点 x
2

2

.

?????6 分

②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ? 2 ? m 或 k ? 2 ? m ,
2 ? k ? 2 k
2

若 k ? ? 2 ? m ,则 x1 ?

? 4m

? 1, x 2 ?

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

? 1,

故 x ? ? 1, ? ? ? 时, ? ? ( x ) ? 0 , ∴函数 ? ∴函数 ?

? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上单调递增. ? x ? 没有极值点.
16

?????7 分

若 k ? 2 ? m 时, x1 ?

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

? 1, x 2 ?

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

? 1,

则 x ? ? 1, x1 ? 时 , ? ? ( x ) ? 0 ; x ?
? ? ( x ) ? 0.

?x ,x ?
1 2

时 , ? ?( x ) ? 0 ; x ?

?x

2

,?? ? 时 ,

∴函数 ? ∴函数 ?

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递增,在 ? x , x ? 上单调递减,在 ? x
1 1 2

2

, ? ? ? 上单调递增.

? x ? 有极小值点 x

2

,有极大值点 x1 .

?????8 分

综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ? 当 m ? 0 时, k ? 2 ? m ,函数 ?
2 ? k ? 2 k
2

? x ? 有极小值点 x
2

2



? x ? 有极小值点 x
2 ? k ? 2 k

,有极大值点 x1 .?9 分
? 4m

(其中 x1 ?

? 4m

2

, x2 ?

)

解法 2:由(1)得 g

?x?

?

f

?x?

x ? 1

?

x

2

? 2x ? m ? 1 x ? 1

?

?x

? 1? ?

m x ? 1

.

∴? ? x ? ? g ? x ? ? k l n ? x ? 1? ? ∴ ? ?( x ) ? 1 ?
m ? k x ? 1

?x
x

? 1? ?
2

m x ? 1

? k ln

?x

? 1 ? 的定义域为 ? 1, ? ? ? .

?x

? 1?

2

?

?

?2

? k? x ? k ? m ? 1

?x

? 1?

2

.

?????3 分

若函数 ?

?x?

? g

?x?

? k ln

?x

? 1 ? 存在极值点等价于函数 ? ? ( x ) 有两个不等的零点,

且至少有一个零点在 ? 1, ? ? ? 上. 令 ? ?( x ) ?
x
2

?????4 分
? 0,

?

?2

? k? x ? k ? m ? 1

?x

? 1?

2

得 x2 ? 则Δ ?

?2

? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*)

?2

? k?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k

2

? 4 m ? 0 ,(**)
2

?????5 分
k 2
2

方程(*)的两个实根为 x1 ? 设h ? x? ? x2 ?

2 ? k ? 2

k

? 4m

, x2 ?

2 ? k ?

? 4m

.

?2

? k? x ? k ? m ? 1,

①若 x1 ? 1, x 2 ? 1 ,则 h ? 1 ? ? ? m ? 0 ,得 m ? 0 ,此时, k 取任意实数, (**)成立.

17

则 x ? ? 1, x 2 ? 时, ? ? ( x ) ? 0 ; x ? ∴函数 ? ∴函数 ?
2

?x

2

, ? ? ? 时, ? ? ( x ) ? 0 . , ? ? ? 上单调递增.

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递减,在 ? x ? x ? 有极小值点 x
2

2

.

?????6 分

②若 x1 ? 1, x 2

? h ?1 ? ? ? m ? 0 , ? m ? 0, ? 得? ? 1 ,则 ? 2 ? k ? k ? 0. ? 1. ? ? 2

又由(**)解得 k ? 2 ? m 或 k ? ? 2 ? m , 故k ? 2 ?m . 则 x ? ? 1, x1 ? 时 , ? ? ( x ) ? 0 ; x ?
? ? ( x ) ? 0.

?????7 分

?x ,x ?
1 2

时 , ? ?( x ) ? 0 ; x ?

?x

2

,?? ? 时 ,

∴函数 ? ∴函数 ?

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递增,在 ? x , x ? 上单调递减,在 ? x
1 1 2

2

, ? ? ? 上单调递增.

? x ? 有极小值点 x

2

,有极大值点 x1 .

?????8 分

综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任何实数, 函数 ? 当 m ? 0 时, k ? 2 ? m ,函数 ?
2 ? k ? 2 k
2

? x ? 有极小值点 x
2

2



? x ? 有极小值点 x
2 ? k ? 2

,有极大值点 x1 .?9 分
2

(其中 x1 ?

? 4m

, x2 ?
1

k

? 4m

)

(2)证法 1:∵ m ? 1 , ∴ g ? x ? ? ? x ? 1 ? ?

x ? 1
n

.

∴ ? g ? x ? 1? ? ? ?

n

? g

?x

n

? 1

?

? 1? ? ?x ? ? x? ?

? n 1 ? ? ?x ? n ? x ? ?

? x

n

? Cnx
1

n ?1

?

1 x

? Cn x
2

n?2

?

1 x
2

? ? ? Cn

n ?1

x ? x

1
n ?1

? Cn

n

1 x
n

? n 1 ? ? ?x ? n ? x ? ?

? Cnx
1

n?2

? Cn x
2

n?4

? ? ? Cn ? ? ? Cn

n ?1

x

2?n

.

?????10 分

令T ? C n x
1

n?2

? Cn x
2

n?4

n ?1

x

2?n



则T ? C n

n ?1

x

2?n

? Cn

n?2

x

4?n

? ? ? Cnx
1

n?2

18

? Cnx
1

2?n

? Cn x
2

4?n

? ? ? Cn

n ?1

x

n?2

.

∵x ? 0, ∴ 2T ? C n ? x
1 n?2

? x
2?n

2?n

?

? Cn
2

2

?x
x

n?4

? x
? x

4?n

?

? ? ? Cn
n ?1

n ?1

?x
x

2?n

? x
? x

n?2

? ?11 分
?12 分

? Cn ? 2
1

x

n?2

? x

? Cn ? 2

n?4

4?n

? ? ? Cn

? 2

2?n

n?2

? 2 Cn ? Cn ? ? ? Cn
1 2

?

n ?1

?
n ?1

? 2 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn
0 1 2

?

? Cn ? Cn ? Cn
n 0

n

?
?????13 分

? 2 2

?

n

? 2 .
n

?

∴T ? 2 n ? 2 , ? g ? x ? 1? ? 即? ?

? g

?x

n

?1
n

?

?2

n

? 2

.

?????14 分

? 1? 证法 2:下面用数学归纳法证明不等式 ? x ? ? x? ?

? n 1 ? n ? ?x ? n ? ? 2 ? 2. x ? ?

① 当 n ? 1 时,左边 ? ? x ?
?

?

? 1? 1? 1 ? ? ?x ? ? ? 0 ,右边 ? 2 ? 2 ? 0 ,不等式成 x? x? ?

立;?????10 分
? 1? ② 假设当 n ? k ( k ? N ) 时,不等式成立,即 ? x ? ? x? ?
*

k

? k 1 ? k ? ?x ? k ? ? 2 ? 2, x ? ?

? 1? 则 ?x ? ? x? ?

k ?1

? k ?1 1 ? ? ?x ? k ?1 ? x ? ?

k ? ? k ? ? k ?1 1 ? ?? 1? 1 ?? 1? ? k 1 ? 1 ? ?? x ? ? ?x ? ? ? x ? k ?? ? ? x ? ? k ?1 ? ? ? ? ?x ? k ? ? ?x x ? ?? x? x? ? x ?? x ? x ? ? ? ? ? ? ? k ? ? k 1 ? ?? 1? 1 ?? ? k ?1 1 ? ?? x ? ? ?x ? ? ? x ? k ?? ? ? x ? k ?1 ? ? ? x ? ?? x? x ?? x ? ? ? ? ? ?

?????11 分

? 2

x ?

1 x

? 2

?

k

? 2

?

? 2

x

k ?1

? x

1
k ?1

?????12 分

? 2

k ?1

? 2.

?????13 分

也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立.
* 由①②可得,对 ? n ? N , ? g ? x ? 1 ? ? ? ?

n

? g

?x

n

? 1

?

? 2

n

? 2 都成立. ???14 分

19


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