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2019年山东省潍坊市高考数学三模试卷(理科)(解析版)

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2019 年山东省潍坊市高考数学三模试卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.(5 分)若复数 z 满足 iz=2+4i,则 z 在复平面内对应的点的坐标是( )

A.(4,2)

B.(2,﹣4)

C.(2,4)

D.(4,﹣2)

2.(5 分)已知集合 M={x|2x﹣x2>0},N={﹣2,﹣1,0,1,2},则等于 M∩N=( )

A.?

B.{1}

C.{0,1}

D.{﹣1,0,1}

3.(5 分)已知 a=1.90.4,b=log0.41.9,c=0.41.9,则( )

A.a>b>c

B.b>c>a

C.a>c>b

D.c>a>b

4.(5 分)某几何体的三视图(如图),则该几何体的体积是( )

A.

B.

C.

D.

5.(5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线 y=b(0

<b<A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2、4、8,则 f(x)的单调递增区间为( )

A.[4k,4k+3](k∈Z)

B.[6k,6k+3](k∈Z)

C.[4k,4k+5](k∈Z)

D.[6k,6k+5](k∈Z)

6.(5 分)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健

步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其

大意为:“有一个人走了 378 里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为

前一天的一半,走了 6 天后到达目的地.”问此人第 4 天和第 5 天共走了( )

A.60 里

B.48 里

C.36 里

D.24 里

7.(5 分)a 为如图所示的程序框图中输出的结果,则化简 cos(aπ﹣θ)的结果是( )

A.cosθ

B.﹣cosθ

C.sinθ

D.﹣sinθ

8.(5 分)如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 区域中,M、N 分别为 OA、OB 的中点,在

M、N 两点处各有一个通信基站,其信号的覆盖范围分别为以 OA、OB 为直径的圆,在

扇形 OAB 内随机取一点,则此点无信号的概率是( )

A.1﹣

B. ﹣

C. +

D.

9.(5 分)在(1+ )(1+ )…(1+ )(n∈N+,n≥2)的展开式中,x 的系数为 ,

则 x2 的系数为( A.

) B.

C.

D.

10.(5 分)已知实数 x,y 满足

,若 z=(x﹣1)2+y2,则 z 的最小值为( )

A.1

B.

11.(5 分)设 F1,F2 是双曲线

C.2

D.

的左、右两个焦点,若双曲线右

支上存在一点 P,使

双曲线的离心率为( )

A.

B.

(O 为坐标原点),且

C.

D.

,则

12.(5 分)已知函数

与 g(x)=2elnx+mx 的图象有 4 个不同的交点,则

实数 m 的取值范围是( )

A.(﹣4,0)

B.

C.

D.(0,2)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.(5 分)设 , , 为向量,若 + 与 的夹角为 , + 与 的夹角为 ,则





14.(5 分)过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=25 交于 A,B 两点,C

为圆心,当∠ACB 最小时,直线 l 的方程是



15.(5 分)用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,…,9 的 9 个小正方形(如

下表),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”

的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有

种.

123

456

789

16.(5 分)对于函数

,有下列 4 个结论:

①任 x1,x2∈[0,+∞),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2 恒成立; ②f(x)=2kf(x+2k)(k∈N*),对于一切 x∈[0,+∞)恒成立; ③函数 y=f(x)﹣ln(x﹣1)有 3 个零点;

④对任意 x>0,不等式

恒成立,则实数是的取值范围是



则其中所有正确结论的序号是



三、解答题:本大题共 5 小题.共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,2Sn=Sn﹣1+1(n≥2,n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记

,求

的前 n 项和 Tn.

18.(12 分)如图,一简单几何体 ABCDE 的一个面 ABC 内接于圆 O,G、H 分别是 AE、 BC 的中点,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形,且 DC⊥平面 ABC. (Ⅰ)证明:GH∥平面 ACD; (Ⅱ)若 AC=BC=BE=2,求二面角 O﹣CE﹣B 的余弦值.

19.(12 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若椭圆经

过点 P( ,﹣1),且△PF1F2 的面积为 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程 (Ⅱ)设斜率为 1 的直线 l 与以原点为圆心,半径为 的圆交于 A,B 两点,与椭圆 C 交于 C,D 两点,且|CD|=λ|AB|(λ∈R),当 λ 取得最小值时,求直线 l 的方程 20.(12 分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱 200 件,每一箱产品在交付用户之前要对产 品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取 20 件作 检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概 率都为 p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p),求 f (p)的最大值点 p0. (2)现对一箱产品检验了 20 件,结果恰有 2 件不合格品,以(1)中确定的 p0 作为 p 的值.已知每件产品的检验费用为 2 元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件 不合格品支付 25 元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 X,求 EX; (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作 检验?

21.(12 分)已知函数 f(x)= ax2﹣(a﹣1)x﹣lnx(a∈R 且 a≠0).

(I)求函数 f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)记函数 y=F(x)的图象为曲线 C.设点 A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线 C 上的

不同两点.如果在曲线 C 上存在点 M(x0,y0),使得:①x0=

;②曲线 C 在点

M 处的切线平行于直线 AB,则称函数 F(x)存在“中值和谐切线”.当 a=2 时,函数 f

(x)是否存在“中值和谐切线”,请说明理由.

选考题:共 10 分.请考生在 22,23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题

记分.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.(10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为 x

轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t 为参数).

(I)写出直线 l 的一般方程与曲线 C 的直角坐标方程,并判断它们的位置关系; (II)将曲线 C 向左平移 2 个单位长度,向上平移 3 个单位长度,得到曲线 D,设曲线 D

经过伸缩变换

得到曲线 E,设曲线 E 上任一点为 M(x,y),求

的取

值范围. [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x﹣2|+|2x+a|,a∈R.
(Ⅰ)当 a=1 时,解不等式 f(x)≥5; (Ⅱ)若存在 x0 满足 f(x0)+|x0﹣2|<3,求 a 的取值范围.

2019 年山东省潍坊市高考数学三模试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.【分析】把已知的等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:由 iz=2+4i,





∴则 z 在复平面内对应的点的坐标是:(4,﹣2). 故选:D. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义, 是基础题. 2.【分析】可求出集合 M,然后进行交集的运算即可. 【解答】解:M={x|0<x<2}; ∴M∩N={1}. 故选:B. 【点评】考查描述法、列举法的定义,一元二次不等式的解法,以及交集的运算. 3.【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解. 【解答】解:a=1.90.4>1.90=1, b=log0.41.9<log0.41=0, 0<c=0.41.9<0.40=1, ∴a>c>b. 故选:C. 【点评】本题考查三个数的大小的比较,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识, 考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 4.【分析】由三视图知几何体是左边为一半圆锥,右边为半圆柱的组合体,根据三视图的数 据判断圆锥与圆柱的底面圆直径为 2,圆柱的高为 3,圆锥的高为 2,利用体积公式计算 可得答案. 【解答】解:由三视图知几何体是左边为一半圆锥,右边为半圆柱的组合体,

且圆锥与圆柱的底面圆直径为 2,圆柱的高为 3,圆锥的高为 2, ∴几何体的体积 V=V 半圆柱+V 半圆锥= π×12×3+ × ×π×12×2= π. 故选:B. 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,解题的关键是判断几何体的形状及相关 数据所对应的几何量. 5.【分析】由题意可得,第一个交点与第三个交点的差是一个周期;第一个交点与第二个交 点的中点的横坐标对应的函数值是最大值.从这两个方面考虑可求得参数 ω、φ 的值, 进而利用三角函数的单调性求区间. 【解答】解:与直线 y=b(0<b<A)的三个相邻交点的 横坐标分别是 2,4,8 知函数的周期为 T= =2( ﹣ ),得 ω= , 再由五点法作图可得 ? +φ= ,求得 φ=﹣ , ∴函数 f(x)=Asin( x﹣ ). 令 2kπ﹣ ≤ x﹣ ≤2kπ+ ,k∈z, 求得 x∈[6k,6k+3](k∈Z), 故选:B.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象性质,充分体现了转化、数形结合思想,属于基 础题. 6.【分析】由题意可知,每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列,由 S6=378 求得首 项,再由等比数列的通项公式求得该人第 4 天和第 5 天共走的路程

【解答】解:记每天走的路程里数为{an},可知{an}是公比 q= 的等比数列,

由 S6=378,得 S6=

,解得:a1=192,



,此人第 4 天和第 5 天共走了 24+12=36 里.

故选:C. 【点评】本题考查了函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前 n 项和,是 基础的计算题.

7.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的 作用是利用循环计算并输出 a 值,即可求得 cos(aπ﹣θ). 【解答】解:程序运行过程中,各变量的值如下表示:

a i 是否继续循环

循环前 a=2 i=1

第一圈 a=﹣1,i=2

是循环

第二圈 a= ,i=3

是循环

第三圈 a=2,i=4 第四圈 a=﹣1,5 …

是循环 是循环

第 3n+1 圈,a=﹣1 i=3n+2 是循环

第 3n+2 圈 a= i=3n+3 是循环

第 3n+3 圈 a=2 i=3n+4 … 第 2012 圈 a= ,i=2013

是循环 是循环

第 2013 圈 a=2 i=2014 否,退出循环 故最后输出的 a 值为 2. 故有:cos(2π﹣θ)=cosθ. 故选:A. 【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,

其处理方法是::①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中既要分析出计算 的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数 据进行分析管理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③ 解模. 8.【分析】OA 的中点是 M,则∠CMO=90°,这样就可以求出弧 OC 与弦 OC 围成的弓形 的面积,从而可求出两个圆的弧 OC 围成的阴影部分的面积,用扇形 OAB 的面积减去三 角形的面积,减去加上两个弧 OC 围成的面积就是无信号部分的面积,最后根据几何概 型的概率公式解之即可. 【解答】解:OA 的中点是 M,则∠CMO=90°,半径为 OA=r S 扇形 OAB= πr2,S 半圆 OAC= π( )2= πr2,
S△OmC= × × = r2,
S 弧 OC= S 半圆 OAC﹣S△ODC= πr2﹣ r2,
两个圆的弧 OC 围成的阴影部分的面积为 πr2﹣ r2,

图中无信号部分的面积为 πr2﹣ r2﹣( πr2﹣ r2)= πr2﹣ r2,

∴无信号部分的概率是:



故选:B.

【点评】本题主要考查了几何概型,解题的关键是求无信号部分的面积,不规则图形的

面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算,属于中档题.

9.【分析】在(1+ )(1+ )…(1+ )(n∈N+,n≥2)的展开式中,x 的系数=

+…

+ ,可得 1﹣ = ,解得 n=4.因此(1+ )(1+ )

的展开

式 中 x2 的 系 数 =

+

×

+

×



,即可得出.

【解答】解:在(1+ )(1+ )…(1+ )(n∈N+,n≥2)的展开式中,x 的系数=

+…

+=

=1﹣ ,

∴1﹣ = ,解得 n=4.

∴(1+ ) (1+ )

的展开式中 x2 的系数为:

+

×





=.

故选:C. 【点评】本题考查了二项式定理的应用、多项式的乘法运算性质,考查了推理能力与计

算能力,属于中档题.

10.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,

则 z 的几何意义为区域内的点到点(1,0)距离的平方, 则由图象可知,当点(1,0)到直点 A 的距离最小,



,解得 x=2,y=1,

即 A(2,1), ∴z=(2﹣1)2+12=2, 故选:C.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义,结合数形结合是解决本题 的关键.

11.【分析】利用向量的加减法可得

,故有 OP=OF2=c=OF1,

可得 PF1⊥PF2,由条件可得∠PF1F2=30°,由 sin30°= =

求出离心率.

【解答】解:∵

,∴



∴﹣

=0,OP=OF2=c=OF1,∴PF1⊥PF2,

Rt△PF1F2 中,∵

,∴∠PF1F2=30°.

由双曲线的定义得 PF1﹣PF2=2a,∴PF2=



sin30°= =





,∴2a=c( ﹣1),

∴ = +1,

故选:D. 【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用,其中,判断△PF1F2 是直 角三角形是解题的关键.

12.【分析】由题意可得 m=



(x>0 且 x≠e)有 4 个不等实根,设 h(x)





,求得导数和极值点、最值,考虑 x→+∞, →0,可得 h(x)

的极限,即可得到所求 m 的范围.

【解答】解:函数

与 g(x)=2elnx+mx 的图象有 4 个不同的交点,

即为 mx= 实根, 设 h(x)=

﹣2elnx,即 m=



(x>0 且 x≠e)有 4 个不等



,导数 h′(x)=





由 h′(x)=0,可得 x=2elnx 或 3x=2elnx 或 x=e(舍去),

由 y= 的导数为 y′=



当 x>e 时,函数递减,当 0<x<e 时,函数递增, 可得 x=e 处取得极大值,且为最大值 , 则 x=2elnx 有两解,3x=2elnx 无解, 当 x=2elnx,可得 m=0,即为 h(x)的最小值, 由 x→+∞, →0,

可得







→,

可得当 0<m< 时,m=



(x>0 且 x≠e)有 4 个不等实根,

故选:C. 【点评】本题考查函数方程的转化思想,考查分离参数法和构造函数法,以及极限思想, 运用导数求单调区间和极值、最值,考查运算能力,属于难题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.【分析】利用向量加法的平行四边形法则作图,右图可得相应的角,利用正弦定理可求 答案. 【解答】解:如图所示(其中图中字母表示对应向量), 向量 + 与 的夹角为 , + 与 的夹角为 ,

∴∠CAB= ,∠ACB= ,

由正弦定理,得

,即



∴ = =,
故答案为: .
【点评】本题考查平面向量数量积运算、正弦定理及加法的平行四边形法则,属基础题. 14.【分析】研究知点 M(1,2)在圆内,过它的直线与圆交于两点 A,B,当∠ACB 最小
时,直线 l 与 CM 垂直,故先求直线 CM 的斜率,再根据充要条件求出直线 l 的斜率,由 点斜式写出其方程. 【解答】解:验证知点 M(1,2)在圆内, 当∠ACB 最小时,直线 l 与 CM 垂直, 由圆的方程,圆心 C(3,4) ∵kCM= =1, ∴kl=﹣1 ∴l:y﹣2=﹣(x﹣1),整理得 x+y﹣3=0 故答案为:x+y﹣3=0. 【点评】本题考点是直线与圆的位置关系,考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1,以及用 点斜式写出直线的方程. 15.【分析】当 1,5,9,为其中一种颜色时,2,6 共有 4 种可能,其中 2 种 2,6 是涂相同 颜色,各有 2 种可能共 6 种可能.4,8 及 7,与 2,6 及 3,一样有 6 种可能并且与 2,6, 3,颜色无关,当 1,5,9 换其他的颜色时也是相同的情况,相乘得到结果. 【解答】解:首先看图形中的 1,5,9,有 3 种可能,
当 1,5,9,为其中一种颜色时, 2,6 共有 4 种可能,其中 2 种 2,6 是涂相同颜色,各有 2 种可能共 6 种可能. 4,8 及 7,与 2,6 及 3,一样有 6 种可能并且与 2,6,3,颜色无关. 当 1,5,9 换其他的颜色时也是相同的情况

符合条件的所有涂法共有 3×6×6=108 种, 故答案为:108 【点评】本题是一个排列组合的应用,考查分别计数原理,考查分类原理,是一个限制 元素比较多的题目,解题时注意分类,做到不重不漏,本题是一个中档题.

16.【分析】作出 f(x)=

的图象,利用图象可得结论.

【解答】解:f(x)=

的图象如图所示:

①f(x)的最大值为 1,最小值为﹣1, ∴任取 x1、x2∈[0,+∞),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2 恒成立,故①正确; ②f( )=2f( +2)=4f( +4)=6f( +6)≠8f( +8),故②不正确;
③函数 y=f(x)﹣ln(x﹣1)的定义域为(1,+∞), 当 x=2 时,y=sin2π﹣ln1=0, 而 f(x)=sinπx 是周期为 2 的类正线曲线;当 x>2 时,f(x+2k)=( )kf(x),图象
只发生振幅变化, y=ln(x﹣1)为对数函数 y=lnx 图象向右平移 1 个单位得到,过定点(2,0), 做上述两函数图象可知:当 1<x<2 以及 x>2 时两图象各有一交点, 则 f(x)=有 3 个零点正确,故③正确; ④对任意 x>0,不等式 f(x)≤ 恒成立,
则有 k≥xf(x),|f(x)|≤1,当 x→∞,xf(x)→∞, 则实数 k→+∞, 把( , )代入,可得 k≥ ,故④正确.
故答案为:①③④

【点评】本题解题的关键是对于函数的理解,能顺利做出函数的草图,利用图象及三角

函数值得有界性解题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

三、解答题:本大题共 5 小题.共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【分析】(1)通过当 n=2 时,由 2Sn=Sn﹣1+1 及

,求出 a2,利用数列的递推关系

式推出 2an+1=an,数列{an}是以 为首项,公比为 的等比数列,然后求解通项公式.

(2)由(1)及

(n∈N*),化简

,利用裂项消项法求

解数列的和即可. 【解答】解:(1)当 n=2 时,由 2Sn=Sn﹣1+1 及

即 2a1+2a2=a1+1,解得



又由 2Sn=Sn﹣1+1,①

可知 2Sn+1=Sn+1,②

②﹣①得 2an+1=an,即



且 n=1 时,

适合上式,

,得 2S2=S1+1,

因此数列{an}是以 为首项,公比为 的等比数列,



(n∈N*).

(2)由(1)及

(n∈N*),

可知



所以











【点评】本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和的方法裂项消项法的应用,考查 计算能力.

18.【分析】(Ⅰ)连结 GO,OH,证明 GO∥平面 ACD,OH∥平面 ACD,利用平面与平面 平行的判定定理证明平面 GOH∥平面 ACD.然后证明 GH∥平面 ACD. (Ⅱ)以 CB 为 x 轴,CB 为 y 轴,CD 为 z 轴,建立如图所示的直角坐标系,求出 C,B,
A(,O,E 的坐标,平面 BCE 的法向量 ,平面 OCE 的法向量 .二面角 O﹣CE﹣B 是 锐二面角,记为 θ,利用空间向量的数量积求解 cosθ 即可. 【解答】解:(Ⅰ)证明:连结 GO,OH ∵GO∥AD,OH∥AC…(2 分) ∴GO∥平面 ACD,OH∥平面 ACD,又 GO 交 HO 于 O…(.4 分) ∴平面 GOH∥平面 ACD…(5 分) ∴GH∥平面 ACD…(6 分) (Ⅱ)以 CB 为 x 轴,CA 为 y 轴,CD 为 z 轴,建立如图所示的直角坐标系 则 C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)
平面 BCE 的法向量 =(0,1,0),设平面 OCE 的法向量 =(x0.y0.z0).…(8 分)
=(2,0,2), =(1,1,0).







令 x0=﹣1,∴ =(﹣1,1,1).…(10 分) ∵二面角 O﹣CE﹣B 是锐二面角,记为 θ,则

cosθ=|cos

|=



= …(12 分)

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的证明,二面角的平面角的求法,考查空 间想象能力以及计算能力. 19.【分析】(I)根据三角形的面积公式,求得 c,由 a2﹣b2=4,将 P 代入椭圆方程,即可 求得 a 和 b 的值,即可求得椭圆方程; (Ⅱ)设直线 l 的方程,利用点到直线的距离公式及勾股定理求得|AB|,代入椭圆方程, 由△>0 和 d<r,求得 m 的取值范围,利用韦达定理及弦长公式求得|CD|,根据 m 的取 值范围,即可求得 m 的值,直线 l 的方程. 【解答】解:(I)由△PF1F2A 的面积 S= ?2c?1=2,则 c=2,由 a2﹣b2=4,

将椭圆 C 过点 P( ,﹣1),则

,解得:a=2 ,b=2,

∴椭圆的标准方程:



(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=x+m,则原点到直线 l 的距离 d= ,

由弦长公式|AB|=2







,整理得:3x2+4mx+2m2﹣8=0,

△=16m2﹣12(2m2﹣8)>0,解得:﹣2 <m<2 , 由直线和圆相交的条件可得 d<r,即 < ,则﹣2<m<2,

综上可得 m 的取值范围为(﹣2,2),

设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=﹣ ,x1x2=



由弦长公式 CD|=





由|CD|=λ|AB|,则 λ=







由﹣2<m<2,则 0<4﹣m2≤4,

∴当 m=0 时,λ 取得最小值为 ,此时直线 l 的方程为 y=x.

【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理及弦长公式

的应用,考查计算能力,属于中档题.

20 . 【 分 析 】 ( 1 ) 求 出 f ( p ) =

,则



,利用导数性

质能求出 f (p)的最大值点 p0=0.1. (2)(i)由 p=0.1,令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数,依题意知 Y~B(180,

0.1),再由 X=20×2+25Y,即 X=40+25Y,能求出 E(X).

(ii)如果对余下的产品作检验,由这一箱产品所需要的检验费为 400 元,E(X)=490

>400,从而应该对余下的产品进行检验.

【解答】解:(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p),

则 f(p)=









令 f′(p)=0,得 p=0.1, 当 p∈(0,0.1)时,f′(p)>0, 当 p∈(0.1,1)时,f′(p)<0, ∴f (p)的最大值点 p0=0.1. (2)(i)由(1)知 p=0.1, 令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数,依题意知 Y~B(180,0.1), X=20×2+25Y,即 X=40+25Y, ∴E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490. (ii)如果对余下的产品作检验,由这一箱产品所需要的检验费为 400 元, ∵E(X)=490>400, ∴应该对余下的产品进行检验. 【点评】本题考查概率的求法及应用,考查离散型随机变量的数学期望的求法,考查是 否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法,考查二项分布等基础知识,考查运算 求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.

21.【分析】(I)根据对数函数的定义求得函数的定义域,再根据 f(x)的解析式求出 f(x) 的导函数,然后分别令导函数大于 0 和小于 0 得到关于 x 的不等式,求出不等式的解集 即可得到相应的 x 的范围即分别为函数的递增和递减区间; (II)假设函数 f(x)的图象上存在两点 A(x1,y1),B(x2,y2),使得 AB 存在“中值 相依切线”,根据斜率公式求出直线 AB 的斜率,利用导数的几何意义求出直线 AB 的斜 率,它们相等,再通过构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论. 【解答】解:(Ⅰ)函数 f(x)的定义域是(0,+∞),

由已知得,f′(x)=



(1)当 a>0 时,令 f′(x)>0,解得 x>1; 令 f′(x)<0,解得 0<x<1. 所以函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增; (2)当 a<0 时, ①当﹣ <1 时,即 a<﹣1 时,令 f′(x)>0,解得:﹣ <x<1;

∴函数 f(x)在(﹣ ,1)上单调递增;

②当﹣ =1 时,即 a=﹣1 时,显然,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递减,无增区间;

③当﹣ >1 时,即﹣1<a<0 时,令 f′(x)>0,解得 1<x<﹣

∴函数 f(x)在(1,﹣ )上单调递增; 综上所述,(1)当 a>0 时,函数 f(x)在(1,+∞)上单调递增; (2)当 a<﹣1 时,函数 f(x)在(﹣ ,1)上单调递增; (3)当 a=﹣1 时,函数 f(x)无单调递增区间; (4)当﹣1<a<0 时,函数 f(x)在(1,﹣ )上单调递增; (Ⅱ)假设函数 f(x)存在“中值相依切线”. 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线 y=f(x)上的不同两点,且 0<x1<x2, 则 y1= ﹣x1﹣lnx1,y2= ﹣x2﹣lnx2.

kAB=

=x2+x1﹣1﹣



曲线在点 M(x0,y0)处的切线斜率:

k=f′(x0)=f′(

)=x1+x2﹣1﹣



x2+x1﹣1﹣

=x1+x2﹣1﹣







,即 ln ﹣

=0,

令 t= >1

设 h(t)=lnt﹣

,则 h′(t)=

>0,

∴h(t)在(0,+∞)递增,

∴h(t)>h(1)=0,

故 h(t)=0 在(0,+∞)无解,假设不成立,

综上所述,假设不成立,

所以,函数 f(x)不存在“中值相依切线”.

【点评】此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间,灵活运用中点坐标公

式化简求值,掌握反证法进行命题证明的方法,是一道综合题,属难题.

选考题:共 10 分.请考生在 22,23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题

记分.[选修 4-4:坐标系与参数方程]

22.【分析】(I)直线 l 的参数方程消去数 t,能求出直线 l 的一般方程,由 ρcosθ=x,ρsinθ =y,ρ2=x2+y2,能求出曲线 C 的直角坐标方程,由圆心(2,3)到直线 l 的距离 d=r,

得到直线 l 和曲线 C 相切.

(II)曲线 D 为 x2+y2=1.曲线 D 经过伸缩变换

,得到曲线 E 的方程为

,从而点 M 的参数方程为 取值范围.

(θ 为参数),由此能求出



【解答】解:(I)∵直线 l 的参数方程为

(t 为参数).

∴消去数 t,得直线 l 的一般方程为



∵曲线 C 的极坐标方程是 ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,

∴由 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,

得曲线 C 的直角坐标方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.

∵圆心(2,3)到直线 l 的距离 d=

=r,

∴直线 l 和曲线 C 相切. (II)曲线 D 为 x2+y2=1.

曲线 D 经过伸缩变换

,得到曲线 E 的方程为



则点 M 的参数方程为

(θ 为参数),







的取值范围为[﹣2,2].

【点评】本题考查直线的一般方程和曲线的直角坐标方程的求法,考查直线与圆的位置

关系的判断,考查代数式的取值范围的求法,考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方

程的互化等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数

与方程思想,是中档题.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.【分析】(Ⅰ)当 a=1 时,根据绝对值不等式的解法即可解不等式 f(x)≥5;

(Ⅱ)求出 f(x)+|x﹣2|的最小值,根据不等式的关系转化为(f(x)+|x﹣2|)min<3 即 可求 a 的取值范围.

【解答】解:(Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=|x﹣2|+|2x+1|,. 由 f(x)≥5 得 x﹣2|+|2x+1|≥5. 当 x≥2 时,不等式等价于 x﹣2+2x+1≥5,解得 x≥2,所以 x≥2;

…(1 分)

当﹣ <x<2 时,不等式等价于 2﹣x+2x+1≥5,即 x≥2,所以此时不等式无解;…(2

分)

当 x≤﹣ 时,不等式等价于 2﹣x﹣2x﹣1≥5,解得 x≤﹣ ,所以 x≤﹣ .…(3 分)
所以原不等式的解集为(﹣∞,﹣ ]∪[2,+∞).…(5 分) (Ⅱ)f(x)+|x﹣2|=2|x﹣2|+|2x+a|=|2x﹣4|+|2x+a|≥|2x+a﹣(2x﹣4)|=|a+4|…(7 分) 因为原命题等价于(f(x)+|x﹣2|)min<3,…(9 分) 所以|a+4|<3,所以﹣7<a<﹣1 为所求实数 a 的取值范围.…(10 分) 【点评】本题主要考查不等式的求解,根据绝对值不等式的解法,利用分类讨论的数学 思想进行讨论是解决本题的关键.


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