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2013夏津一中高三12月月考数学理科试题(含答案)

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2013——2014 学年第一学期月考测试高三 A 层 理科数学试题
编制: 崔世波 时间:120 分钟 审核:纪登彪 满分:150 分

一.选择题(本大题共 12 个小题,每题 5 分共 60 分)
1. 设全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 1? ,集合 B ? ( x | y ? A. (??,0) B. (??,1) C. [1,??)

3 ? x } ,则 A ? B =
D.

(1,3]

2. 设{ an }是公比为正数的等比数列,若 a3=4,a5=16,则数列{ an }的前 5 项和为 A.41 B.15 C.32 D.31

3.已知 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ?

2 , b ? 3, B ? 60 ? ,则

A=
A. 135
?

B. 45

?

C. 135 或 45

?

?

D. 90

?

4. 函 数 f ( x) ? sin( x ? ?,( ? )其中 ? ? 示, 的图象( A.向右平移

? 的图象如图所 ) 2

为了得到 g ( x) ? sin ?x 的图象,则只要将 f ( x) )

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
x

? 个单位长度 12 ? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移

5.函数 f ( x) ? ln x ? e 的零点所在的区间是 A. (0, )

1 e

B. ( ,1)

1 e

C. (1, e)

D. (e, ??)

6. 已知向量 a ? (4,3) , b ? (?2,1) , 如果向量 a ? ?b 与 b 垂直, | 2a ? ?b | 的值为 则 ( A.1 B. 5 C. 5
1



D. 5 5

7.已知等比数列 ?a n ?中,各项都是正数,且 a1 , A. 1? 2 B. 1? 2

a ? a9 1 等于 a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 a6 ? a7 2
C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

? x ? y ? 2 ? 0, 8. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是( ? ? x 2 ? y 2 ? 4, ?
A. 5
2



B. ?1

C. 2

D. 2 5

9.如图曲线 y ? x 和直线 x?0 x?1 y ? 所围成的图形(阴 , , 影部分)的面积为 A.

1 4 1 2

2 3

B.

1 4

C.

D.

1 3


10.函数 y ?

x , x ? (?? ,0) ? (0, ? ) 的图象可能是下列图象中的( sin x

11.不等式组

? x ? 2 ? 2, ? 的解集为( ? ?log 2 ( x 2 ? 1) ? 1 ?
B.

)

A. (0, 3 )

( 3,2)

C.

( 3,4)

D. (2,4)

12.定义域为[ a , b ]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x) 图象上任 意一点,其中 x ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ? ?0,1? .已知向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB ,若 不等式 | MN |? k 恒成立,则称函数 f (x)在[a,b]上“k 阶线性近似”.若函数

y ?x ?

1 在[1,2]上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围为 x
B. [

A. [0, ??)

1 , ??) 12
2

C. [ ? 2, ??)

3 2

D. [ ? 2, ??)

3 2

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.已知 cos(? ?

?
4

)?

2 , 则 sin 2? = 4



14.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,当 x<0 时, f ( x) ? x 2 ? 3a sin 则实数 a= 。

?x
2


, 且f (3) ? 6 ,

15.已知数列 {an }满足a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则 16.有下列命题: ①函数 y ? cos( x ? ②函数 y ?

an 的最小值为 n

?
4

) cos( x ?

?
4

) 的图象中,相邻两个对称中心的距离为π ;

x?3 的图象关于点(-1,1)对称; x ?1
2

③关于 x 的方程 ax ? 2ax ? 1 ? 0 有且仅有一个实数根,则实数 a=-1; ④已知命题 p:对任意的 x∈R,都有 sin x ? 1, 则?p : 存在x ? R, 使得 sin x ? 1. 其中所有真命题的序号是____.

三.解答题(17-21 题每题 12 分,22 题 14 分,共 74 分,解答题应写出必要 的文字说明)
17.设函数 f ( x) ? ln( x ? ax ? 1) 的定义域为 A .
2

(1)若 1 ? A , ?3 ? A ,求实数 a 的范围; (2)若函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围. 18.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c 且 a ? 2 , cos B ? (1)b=3, 求 sin A 的值。 (2)若△ ABC 的面积 S ?ABC =3,求 b,c 的值。

4 5

3

n ?1 19. 已知数列 a n 满足 a1 ? 2a2 ? ? ? ? ? 2 an ?

n (n ? N ) 2

(1)求数列 ?a n ?的通项; (2)若 bn ?

n 求数列 ?bn ? 的前 n 项 S n 和. an
︵ 3? 圆弧AB上有一点 C. 2

20、如图,半径为 1 圆心角为

︵ (1)当 C 为圆弧 AB中点时,D 为线段 OA 上任一点,求

| OC ? OD | 的最小值;
︵ (2)当 C 在圆弧 AB 上运动时,D、E 分别为线段 OA、OB 的中点,求 CE · DE 的取值范围. 21.已知椭圆的焦点坐标为 F1 (-1,0), F2 (1,0),过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、 Q 两点,且|PQ|=3, (1) 求椭圆的方程; (2) 过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1 MN 的内切圆的面积是否存 在最大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 22.已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ax 在 x ? ?

1 处的切线的斜率为 1. 2

(1)求 a 的值及 f ( x) 的最大值; (2)证明: 1 ?

1 1 1 ? ? ?????? ? ? ln(n ? 1)(n ? N *) . 2 3 n
x

(3)设 g ( x) ? b(e ? x), 若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 b 的取值范围.

4

2013——2014 学年第一学期月考测试高三 A 层理科数学

参考答案 1-5 DDBAA 13. ?

6-10 DCDBC 14. 5 15.

11-12CD

3 4

21 2

16. (3),(4)

17.解:(Ⅰ)由题意,得 ? 所以 a ?

? 1? a ?1 ? 0 ?9 ? 3a ? 1 ? 0

--------------------2 分

10 . 3 10 ,??) . 3
2

故实数 a 的范围为 [

-------------------------6 分

(Ⅱ)由题意,得 x ? ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立, 则? ? a ?4 ? 0
2

-------------------------8 分 -------------------------11 分 -----------------------12 分

解得 ? 2 ? a ? 2 . 故实数实数 a 的范围为 (?2, . 2) 参考答案

4 且 0 <B< ? 5 3 2 ? sin B = 1 ? cos B = 5 a b a sin B 2 由正弦定理 得 sin A = = ? sin A sin B b 5 1 (2) 因为 S ?ABC = a c ? sin B = 3 2 1 3 所以 ? 2c ? = 3 所以 c = 5 2 5
18.解析: (1) ? cos B = 由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B ? 2 2 ? 5 2 ? 2 * 2 * 5 * 所以 b= 13

2分 6分

9分

4 ? 13 5
12 分

5

19.解:解:(Ⅰ) n ? 1时a1 ?

1 2

n ?????????(1) 2 n -1 ???..(2) n ? 2时 a1 ? 2a2 ? 2a3 ? ? ? ?2 n?2 an?1 ? 2 1 1 (1)-(2)得 2 n ?1 a n ? 即 a n ? n 2 2 1 1 又 a1 ? 也适合上式? a n ? n 2 2 a1 ? 2a2 ? 2a3 ? ? ? ?2 n?1 an ?
(Ⅱ) bn ? n ? 2
n

?????6 分

S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? ? ? n ? 2 n 2S n ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n?1

?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 2 ? n ? 2 n?1 1? 2
?????12 分

? S n ? (n ? 1)2 n?1 ? 2

20.解:(1)以 O 为原点,以 OA 为 x 轴正方向,建立图示坐标系, 设 D ( t , 0 ) ( 0 ≤ t ≤ 1 ) , C (?

2 2 , )?????????2′ 2 2 2 2 ? t, ) ∴ OC ? OD =( ? 2 2 1 1 2 2 2 ∴ | OC ? OD | = ? 2t ? t ? = t ? 2t ? 1 2 2 2 时,最小值为 2

(0≤t≤1)?5′ 当t ?

2 ??????????6′ 2
(2)设 OC =(cosα ,sinα )(0≤α ≤

3 π) 2
6

1 1 ) (cosα , — sinα )( ? cos?,? ? sin ? ) = ???8′ 2 2 1 1 又∵D( , ),E(0, ? ) 0 2 2 1 1 ∴ DE =( ? ,? )??????????10′ 2 2
CE ? OE ? OC = (0,?
∴ CE · DE =

2 ? 1 1 1 sin(? ? ) ? (cos? ? ? sin ? ) = 2 4 4 2 2



? ? ≤? ? ≤ 4 4

7? ??????????11′ 4
∴ CE · DE ∈[

1 2 1 2 ? , ? ]??????????12′ 4 2 4 2

x2 y 2 =1(a>b>0),由焦点坐标可得 c=1 ? a 2 b2 2b 2 x2 y 2 由 PQ|=3,可得 =3, 解得 a=2,b= 3 ,故椭圆方程为 ? =1????4 分 a 4 3 (2) 设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,不妨 y1 >0, y2 <0,设△ F1 MN 的内切圆的径 R, 1 则△ F1 MN 的周长=4a=8, S? F1MN ? (MN+ F1 M+ F1 N)R=4R 因此 S? F1MN 最大,R 就最 2
21.解析:解:(1) 设椭圆方程为 大,?????6 分

1 F1 F2 ( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 ,由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 2 ? x ? my ? 1 ? 2 2 x=my+1,由 ? x 2 y 2 得 (3m ? 4) y +6my-9=0,???8分 ?1 ? ? 3 ?4 S AMN ?

?3m ? 6 m 2 ? 1 ?3m ? 6 m 2 ? 1 1 得 y1 ? , y2 ? , 则 S? AMN ? AB( y1 ? y2 ) 2 2 3m ? 4 3m ? 4 2 2 2 12 m ? 1 12t 12 12 m ? 1 2 ? 2 ? = y1 ? y2 = , t= m ? 1 ,则 t≥1,则 S? AMN ? 令 令 2 2 3m ? 4 3t ? 1 3t ? 1 3m ? 4 t 1 1 f(t)=3t+ ,则 f′(t) =3- 2 ,当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增, 有 f(t) t t 12 12 3 ≥f(1)=4, S? AMN ≤ =3,即当 t=1,m=0 时, S? AMN ≤ =3, S? AMN =4R,∴ Rmax = , 3 3 4 9 9 这时所求内切圆面积的最大值为 π .故直线 l:x=1,△AMN 内切圆面积的最大值为 16 16
7

π ??????12 分 22 解:(1)函数 f(x)的定义域为(-1,+∞). 1 求导数,得 f ′(x)= -a. 1+x 1 1 由已知,得 f ′(- )=1,即 -a=1,所以 a=1. 2 1 1+(- ) 2 1 -x 此时 f(x)=ln(1+x)-x,f ′(x)= -1= , 1+x 1+x 当-1<x<0 时,f ′(x)>0;当 x>0 时,f ′(x)<0. 所以当 x=0 时,f(x)取得极大值,该极大值即为最大值, 所以 f(x)max=f(0)=0.???????????????????????4 分 (2)法一:由(1),得 ln(1+x)-x≤0, 即 ln(1+x)≤x,当且仅当 x=0 时,等号成立. 1 1 1 1 k+1 * 令 x= (k∈N ),则 >ln(1+ ),即 >ln ,

k

k

k

k

k

1 所以 >ln(k+1)-lnk(k=1,2,?,n).

k

将上述 n 个不等式依次相加,得 1 1 1 1+ + +?+ >(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+?+[ln(n+1)-lnn], 2 3 n 1 1 1 * 所以 1+ + +?+ >ln(n+1)(n∈N ).?????????????10 分 2 3 n (3)因为 f(0)=0,g(0)=b,若 f(x)≤g(x)恒成立,则 b≥0. 由(1),知 f(x)max=f(0)=0. ①当 b=0 时,g(x)=0,此时 f(x)≤g(x)恒成立; x ②当 b>0 时,g′(x)=b(e -1), 当 x∈(-1,0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增. 所以 g(x)在 x=0 处取得极小值,即为最小值, 所以 g(x)min=g(0)=b>0≥f(x),即 f(x)≤g(x)恒成立. 综合①②可知,实数 b 的取值范围为[0,+∞).??????14 分

8


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