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专题24 平面向量中最值、范围问题-备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(原卷版)

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【高考地位】
平面向 量中 的最值和范围问题,是一个热点问题,也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的 条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数.解决这类问题的一般思路是建 立求解目标的函数关系,通过函数的值域解决问题,同时,平面向量兼具“数”与“形”的双重身份,解 决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和 解答题,其试题难度属中高档题.
【方法点评】 方法一 利用基本不等式求平面向量的最值
使用情景:一般平面向量求最值问题 解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系;
第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论.

例 1 设 M 是△ ABC 内一点,且 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30?,定义 f (M ) ? (m, n, p) ,其中 m , n ,

p 分别是△ MBC ,△ MCA,△ MAB 的面积,若 f (M ) ? (1 , x, y) ,则 1 ? 4 的最小值是( )

2

xy

A.8 C.16

B.9 ]
D.18

例 2 如右图所示,已知点 G 是 ?ABC 的重心,过点 G 作直线与 AB, AC 两边分 别交于 M , N 两点,且 AM ? x AB, AN ? y AC ,则 x ? 2y 的最小值为( )

A.2

B. 1

3

C. 3 ? 2 2 3

D. 3 4

【变式演练 1】如图所示,已知点 G 是 ?ABC 的重心,过点 G 作直线与 AB, AC 两边分别交于 M , N 两点,

且 AM ? x AB, AN ? y AC ,则 x ? y 的最小值为( )

A

M G
B Q

N C

A.2

B. 1

C. 4

3

3

D. 3 4

【变式演练 2】已知点 A(1, ?1),B(4,0),C(2,2).平面区域 D 由所有满足 AP ? ? AB ? ? AC (1≤?≤a,

1≤?≤b)的点 P(x,y)组成的区域.若区域 D 的面积为 8,则 a+b 的最小值为



【变式演练 3】平行四边形 ABCD 中, ?BAD ? 60 , AB? 1, AD? 2 , P为平行四边形内一点,且

AP ? 2 ,若 AP ? ? AB ? ? AD(?, ? ? R) ,则 ? ? 2u 的最大值为



2

方法二 利用向量的数量积 m? n ? m n 求最值或取值范围
使用情景:涉及数量积求平面向量最值问题 解题模板:第一步 运用向量 的加减法用已知向量表示未知向量;
第二步 运用向量的数量积的性质求解; 第三步 得出结论.
例 3 已知 ?OAB 的顶点坐标为 O(0,0) , A(2,9) ,B(6,?3) , 点 P 的横坐标为 14,且 OP ? ?PB ,点 Q
是边 AB 上一点,且 OQ ? AP ? 0 .
(1)求实数 ? 的值与点 P 的坐标;
(2)求点 Q 的坐标;

(3)若 R 为线段 OQ (含端点)上的一个动点,试求 RO ? (RA ? RB) 的取值范围.

a, b t 【变式演练 4】已知向量

不共线, 为实数. [来源:学科网 ZXXK]

(Ⅰ)若 OA ? a , OB ? tb , OC ? 1 (a ? b) ,当 t 为何值时, A, B,C 三点共线; 3
(Ⅱ)若| a |?| b |?1,且 a 与 b 的夹角为120 , 实数 x ?[?1, 1] ,求 | a ? xb | 的取值范围. 2

【变式演练 5】若直线 ax ? y ? a ?1 ? 0(a ? R) 与圆 x2 ? y2 ? 4 交于 A 、 B 两点(其中 O 为坐标原点),

则 AO ? AB 的最小值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

方法三 建立直角坐标系法
使用情景:一般向量求最值或取值范围类型 解题模板:第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标;
第二步 将平面向量数量积的运算坐标化; 第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即 可.
例 3 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上一个动点,若 AM ? 2 ,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是__________.

例 4 在 Rt?ABC 中, BC ? a ,若长为 2a 的线段 PQ 以 A 点为中点,问 PQ 与 BC 的夹角 ? 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

【变式演练 6】如图,在等腰直角三角形 ABC 中, 的取值范围是( )

,D,E 是线段 BC 上的点,且

,则

A.

B.

C.

D.

【变式演练 7】在平面上, AB1 ? AB2 , OB1

?

OB2

? 1, AP ? AB1 ? AB2 .若 OP

?

1 ,则 OA 2

的取值范

围是( )

? A. ?0,
?

5?

2

? ?

? B. ?
?

5, 2

7?

2

? ?

? C. ?
?

5 2

,

? 2?
?

? D. ???

7, 2

? 2?
?

【高考再现】
1. 【2016 年高考四川理数】在平面内,定点 A,B,C,D 满足
2
DA = DB = DC , DA ? DB = DB ? DC = DC ? DA =-2,动点 P,M 满足 AP =1,PM = MC ,则 BM
的最大值是( )

(A) 43 4

(B) 49 4

(C) 37 ? 6 3 4

(D) 37 ? 2 33 4

2.【2016 高考浙江理数】已知向量 a、b, |a| =1,|b| =2,若对任意单位向量 e,均有 |a·e|+|b·e|

? 6 ,则 a·b 的最大值是



3.【2015 高考福建,理 9】已知 AB ? AC, AB ? 1, AC ? t ,若 P 点是 ?ABC 所 在平面内一点,且 t

AP ? AB ? 4AC ,则 PB ? PC 的最大值等于(



AB AC

A.13

B.15

C.19

D.21

4【. 2015 高考天津,理 14】在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB / / DC, AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 ,动点 E 和

F 分别在线段 BC 和 DC 上,且, BE ? ? BC, DF ? 1 DC, 则 AE ? AF 的最小值为

.

9?

5.【2015 高考浙江,理 15】已知 e1, e2 是空间单位向量,e1 ? e2 ? 1 ,若空间向量 b 满 足 b ? e1 ? 2,b ? e2 ? 5 ,

2

2

且对于任意 x, y ? R , b ? (xe1 ? ye2 ) ? b ? (x0 e1 ? y0 e2 ) ? 1(x0, y0? R) ,则 x0 ?

, y0 ?



b?



6.【2015 高考湖南,理 8】已知点 A ,B ,C 在圆 x2 ? y2 ? 1上运动,且 AB ? BC ,若点 P 的坐标为 (2, 0) ,

则 PA ? PB ? PC 的最 大值为( )

A.6

B.7

C.8

D.9

7.【2015 高考上海,文 13】已知平面向量 a 、b 、c 满足 a ? b ,且{| a |,| b |,| c |} ? {1,2,3},则| a ? b ? c |

的最大值是

.

[来源:学科网]

[来源:Z§xx§k.Com]

【反馈练习】

1 .【 2017 届 湖 南 长 沙 长 郡 中 学 高 三 摸 底 测 试 数 学 试 卷 , 理 15 】 已 知 AD 是 ?ABC 的 中 线 ,

AD ? ? AB ? ? AC(?, ? ? R) , ?A ? 1200 , AB ? AC ? ?2 ,则| AD | 的最小值是

.

2. 【2017 届浙江名校协作体高三上学期联考数学试卷,理 15】已知点 A?1? m,0? , B?1? m,0? ,若圆

C : x2 ? y2 ? 8x ? 8y ? 31 ? 0 上存在一点 P ,使得 PA? PB ? 0 ,则正.实.数.m 的最小值为



3 .【 2017 届 山 西 大 学 附 中 高 三 二 模 测 试 数 学 试 卷 , 理 15 】 在 直 角 梯 形
A B C, D ?A B , AD DC / / A B? , A ?D D C? 1分,别A为BAB, A2C, 的E中,点F,点 P 在以 A 为圆心,AD

为半径的圆弧 DE 上变动(如图所示).若 AP ? ? ED ? ? AF ,其中 ?, ? ? R ,则 2? ? ? 的取值范围是
___________.

4.【 201 6 届湖北省沙市中学高三考前最后一卷理科数学试卷,理 14】已知 A(1,0) ,曲线 C : y ? eax 恒过点

uuur uuur

B ,若 P 是曲线 C 上的动点,且 AB ? AP 的最小值为 2 ,则 a ?

.

5.【 2016 届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研二数学试卷,理 16】在平面直角坐标系 xOy 中,设点

A(1,0)



B(0 ,1)



C

(a

,b)



D(c

,d

)

,若不等式

2
CD



(m

?

2)OC

?

OD

?

m(OC

?

OB)

?

(OD

?

OA)

对任意实数

a,b,c,d 都成立,则实数 m 的最大值是



6.【 016 届江苏省南京市高三第三次学情调研测试数学试卷,理 14】在半径为 1 的扇形 AOB 中,∠AOB=

60o,C 为弧上的动点,AB 与 OC 交于点 P,则 OP ? BP 的最小值是



7 .【 2016 届 江 苏 省 扬 州 中 学 高 三 3 月 质 量 检 测 数 学 试 卷 , 理 15 】 平 行 四 边 形 ABCD 中 ,

?B A D ?6 0 , A B? 1, A D? 2 ,为P平行四边形内一点,且 AP ? 2 ,若 AP ? ? AB ? ? AD(?, ? ? R) ,
2

则 ? ? 2u 的最大值为



8.【 2016 届浙江省绍兴市一中高三 9 月回头考数学试卷,文 15】已知向量?、?、? 满足 ? ? 1 ,? ? ? ? ? ,

(? ? ? ) ? (? ? ? ) ? 0 .若对每一确定的 ? , ? 的最大值和最小值分别是 m、n ,则对任意 ? , m ? n 的最

小值是



9.【 2014-2015 学年江苏省盐城市高一下学期期末考试数学试卷,理 14】已知正方形 ABCD 的边长为 1,

直线 MN 过正方形的中心 O 交边 AD, BC 于 M , N 两点,若点 P 满足 2OP ? ?OA ? (1? ?)OB ( ? ? R ),

则 PM ? PN 的最小值为



10. 【2016 届江苏省泰州中学高三上学期第二次月考数学试卷,理 18】设 ?ABC是边长为 1 的正三角形,

点 P1, P2 , P3 四等分线段 BC (如图所示).

(1)求 AB ? AP1 ? AP1 ? AP2 的值;

(2)

Q

为线段

AP1

上一点,若

AQ

?

m

AB

?

1 12

AC

,求实数

m

的值;

(3) P 为边 BC 上一动点,当 PA ? PC 取最小值时,求 cos?PAB的值.


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