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【数学】1.1.2《弧度制》课件(新人教A版必修4)(1)

时间:2013-01-30


1.1.2

弧度制

知识回顾
1、任意角的概念 正角:射线按逆时针方向旋转形成的角。 负角:射线按顺时针方向旋转形成的角。

零角:射线不作旋转形成的角。

2、象限角 ⑴ 置角的顶点于原点; ⑵ 始边重合于X轴的正半轴。 终边落在第几象限就是第几象限角。 3、与角α终边相同的角的集合:

﹛ β|β= α +K×360° ,K∈Z﹜

在初中几何里,我们学习过角的度量,

1度的角是怎样定义的呢?

1 周角的 为1度的角。 360
这种用1?角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ,今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。

弧度制:

定义:
长度等于半径长的圆弧所对的圆心 角叫做1弧度的角,弧度记作rad。

这种以弧度为单位来度量角的制度
叫做弧度制。

2r

3r
3rad

r
1rad

r r

2rad

r

r

l
? rad

r

l 角?的弧度数的绝对值: ? ? r (l为弧长,r为半径)

360°=2? rad 180°= ? rad

1° =

?
180

rad ? 0.01745 rad
?

? 180 ? 1 rad= ? ? ? 57.30? =57°18′ ? ? ?

注:今后在用弧度制表示角的时候,弧度二字

或rad可以略去不写。
注:(1)关键抓住 180
o

??

(2)弧度制与角度数是不可以混合写

如:k ? 360 ?
o

?

3

×

或2k? ? 60

o

弧度制与角度制相比:
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制,角度 制是以“度”为单位来度量角的单位制;1弧度≠1?; (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角 1 的大小,而1度是圆周 360 的所对的圆心角的大小; (3)弧度制是十进制,它的表示是用一个实数表 示,而角度制是六十进制; (4)以弧度和度为单位的角,都是一个与半径无 关的 定值。

(5)正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,
零角的弧度数是0.

例1. (1)把112?30′化成弧度(用π 表示);

(2)把112?30′化成弧度(精确到0.001) 。 解: 112?30′=112.5?,
5? (1) 112?30′=112.5× 180 = . 8 ?
1? ? 180 ? 0.01745

?

(2) 112?30′=112.5× 180
≈112.5×0.01745≈1.969rad.

?

8? 练习1. 把 化成度。 5

8? 5

8 ? ?180? 5

? 288?

练习2. 填写下表:
角度 弧度 角度 0° 30°
? 6
5? 6

45°
? 4

60°
? 3

90°
? 2

0

120° 2?
3

135° 150° 180° 210° 225° 240°
3? 4

弧度
角度

π

弧度

270° 300° 315° 330° 360° 3?
2



用弧度来度量角,实现角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系:
正角 正实数 对应角的 弧度数

零角
负角


负实数

角的集合

实数集R

例2:请用弧度制表示下列角度所在区间。

锐角:{θ|0°<θ<90°}
直角: {θ|θ=90°} 钝角: {θ|90°<θ<180°} 平角: {θ|θ=180°} 0°到90°的角:{θ|0°≤θ<90°}

? ? ? 0, ?
?

? ?
? 2?

? ?
? ??

?
2

?? ? ,? ? ?2 ?

? ??
? ? [0, ?
2 )

小于90°角:{θ|θ<90°}
试一试:教材P9 练习

? ? ? (??, )
2

用弧度制表示弧长及扇形面积公式:
① 弧长公式: l ? r ? ?
l 由公式:? ? ? l ? r ? ? r

n?r 比公式 l ? 简单. 180

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数) 的绝对值与半径的积.

1 ② 扇形面积公式 S ? lR 2
其中l是扇形弧长,R是圆的半径。 证明:设扇形所对的圆心角为n? (αrad),则

n 1 2 S ??R ? ? R ?? 360 2
2

1 又 αR=l,所以 S ? lR 2

证明2:因为圆心角为1 rad的扇形面积是
? R2 1 2 ? R 2? 2
l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.

1 所以它的面积是 S ? lR 2

例3. 扇形AOB中, ? 所对的圆心角是60? , AB
半径是50米,求 ? 的长l(精确到0.1 AB 米)。
? 解:因为60? = ,所以 3
? ×50≈52.5 . 3

l=α· r=

答: ? 的长约为52.5米. AB

例4. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的

弧长为
中心角等于

,面积为2R2的扇形的
弧度。

4 解:(1)240? ? ,根据l=αR,得 = 3
4 l ? ?R 3 1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2

所以 α=4.

例5. 已知一半径为R的扇形,它的周长等于
所在圆的周长,那么扇形的中心角是多少弧 度?合多少度?扇形的面积是多少? 解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合(
360(? ? 1)

?

)?
2

扇形面积是 (? ?1)R


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