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【强烈推荐】高中文科数学选修重要知识点

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第一部分 简单逻辑用语

1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.

真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句.

2、“若 p ,则 q ”形式的命题中的 p 称为命题的条件, q 称为命题的结论. 3、原命题:“若 p ,则 q ” 逆命题: “若 q ,则 p ”
否命题:“若 ?p ,则 ?q ” 逆否命题:“若 ?q ,则 ?p ”

4、四种命题的真假性之间的关系:

(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

5、若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件.

若 p ? q ,则 p 是 q 的充要条件(充分必要条件).

利用集合间的包含关系: 例如:若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,

则 A 是 B 的充要条件;
6、逻辑联结词:⑴且(and) :命题形式 p ? q ;⑵或(or):命题形式 p ? q ;

⑶非(not):命题形式 ?p . p

q

p ? q p ? q ?p









































7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等,用“ ? ”表示;

全称命题 p: ?x ? M , p(x) ; 全称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p(x) 。

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等,用“ ? ”表示; 特称命题 p: ?x ? M , p(x) ; 特称命题 p 的否定 ? p: ?x ? M , ?p(x) ;

第二部分 圆锥曲线

1、平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹称为椭圆.

即:| MF1 | ? | MF2 |? 2a, (2a ?| F1F2 |) 。
这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.

2、椭圆的几何性质:

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

?b

?

0?

y2 a2

?

x2 b2

? 1? a

?b

?

0?

范围

?a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

?b ? x ? b 且 ?a ? y ? a

顶点
轴长 焦点 焦距 对称性 离心率

?1 ??a,0? 、 ?2 ?a,0?

?1 ?0, ?a? 、 ?2 ?0, a?

?1 ?0, ?b? 、 ?2 ?0,b?
短轴的长 ? 2b
F1 ??c,0? 、 F2 ?c,0?

?1 ??b,0? 、 ?2 ?b,0?
长轴的长 ? 2a
F1 ?0, ?c? 、 F2 ?0,c?

? ? F1F2 ? 2c c2 ? a2 ? b2
关于 x 轴、 y 轴、原点对称

e? c ? a

1?

b2 a2

?0

?

e

? 1?

3、平面内与两个定点 F1 ,F2 的距离之差的绝对值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨迹称为双曲线.即:

|| MF1 | ? | MF2 ||? 2a, (2a ?| F1F2 |) 。

这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距.

4、双曲线的几何性质:

焦点的位置

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

图形

标准方程
范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性

x2 a2

?

y2 b2

? 1? a

? 0,b ? 0?

y2 a2

?

x2 b2

? 1?a

? 0,b ? 0?

x ? ?a 或 x ? a , y ? R

y ? ?a 或 y ? a , x ? R

?1 ??a,0? 、 ?2 ?a,0?
虚轴的长 ? 2b
F1 ??c,0? 、 F2 ?c,0?

?1 ?0, ?a? 、 ?2 ?0, a?
实轴的长 ? 2a
F1 ?0, ?c? 、 F2 ?0,c?

? ? F1F2 ? 2c c2 ? a2 ? b2
关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

离心率

e? c ? a

1?

b2 a2

?e

? 1?

渐近线方程

y??bx a

y??ax b

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

6、平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点 F 称为抛物线的焦

点,定直线 l 称为抛物线的准线.

7、抛物线的几何性质:

标准方程

y2 ? 2 px
? p ? 0?

y2 ? ?2 px
? p ? 0?

x2 ? 2 py
? p ? 0?

x2 ? ?2 py
? p ? 0?

图形

顶点

? 0, 0?

对称轴

x轴

y轴

焦点

F

? ??

p 2

,

0

? ??

准线方程

x?? p 2

F

? ??

?

p 2

,

0

? ??

x? p 2

F

? ??

0,

p 2

? ??

y?? p 2

F

? ??

0,

?

p 2

? ??

y? p 2

离心率

e ?1

范围

x?0

x?0

y?0

y?0

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 ? 、 ? 两点的线段 ?? ,称为抛物线的“通径”,即

?? ? 2 p .

9、焦半径公式:

若点 ?? x0, y0 ? 在抛物线 y2

? 2 px? p ? 0?上,焦点为 F ,则

?F

? x0 ?

p 2



若点 ?? x0, y0 ? 在抛物线 x2

? 2 py ? p ? 0? 上,焦点为 F ,则

?F

?

y0 ?

p; 2

第三部分 导数及其应用

1、函数

f

? x? 从 x1 到 x2 的平均变化率:

f

? x2 ? ? f ? x1 ?
x2 ? x1

? ? 2、导数定义: f

x

在点 x0 处的导数记作 y? x?x0

?

f

?(x0 )

?

lim
?x?0

f

(x0

? ?x) ? ?x

f (x0 )

;.

? ? 3、函数 y ? f ? x? 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ? x? 在点 ? x0, f ? x0 ? 处的切线的斜率.

4、常见函数的导数公式:

① C ' ? 0 ;② (xn )' ? nxn?1 ; ③ (sin x)' ? cos x ;④ (cos x)' ? ? sin x ;

⑤ (a x )' ? a x ln a ;⑥ (e x )' ? e x ;
5、导数运算法则:

⑦ (loga

x)'

?

1 x ln

a

;⑧ (ln

x)'

?

1 x

?1? ?? f ? x? ? g ? x???? ? f ?? x? ? g?? x? ;

?2? ?? f ? x? ? g ? x???? ? f ?? x? g ? x? ? f ? x? g?? x? ;

?3?

? f ? x? ??

? ?

g

?

x

?

? ?

?

f

?

?

x

?

g

?x?? ??g ? x

f? ???2

x

?

g

?

?

x

?

?

g

?

x

?

?

0

?



6、在某个区间 ?a,b?内,若 f ?? x? ? 0 ,则函数 y ? f ? x? 在这个区间内单调递增;

若 f ?? x? ? 0 ,则函数 y ? f ? x? 在这个区间内单调递减.

7、求函数 y ? f ? x? 的极值的方法是:解方程 f ?? x? ? 0 .当 f ?? x0 ? ? 0 时: ?1? 如果在 x0 附近的左侧 f ?? x? ? 0,右侧 f ?? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; ?2? 如果在 x0 附近的左侧 f ?? x? ? 0 ,右侧 f ?? x? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值. 8、求函数 y ? f ? x? 在?a,b? 上的最大值与最小值的步骤是:

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ?a,b?内的极值;

?2? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ?a? , f ?b? 比较,其中最大的一个是最大值,最小
的一个是最小值. 9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。

第四部分 统计案例

1.线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系
?
③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)

? ?
?

n
xi yi ? nx y

? ??b ?
? ? ?

i ?1 n
i ?1

xi2

?

2
nx

?? a ? y ? bx

注意:线性回归直线经过定点 (x, y) 。

2.相关系数(判定两个变量线性相关性): r ?

n
?(xi ? x)(yi ? y)
i ?1

n

n

? ? (xi ? x)2 ( yi ? y)2

i ?1

i ?1

注:⑴ r >0 时,变量 x, y 正相关; r <0 时,变量 x, y 负相关;

⑵①| r | 越接近于 1,两个变量的线性相关性越强;②| r | 接近于 0 时,两个变量之间几乎不存

在线性相关关系。 3.回归分析中回归效果的判定:

n

?

?

n

?

? ? ⑴总偏差平方和: ( yi ? y)2 ⑵残差: ei ? yi ? yi ;⑶残差平方和: ( yi ? yi)2 ;⑷回归平

i ?1

i ?1

n

?

n

n

?

?(yi ? yi )2

? ? 方和:

(yi ? y)2 -

( yi ?

yi)2 ;⑸相关指数 R 2

?1?

i ?1 n



i ?1

i ?1

?(yi ? yi )2

i ?1

注:① R 2 得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;

② R 2 越接近于 1,,则回归效果越好。
4.独立性检验(分类变量关系):
随机变量 K 2 越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。

第五部分 推理与证明
一.推理:
⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、 类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。 ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。

注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的 推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。 ⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。 注:演绎推理是由一般到特殊的推理。 “三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的 特殊情况;⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。
二.证明
⒈直接证明 ⑴综合法 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明 的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推 证法或执果索因法。 2.间接证明------反证法 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成 立,这种证明方法叫反证法。

第六部分 复数

1.概念:
(1) z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R) ? z= z ? z2≥0; (2) z=a+bi 是虚数 ? b≠0(a,b∈R); (3) z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R) ? z+ z =0(z≠0) ? z2<0; (4) a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R); 2.复数的代数形式及其运算:设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),则: (1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i; (2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;

(3)

z1÷z2

=

(a (c

? ?

bi)(c di)(c

? ?

di) di)

?

ac ? bd c2 ? d 2

?

bc c2

? ?

ad d2

i

(z2≠0) ;

3.几个重要的结论:
(1) (1? i) 2 ? ?2i ;⑷ 1? i ? i; 1? i ? ?i;
1?i 1?i

(2) i 性质:T=4; i 4n ? 1, i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i ; i 4n ? i 4n?1 ? i 4?2 ? i 4n?3 ? 0;

(3) z ? 1 ? z z ? 1 ? z ? 1 。 z

4.运算律:(1) z m ? z n ? z m?n ;(2)( z m )n ? z mn ;(3)( z1 ? z2 )m ? z1m z2m (m, n ? N );

5.共轭的性质:⑴ (z1 ? z2 ) ? z1 ? z2

;⑵ z1z2 ? z1 ? z2

;⑶ ( z1 ) ? z1 z2 z2

;⑷

z ? z。

6.模的性质:⑴ ||

z1

|?|

z2

||?|

z1

?

z2

|?|

z1

|?|

z2

| ;⑵|

z1 z 2

|?|

z1

||

z2

| ;⑶|

z1 z2

|?

| z1 | z2

| ;⑷ |

| z n |?| z |n ;

选修 4-4 数学知识点

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求:

1.坐标系: ① 理解坐标系的作用.

② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区

别,能进行极坐标和直角坐标的互化.

④ 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这 些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

2.参数方程:① 了解参数方程,了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

二、知识归纳总结:

1.伸缩变换:设点

P(x,

y)

是平面直角坐标系中的任意一点,在变换?

:

?x? ??y?

? ?

? ?

? ?

x, (? y, (?

? ?

0), 0).

的作用下,

点 P(x, y) 对应到点 P?(x?, y?) ,称? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定

一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标

系。

3.点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离| OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ; 以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为? 。有序数对 (?,? ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M (?,? ) . 极坐标 (?,? ) 与 (?,? ? 2k? )(k ? Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,? )(? ? R) . 4.若 ? ? 0 ,则 ? ? ? 0 ,规定点 (??,? ) 与点 (?,? ) 关于极点对称,即 (??,? ) 与 (?,? ? ? ) 表示同一点。

如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 (?,? ) 表示;同时,极

坐标 (?,? ) 表示的点也是唯一确定的。

5.极坐标与直角坐标的互化: ? 2 ? x 2 ? y 2 , x ? ?cos? ,
y ? ?sin? , tan? ? y (x ? 0) x
6。圆的极坐标方程:
在极坐标系中,以极点为圆心, r 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? r ; 在极坐标系中,以 C(a,0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2acos? ;

在极坐标系中,以 C(a, ? ) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ? ? 2asin? ; 2
7.在极坐标系中,? ? ?(? ? 0) 表示以极点为起点的一条射线;? ? ? (? ? R) 表示过极点的一条直线.
在极坐标系中,过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ?cos? ? a .

8.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数

?x ? f (t),

? ?

y

?

g (t ),

并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M (x, y) 都在这条曲线上,那么这个

方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。

相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

9.圆 (x ? a)2

? ( y ? b)2

?

r

2

的参数方程可表示为

?x ?? y

? ?

a b

? ?

rc os? ,(?为参数) rsin?.

.

椭圆 x 2 a2

?

y2 b2

?

1

(a

?

b

?

0)

的参数方程可表示为

?x

? ?

y

? ?

acos?,(?为参数) bsin?.

.

抛物线

y2

?

2 px

的参数方程可表示为

?x ?

?

2 px2 ,(t为参数) .

?y ? 2 pt.

经过点

M O (xo ,

yo ) ,倾斜角为?

的直线 l

的参数方程可表示为

?x

? ?

y

? ?

xo yo

? tcos?, (t
? tsin?.

为参数).

10.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必

须使 x, y 的取值范围保持一致.

复习寄语:


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