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2010年北京市高级中等学校招生考试

时间:2014-02-21


学习方法报

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2010 年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷
学校 考 生 须 知 姓名 准考证号 1. 本试卷共 6 页,共五道大题,25 道小题,满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号. 3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4. 在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其它试题用黑色字迹签字笔作答. 5. 考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

一、选择题 (本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的 1. ?2 的倒数是( A. ? ) B.

1 2

1 2

C. ?2

D. 2

2. 2010 年 6 月 3 日,人类首次模拟火星载人航天飞行试验 “火星-500”正式启动.包括中国志愿者王跃在 内的 6 名志愿者踏上了为期 12 480 小时的 “火星之旅”.将 12 480 用科学记数法表示应为( A. 12.48?103 B. 0.1248?105 C. 1.248?104 D. 1.248?103
A



3. 如图 1,在△ABC 中,点 D、E 分 AB、AC 边上,DE//BC,若 AD︰AB=3︰4, AE=6,则 AC 等于( A. 3 ) B. 4 C. 6 D. 8 )
B D

4. 若菱形两条对角线的长分别为 6 和 8,则这个菱形的周长为( A. 20 B. 16 C. 12 D. 10

E C

图1 )

5. 从 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 这十个数中随机取出一个数,取出的数是 3 的倍数的概率是( A.

1 5

B.

3 10

C.

1 3

D.

1 2


6. 将二次函数 y=x2?2x?3 化为 y=(x?h)2?k 的形式,结果为( A. y=(x?1)2?4 C. y=(x?1)2?2 B. y=(x?1)2?4 D. y=(x?1)2?2

7. 10 名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛,他们的身高(单位:cm)如下表所示: 队员 1 甲队 乙对 177 170 队员 2 176 175 队员 3 175 173 队员 4 172 174 队员 5 175 183

2 2 设两队队员身高的平均数依次为 x甲 , x乙 ,身高的方差依次为 S甲 , S乙 ,则下列关系中完全正确的是




2 2 A. x甲 = x乙 , S甲 > S乙 2 2 B. x甲 = x乙 , S甲 < S乙

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2 2 > S乙 x乙 , S甲

C. x甲 >

D. x甲 < x乙 ,

2 2 > S乙 . S甲

8. 美术课上,老师要求同学们将图 2 所示的白纸只沿虚线剪开,用裁开的纸 片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型,然后放在桌面上,下面四个示意图中, 只有一个符合上述要求,那么这个示意图是( ) 图2

A

B

C
二、填空题 (本题共 16 分,每小题 4 分)

D
C

9. 若二次根式 2x ? 1 有意义,则 x 的取值范围是 10. 分解因式:m3?4m= .

.
A D E O B

11. 如图 3, AB 为圆 O 的直径, 弦 CD?AB, 垂足为点 E.连接 OC, 若 OC=5, CD=8, 则 AE= .

图3
B CD

12.图 4 为手的示意图,在各个手指间标记字母 A、B、C、D.请你按图中箭头所指方向 (即 A?B?C?D?C?B?A?B?C?…的方式)从 A 开始数连续的正整数 1,2,3,4…, 当数到 12 时,对应的字母是 ;当字母 C 第 201 次出现时,恰好数到的数是 ;
A

当字母 C 第(2n?1)次出现时(n 为正整数) ,恰好数到的数是 示) 三、解答题 (本题共 30 分,每小题 5 分)

.(用含 n 的代数式表 图4

?1? 13. 计算: ? ? ?20100? ? 4 3 ?tan60?. ? 3?

?1

14. 解分式方程:

3 x 1 ? = . 2x ? 4 x ? 2 2

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15. 已知: 如图 5, 点 A、 B、 C、 D 在同一条直线上, EA?AD, FD?AD, AE=DF, AB=DC.求证: ?ACE=?DBF.
E F

A

B

C

D

图5

16. 已知关于 x 的一元二次方程 x2?4x?m?1=0 有两个相等的实数根,求 m 的值及方程的根.

17. 列方程或方程组解应用题: 2009 年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为 5.8 亿立方米, 其中居民家庭用水比生产运营用水 的 3 倍还多 0.6 亿立方米,问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米.

18. 如图 6,直线 y=2x?3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B. (1)求 A、B 两点的坐标; (2)过 B 点作直线 BP 与 x 轴交于点 P,且使 OP=2OA,求△ABP 的面积.
y B
1

x

A
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O

图6

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四、解答题 (本题共 20 分,每小题 5 分) 19. 已知:如图 7,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB=DC=AD=2,BC=4.求?B 的度数及 AC 的长.

A

D

B

C

图7

20. 已知:如图 8,在△ABC 中,D 是 AB 边上一点,圆 O 过 D、B、C 三点,?DOC=2?ACD=90?. (1)求证:直线 AC 是圆 O 的切线; (2)如果?ACB=75?,圆 O 的半径为 2,求 BD 的长.
D B O C A

图8

21. 根据北京市统计局的 2006~2009 年空气质量的相关数据,绘制统计图如图 9:
2006~2009 年北京全年市区空气质量 达到二级和好于二级的天数统计图 天数 290 280 270 260 250 240 230 220 0 285

274 241 246

2006

2007

2008

2009

年份

图9 (1)由统计图中的信息可知,北京全年市区空气质量达到二级和好于二级的天数与上一年相比,增加 最多的是 年,增加了 天;
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全新课标理念,优质课程资源 (2)表 1 是根据《中国环境发展报告(2010) 》公布的数据绘制的 2009 年十个城市空气质量达到二级

和好于二级的天数占全年天数百分比的统计表,请将表 1 中的空缺部分补充完整.(精确到 1%)
表1 城市 百分比 2009 年十个城市空气质量达到二级和好于二级的天数占全年天数百分比统计图 北京 上海 91% 天津 84% 昆明 100% 杭州 89% 广州 95% 南京 86% 成都 86% 沈阳 90% 西宁 77%

(3) 根据表 1 中的数据将十个城市划分为三个组, 百分比不低于 95%的为 A 组, 不低于 85%且低于 95% 的为 B 组,低于 85%的为 C 组.按此标准,C 组城市数量在这十个城市中所占的百分比为 图 10 的扇形统计图. %;请你补全

2009 年十个城市空气质量 达到二级和好于二级的天数 占全年天数百分比分组统计图

A组
20%

图 10 22. 阅读下列材料: 小贝遇到一个有趣的问题:如图 11-①,在矩形 ABCD 中,AD=8cm,AB=6cm.现有一动点 P 按下列方 式在矩形内运动:它从 A 点出发,沿着与 AB 边夹角为 45?的方向作直线运动,每次碰到矩形的一边,就会 改变运动方向,沿着与这条边夹角为 45?的方向作直线运动,并且它一直按照这种方式不停地运动,即当 P 点碰到 BC 边,沿着 BC 边夹角为 45?的方向作直线运动,当 P 点碰到 CD 边,再沿着与 CD 边夹角为 45?的 方向作直线运动,…,如图 1 所示,问 P 点第一次与 D 点重合前与边相碰几次,P 点第一次与 D 点重合时所 经过的路线的总长是多少. 小贝的思考是这样开始的:如图 11-②,将矩形 ABCD 沿直线 CD 折叠,得到矩形 A1B1CD,由轴对称的 知识,发现 P2P3=P2E,P1A=P1E.请你参考小贝的思路解决下列问题: (1)P 点第一次与 D 点重合前与边相碰 径的总长是 cm; 次;P 点从 A 点出发到第一次与 D 点重合时所经过的路

(2)进一步探究:改变矩形 ABCD 中 AD、AB 的长,且满足 AD>AB,动点 P 从 A 点出发,按照阅读材 料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD 相邻的两边上.若 P 点第一次与 B 点重合前与边相碰 7 次,则 AB︰AD 的值为
A P3 P D A P

.

P3

D

E

A1

P2 B P1 C B P1 C

P2 B1



② 图 11
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全新课标理念,优质课程资源 五、解答题 (本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 8 分,第 25 题 7 分)

23. 已知反比例函数 y=

k 的图象经过点 A(? 3 ,1). x

(1)试确定此反比例函数的解析式; (2)点 O 是坐标原点,将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30?得到线段 OB.判断点 B 是否在此反比例函数 的图象上,并说明理由; (3)已知点 P(m, 3 m?6)也在此反比例函数的图象上(其中 m<0) ,过 P 点作 x 轴的垂线,交 x 轴于点 M.若线段 PM 上存在一点 Q,使得△OQM 的面积是

1 ,设 Q 点的纵坐标为 n,求 n2?2 3 n?9 的值. 2

24. 在平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y= ? 点 B(2,n)在这条抛物线上. (1)求点 B 的坐标;

m ? 1 2 5m x? x?m2?3m?2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A, 4 4

(2)点 P 在线段 OA 上,从 O 点出发向 A 点运动,过 P 点作 x 轴的垂线,与直线 OB 交于点 E.延长 PE 到点 D.使得 ED=PE.以 PD 为斜边在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD.(当 P 点运动时,C 点、D 点也随之运 动) ①当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长; ②若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA 上另一点 Q 从 A 点出发 向 O 点作匀速运动,速度为每秒 2 个单位(当 Q 点到达 O 点时停止运动,P 点也同时停止运动).过 Q 点作 x 轴的垂线,与直线 AB 交于点 F.延长 QF 到点 M,使得 FM=QF,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角 三角形 QMN(当 Q 点运动时,M 点、N 点也随之运动).若 P 点运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有 一条直角边恰好落在同一条直线上,求此刻 t 的值.
y

1

x

O 1

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图 11

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25. 问题:已知△ABC 中,?BAC=2?ACB,点 D 是△ABC 内的一点,且 AD=CD,BD=BA.探究?DBC 与?ABC 度数的比值.请你完成下列探究过程:先将图形特殊化,得出猜想,再对一般情况进行分析并加以证 明. (1)当?BAC=90?时,依问题中的条件补全右图. 观察图形,AB 与 AC 的数量关系为 ; ;

当推出?DAC=15?时,可进一步推出?DBC 的度数为 可得到?DBC 与?ABC 度数的比值为 ;

(2) 当?BAC?90?时,请你画出图形,研究?DBC 与?ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同,写 出你的猜想并加以证明.
B

C

A

图 12

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数学试卷答案 一、选择题 二、填空题 三、解答题 13. 解:原式=3?1?4 3 ? 3 =2?3 3 . 14. 解:去分母,得 3?2x=x?2. 整理,得 3x=5. 解得 x= 1.A 9. x≥ 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D 11. 2 7.B 12. B 8.B 603 6n?3

1 2

10. m(m?2) (m?2)

5 . 3 5 是原方程式的解. 3 5 . 3

经检验,x=

所以原方程式的解是 x= 15. 证明:∵AB=DC, ∴AC=DB,

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∵EA?AD,FD?AD, ∴?A=?D=90?. 在△EAC 与△FDB 中,∵EA=FD,?A=?D,AC=DB, ∴△EAC?△FDB, ∴?ACE=?DBF. 16. 解:由题意可知?=0,即(?4)2?4(m?1)=0,解得 m=5. 当 m=5 时,原方程化为 x2?4x?4=0.解得 x1=x2=2. 所以原方程的根为 x1=x2=2. 17. 解法一: 设生产运营用水 x 亿立方米, 则居民家庭用水 (5.8?x) 亿立方米, 依题意, 得 5.8?x=3x?0.6. 解得 x=1.3,5.8?x=5.8?1.3=4.5. 答:生产运营用水 1.3 亿立方米,居民家庭用水 4.5 亿立方米

? x ? y ? 5.8 解法二:设生产运营用水 x 亿立方米,居民家庭用水 y 亿立方米,依题意,得 ? . ? y ? 3x ? 0.6
解这个方程组,得 x=1.3,y=4.5. 答:生产运营用水 1.3 亿立方米,居民家庭用水 4.5 亿立方米. 18. 解: (1) 令 y=0,得 x= ?

3 3 .所以 A 点坐标为(? ,0). 2 2

令 x=0,得 y=3.所以 B 点坐标为(0,3). (2) 设 P 点坐标为(x,0) ,依题意,得 x=?3, ∴P 点坐标分别为 P1(3,0)或 P2(?3,0). ∴ S ?ABP1 =

3? 1 ?3 1 ? 9 27 ? ? ? ? 3 ? ?3= , S ?ABP2 = ? ? 3 ? ? ?3= , 2 ?2 2 ? 4 4 2? ?
27 9 或 . 4 4

∴△ABP 的面积为 四、解答题

19. 解法一:如图 1,分别作 AF?BC,DG?BC,F、G 是垂足. ∴?AFB=?DGC=90?. ∵AD//BC, ∴四边形 AFGD 是矩形. ∴AF=DG. ∵AB=DC, ∴Rt△AFB?Rt△DGC. ∴BF=CG. ∵AD=2,BC=4, ∴BF=1.
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A

D

B

F

图1

G

C

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在 Rt△AFB 中,∵cosB= ∴?B=60?. ∵BF=1, ∴AF= 3 .

BF 1 = , AB 2

∵FC=3,由勾股定理,得 AC=2 3 , ∴?B=60?,AC=2 3 . 解法二: 如图 2,过 A 点作 AE∥DC 交 BC 于点 E. ∵AD//BC, ∴四边形 AECD 是平行四边形. ∴AD=EC,AE=DC, ∵AB=DC=AD=2,BC=4, ∴AE=BE=EC=AB. 可证△BAC 是直角三角形,△ABE 是等边三角形, ∴?BAC=90?,?B=60?. 在 Rt△ABC 中, AC=AB?tan60?=2 3 , ∴?B=60?,AC=2 3 . 20. (1) 证明:∵OD=OC,?DOC=90?, ∴?ODC=?OCD=45?. ∵?DOC=2?ACD=90?, ∴?ACD=45?, ∴?ACD??OCD=?OCA=90?. ∵点 C 在圆 O 上, ∴直线 AC 是圆 O 的切线. (2) 解:∵OD=OC=2,?DOC=90?,可求 CD=2 2 . ∵?ACB=75?,?ACD=45?, ∴?BCD=30?. 如图 3,作 DE?BC 于点 E,∴?DEC=90?, ∴DE=DC?sin30?= 2 . ∵?B=
B D E O C A B E 图2 C A D

图3

1 ∠COD=45?, 2

∴DB= 2.
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21. 解: (1) 2008 (2) 78% (3) 30

补充完整统计图如图 4 所示. 24 2 (2)4︰5

22. 解: (1) 5

提示:解题思路示意图,如图 5:
A D A1 D1 A2

B

C

B1

C1

B2

图5 五、解答题 23. 解: (1)由题意得 1=

k ? 3

,解得 k= ? 3 ,∴反比例函数的解析式为 y= ?

3 ; x

(2)如图 6,过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C. 在 Rt△AOC 中,OC= 3 , AC=1,可得 OA= OC 2 ? AC 2 =2,?AOC=30?. 由题意得?AOB=30?,OB=OA=2, ∴?BOC=60?. 过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D. 在 Rt△BOD 中,可得 BD= 3 ,OD=1. ∴B 点坐标为(?1, 3 ). 将 x= ?1 代入 y= ?
A B

y

3 中,得 y= 3 . x

x
C DO

3 ∴点 B(?1, 3 )在反比例函数 y= ? 的图象上. x
(3)由 y= ?

图6

3 得 xy= ? 3 . x 3 的图象上,其中 m<0, x

∵点 P(m, 3 m?6)在反比例函数 y= ? ∴m( 3 m?6)= ? 3 , ∴m2?2 3 m?1=0. ∵PQ?x 轴, ∴Q 点的坐标为(m,n).

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∵△OQM 的面积是 ∴

1 , 2

1 1 OM?QM= , 2 2

∵m<0, ∴mn= ?1, ∴m2n2?2 3 mn2?n2=0, ∴n2?2 3 n= ?1, ∴n2?2 3 n?9=8. 24. 解: (1) ∵拋物线 y= ?

m ? 1 2 5m x? x?m2?3m?2 经过原点, 4 4

∴m2?3m?2=0,解得 m1=1,m2=2. 由题意知 m?1,∴m=2, ∴拋物线的解析式为 y= ?

1 2 5 x ? x. 4 2 1 2 5 x ? x 上, 4 2

∵点 B(2,n)在拋物线 y= ? ∴n=4, ∴B 点的坐标为(2,4).

(2)①设直线 OB 的解析式为 y=k1x,求得直线 OB 的解析式为 y=2x. ∵A 点是拋物线与 x 轴的一个交点,可求得 A 点的坐标为(10,0). 设 P 点的坐标为(a,0) ,则 E 点的坐标为 (a,2a). 根据题意作等腰直角三角形 PCD,如图 7.可求得点 C 的坐标为(3a,2a). 由 C 点在拋物线上,得 2a= ? 解得 a1=

1 5 9 11 ?(3a)2? ?3a,即 a2? a=0. 4 2 4 2

22 22 ,a2=0(舍去) ,∴OP= . 9 9

②依题意作等腰直角三角形 QMN. 设直线 AB 的解析式为 y=k2x?b,由点 A(10,0) ,点 B(2,4) ,求得直线 AB 的解析式为 y= ?

1 x?5. 2

当 P 点运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况: 第一种情况:CD 与 NQ 在同一条直线上.如图 8 所示.可证△DPQ 为等腰直角三角形.此时 OP、DP、AQ 的长可依次表示为 t、4t、2t 个单位. ∴PQ=DP=4t, ∴t?4t?2t=10,

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∴t=

10 . 7

第二种情况:PC 与 MN 在同一条直线上.如图 9 所示.可证△PQM 为等腰直角三角形.此时 OP、AQ 的长 可依次表示为 t、2t 个单位. ∴OQ=10?2t, ∵F 点在直线 AB 上, ∴FQ=t, ∴MQ=2t, ∴PQ=MQ=CQ=2t, ∴t?2t?2t=10, ∴t=2. 第三种情况:点 P、Q 重合时,PD、QM 在同一条直线上,如图 10 所示.此时 OP、AQ 的长可依次表示 为 t、2t 个单位. ∴t?2t=10, ∴t=

10 . 3 10 10 ,2, . 7 3
y
D

综上,符合题意的 t 值分别为
y D

B

E

C

E

B

C

M F N

A
Q

x

A O P

x

O

P

图7
y y
D

图8
D

B (E)

M (C) N F Q A

M E BF

C

N O P

x
O Q(P)

A

x

图9 25. 解: (1)补全图形如图 11 所示. 相等 15? 1︰3

图 10

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(2) 猜想:?DBC 与?ABC 度数的比值与(1)中结论相同. 证明:如图 12,作?KCA=?BAC,过 B 点作 BK//AC 交 CK 于点 K,连接 DK. ∵?BAC?90?, ∴四边形 ABKC 是等腰梯形, ∴CK=AB. ∵DC=DA, ∴?DCA=?DAC. ∵?KCA=?BAC, ∴?KCD=?3. ∴△KCD?△BAD, ∴?2=?4,KD=BD, ∴KD=BD=BA=KC. ∵BK//AC, ∴?ACB=?6. ∵?KCA=2?ACB, ∴?5=?ACB, ∴?5=?6. ∴KC=KB, ∴KD=BD=KB, ∴?KBD=60?, ∵?ACB=?6=60???1, ∴?BAC=2?ACB=120??2?1, ∵?1?(60???1)?(120??2?1)??2=180?, ∴?2=2?1, ∴?DBC 与?ABC 度数的比值为 1︰3.
C
5

B

D C A

图 11

K
4

B 6 1 2

D

3

A

图 12

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