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几何概率解题典型错误类型及根源分析_图文

时间:2015-06-17

2 0 0 8年第 1 2期 

中学数学研 究 

2 7  

几 何 概 率 解 题 典 型错 误 类 型及 根 源分 析 
浙江余姚市第三 中学   ( 3 1 5 4 0 0 )   叶慧凤 
高 中数 学新 教材 人教 4版 必 修 3中增 加 了几  率是 多少 ?  

何 概率 的 内容 . 几何 概 率 讨论 的是 无 限样 本 空 间 上 

错解 ( 一 )如 图 3 : 若设 A B   为 圆的一铅 直 直径 , C、 0、 D 为此  直径 之 四等 分 点. 过点 D作 A B  
的垂 线 E F交 圆周 于 E、 F, 以E F  

的概率 , 在此空间上实验的每一结果都是等可能发  生的. 几何概率 中一个随机事件的概率通过将一次 
随 机实验 中所 有 可能 结 果 的 样 本 空 间 等 同 于 一 个  几何 区域 尺, 而 将 实验 中可 能 发生 的事 件 等 同 于 R  

/ c   \ 、 

/三   \ ,  
/1  
图3  

为边 作 正 三 边 形 即 圆 内接 正 三 
边形 A E F .  

中 的子 区域 r 后进 行计 算 的. 本 文试 图就 学 生 易 犯  错 误类 型作 些总 结.  

一 一

由于对 称性 , 今 设 弦 方 向确 



维”与“ 二维”混同 

定为与A B垂直 或与 E F平 行 的方 向. 当随机地作 弦 
时, 设 弦与 A B相交 于各 点 的机会 是相 等 的 , 即交 点 

例1   甲乙两艘 轮船都 要 在某个 泊位 停靠 6小  时, 假定 它们 在 一 昼 夜 的时 间段 中 随机 地 到 达 , 试  求 这两艘 船 中至 少 有 一 艘 在 停 靠 泊 位 时 必 须 等 待 
的概率.   错解 ( 如图 1 ) : 以 甲为 基 点 , 它 可 以在 2 4小 时 

出现是 等可 能 的.  
显然 , 这种 平行 于 E F的 弦 , 只有 当 它 ( 如G H)  

与线 段 C D相 交 时, 即交 点落在 C D 内 时 才 大 于 
E F( 圆 内接 正 三 边形 的边 长 ) , 而 这 种 弦 出 现 的机 

内任意到达 , 取值 [ 0 , 2 4 ] , 那么乙要 等待 的概率为 
)=   =   .  
C  D 

会正 是 A B长 度 的一 半 ( 亦即C D之 长 ) , 故所 求概率 
为 1 / 2 . ”  

错解 ( 二 )如 图 4 : 弦 被它 的  中点 的位 置所 唯 一确 定 , 又 设该  中 心 位 置 出 现 是 等 可 能 的.显 
图 1  

然, 只有 当 中心 落在 半 径为 已知 
圆的一 半 的那 个小 圆 内时 , 弦 的 

分析 : 几何 概率 是我 们 刚 接  触 的东 西 , 我 们 的思 维 还是 停 留  在老 的解 题思 路 中. 但 此题 甲乙 
两艘轮 船 是 同时 在变 的 , 所 以是  典型 的两人 约会 问题.  

长 才大 于 圆 内接正 三 边 形边 长 ,   而这个 小 圆 的 面 积 是 已给 定 圆  面积 的 四分 之一 , 故 所求 概率 为 1 / 4 .  

图4  

分析: 错 解 一 的原 因在 于 在 其 中 , 其 犯 了 一个  根 本错误 , 圆周上 的各点 不对 等.  
如 图 5过 点 C作 的 A B垂线  图2  
/—、 / —、 /   、 / 、  

正 确解 答 ( 如图 2 ) : 设 甲到  达的 时间 为 , 乙 到达 的 时 间为 

MN, 则 弧A M =E M =B E, A N=  
/—_ 、 , 、  

/ \   \ 、 

Y , 则 0<  , 0<Y , 若 至少 一艘船 在停 靠泊 位 时必须 


F N =B F .由 于 它 们 的 弧 长 相 

0 <  

< 2 4  

等待等价于{ 0<Y<2 4  
1-   一  9   7  

, 必须等待的概率为:  

等, 因此就 互相 连线 来讲 , 弧E M 

/0 。   \  
\  / 
B 

【 0< I  — v   I < 6  

与弧 F Ⅳ所连线的数 目, 应等于 
弧B E与 弧 B F的连 线数 目 , 应 等 

图5  

于弧 A M 与弧 A N的连线数 目. 不  然, 弧E M与弧 B E , 弧A M 是不等长的, 弧 

与弧 

二、 “ 非等可能”与“ 等可能’ ’ 混同  
例 2 在半 径 为 1 的 圆上 随机地 取 2 点, 连成 一 

B F , 弧A N也是不等长的. 因为它们若等长, 那弧上  的点就 一样 多 , 而 所 连 线 的数 目也 就 是 一 样 多. 但  那些弧都是等长的 , 所 以其的解是错的. 其拿 了铅 

条弦 , 则其 A B长超 过 圆 内接 正 三 角 形 的边 长 的 概 

2 8  

中 学数 学研 究 

2 0 0 8年 第 l 2期 

直直径 A B去对 应弧 了, 而在 圆 中它们 显 然 没 法 直  线式 的对应. 就好像 弧 B E对应 于线段 B D, 弧E M对  应 于线 段 DC , 而弧 B E与弧 E M 等长 , 但 线段 B D与  线段 D C不等 长 , 这就是 其错误 的根本所 在.   错 解 二 的 原 因 0点 与 圆 内   各点 是不等 同的. 如 图 6在小 圆 

大于圆 内接 正三 角形 的边 长 , 因此 把解 的范 围给扩 
大 了.  

正 确的解答 是 ( 如图 9 )  


0 <  

<2   7 r  

l   0 <Y<2 7 r  

中任取一点 P , 连接 O P , 作O P   垂线 X Y . 可见 , 当点 P作 为 弦 中 
点时, 只有 一 条 弦 XY . 而 圆心 0  

【  
2×  
?  ?

<  
×   仃 ×   仃 一2×   ×   仃 ×   仃 
  — — — — — — —   — — — — 一

p  

作 为弦 中点 时 , 却 可与 圆上任 意  点 连成 中点 为 0的弦. 0与 P显 

图6  

1  
‘ 

然 不对等. 即便 在小 圆外 任取 一点 , 其 作 为 中点 时 ,   也 只能连一 条弦 , 与 0点不 对等.  
正确 的解 答 ( 如图 7 ) : 由于 

四、 基 本 点 混淆 
例3   如图, 设 有 一个 正 三  角形 网格 , 其 中每 个小 正三 角形 

对称 性 , 又 可 预 先 固定 弦 的一 
端. 过 圆周上一 点 A作 圆 的切 线 

的边 长都是 a , 现 有一 直径 等 于  a / 3的硬 币落 在 此 网格 上 , 求 硬 
币落下 后 与 网格 线 有 公 共 点 的  概率 ?   错解 : 如图 1 0, 以一 个 正 三  角形 作 为研究 对 象 , 以 圆上 的点  到三角 形 底 边 的距 离 最 大 的 点 

m, 现 随机地过 点 4作 弦. 又设 过  点  作 弦 的任 一 方 向是 等 可 能 
的.  

显然, 当过 / I 作弦时, 只 有 

图7  

当弦 与  的夹角 在 6 0度与 1 2 0度之间 时 ( 如A G )弦 

的长 才大于 圆 内接正 三边 形 的边 长 , 故所 求 概率 为 
l /3 .”  

为研究 对象 , 则 硬 币与 网格 有公 
共点 时 , 基本 点 在 AE F G外 , 所 

三、 约束条件混淆 
仍 以上 一题为例 , 有学生 如是解 法 :   错 解如 图 8 : 建 直角 坐标系 ,  
相 当于经典 的一 个 问题 “ 2人约  会 问题 ” , 弦 的一 端 点 A的 活动  范 围为 , 另一 端 点 的 活 动范 围  为Y , 弦A B长超 过 圆内接 正三 角 
I   /  

以有公 共点 的概率 
1   1   1  

了 ×  
卜  

×   。×   。  
√ 3  

/   /  
/  


1  

× 芎×  × 。  

/ f  
图8  

告 : 吾 .  
分析 : 解题 以距 三角 形 底边 

形 的边长等 价于 

距离 最大 的点 为基 本点 也可 以 ,  

但 是把基 本点 的范 围扩 大 了 , 基 
,  

本点 的范 围如 图 1 1 , 但是 这样 一  来, 计算 AE F G的边长 就有点 儿 

【 0 < I  — y   l <  
2×   ×了丌×了仃   4  
一  

困难. 我们 知 道 , 圆 的位 置 由圆 
心 决定 , 所 以要 与 网 格线 有 公 共 
2T r×2 7 r   一 9。  

格线 的距 离小 于等于半 径.   正解 : 如图 ( 1 2 ) , 正 三 角 形 
A B C内有一 正三角形 AE F G, 其 
中A B =a , E D =F K =H E=  
D =   K =   =   n,  

分析: 错解 的原 因在 于学 生  弄不 清  , Y应 满 足 什 么样 的 条 

件. 事实上, 用 上 述 约 束 条 件 解 
题时 如取  为 0 , Y为 2 I r ,  、 Y两 

点是 重合 的 , 却 满 足弦 A B 的长 

图9  

图 1 2  

2 0 0 8年 第 l 2期 

中 学数 学 研 究 

2 9  

探 求正 方体 中计 数 问题 的设计 途 径 
福建省 同安第一 中学  ( 3 6 1   1 0 0 )   林建南 
正 方体是 空 间 图形 中最 重 要 、 最 特 殊 且 内 涵 
共有 2 8+3+1 8 =4 9 ( 个) .  

最丰富的几何体之一 , 它蕴涵着丰富的位置关系和  几何特性 , 是高考命题取材 的营养 源, 因此备 受命 
题 者 的青 睐.   以正方体 为载 体 , 结合排列组合知识 , 设 计 出  丰富多 彩 的几 何 计 数 问 题 , 这类 问题 主要 包 括 ( 1 )   具 有某种 性质 的 几何 图形 有 多 少 个 , 如 点 的个 数 、   线段 的条 数 、 三 角 形 的 个 数 及 图形 或 区 域 的 个 数  等; ( 2 ) 对 正方体 作某 种性 质 的处理 时 , 其 方法 有 多  少种 , 如 区域 剖分 、 图形染 色 ( 点染色、 边染 色 、 区域  染色 )等的方 法数 . 正方 体 中 的计 数 问题 , 既可 以考 
查学 生 的空问想 象能 力 , 还 可 以考查 学 生 对基 本 的 

例2   在正方体的 8 个顶点中, 每两点连成一 
条 直线 , 其 中异 面直线共 有多 少对 ?  

解: 从正方体的8 个顶点中任取4 个, 有  种取 
法, 其 中 4点共 面 的有 1 2种 ( 6个 表 面 和 6个 对 角 

面) . 将不共面的4 点构成一个四面体 , 共有  一1 2   个四面体. 每个 四面体确定了3 对异面直线 , 因此异 
面直 线共 有 3 (   一1 2 )= 1 7 4 ( 对) .   说 明  解 法运 用 了转 化 的思 想 和对 应 的计 数  方法 , 即将 一个 不 易 处 理 的新 问题 , 转 化 为 容 易 处 
理 的老 问题 ; 将一 种 规律 不 甚 明显 的计 算 转 化 为一 

种情 况 明确 的计 算 . 由此 , 启 发 我 们 在 处 理 这 类 计 
数 问题时 , 要 首 先 进 行 几 何 结 构 的分 析 , 然 后 进 行 

计数 原理 、 方法 、 技 巧 的掌握 情 况 , 具 有较 强 的综 合  性和灵 活性 ,有一定 的推 广价 值.   本文着 重 在 探 求 如 何 以正 方 体 这 一 几 何 体 为  背景来 设计 计数 问题 , 通 过 对 几道 典 型 例题 的分 类  解析 , 探索 题 型规律 , 剖析命 题 设计思 路.  


精 巧 的构造 , 使 问题得 到整 体解 决.   例3 ( 2 0 0 6年 上 海 高 考 )  
如 果一 条直 线 与一 个 平 面垂 直 ,  

那么 , 称此 直 线 与平 面构 成 一个  “ 正交线面 对” . 在 一 个 正 方 体  中, 由两个 顶点 确 定 的直 线 与含  有 四个 顶点 的平 面构 成 的 “ 正交 线 面 对 ”的个 数 是  解: 由“ 正 交 线 面 对 ”的定 义 , 正方体 中“ 正 交 
线 面对 ”可 分两类 :  



以点 、 线、 面 相对 位置 形成 的 组合 图形 为 
例1 ( 1 9 9 8 年全国高中数学联赛试题)   以正方体 

出发点 设计命题 
的 8个顶点 、 1 2条棱的 中点 、 6个 面 的中心 以及正方体  的中心共 2 7 个点 中, 共线 的三点组 的个数是 (  
A. 57; B. 49;   C. 43; D. 3 7.  

) .  

解: 分三类 ① 两端点皆为顶点 的共线 三点组  有2 8个 ; ② 两端点皆为面 中心的共线三点组有 3  
个; ③ 两端 点 皆为棱 中点 的共线 三 点组有 1 8个 . 故 
?

l 。 每条对角线都与两个表面垂直  每条棱所  在直 线都 能与 两个表 面所 在 的平 面 构成 2个 “ 正交 
线 面对 ” j1 2条棱 能构成 2 4个 “ 正交 线 面对”;  




-+ 一 + 一+ 一十

” +

一+ 一 + ”+ ”+  

一 十

 +

-- 4 -一— -  一 +  +

一  

+  + . . +

. . +   +

. . +  +   +

. . + . . +

。 + . . +   +

. . + . . +

一 + 。 +

. . +   +

” +

. . + 一+ .  

? . .

EF = AB - 2 AD = 。 一

字 。 : (   一   3   圆 心   的, 但我 们更倾 向于用 圆心作 为基本 点来 考虑 问题.  
:  

位, 就得到 图 1 1 , 因此 , 这 两种 解 法 的 结 果 是 一 样  几何 概率 充满 了适 合于 高 中不 同数 学水平 的有 

落 在三 角 形 AE F G之 外 时 , 硬 币 与 网格 线 有 公 共 

趣问题 : 从初等代数到三角 ( 涉及事件的运算 , 尽管 
点. . . .有公共 点 的概率 尸 :  



字 (   一   3   2  一  
  一 一 —   一

我们这里将不考虑这类 问题 ) , 几何概率问题 的求  解 只需要 求 四边形 的 面积 、 图解 不 等 式 或用 勾 股 定 
理 等方 面的知识 , 而几 何 概 率 的一 个 特 别好 的优 点 





‘ 

在于它的定义非常直观 , 可用很短的时间描述出来.  
口 

因此 使得 学生几 乎 马上就 可 以处 理重 要 问题 了.  
事实 E, 把图 1 2的 AE F G向 t i 平移 a / 6个 单 


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