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专题14 推理与证明、新定义-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第02期) Word版含解析

时间:2014-02-23


一.基础题组 1.
【广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 10 月三校联考(理) 】函数 f ( x) 的定义域 为 D,若对于 任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数,设 函数 f ( x) 在 [0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:① f (0) ? 0 ;② f ? ? ?

? x? ?3?

1 f ( x) ; 2
)
[Z

③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) .则 f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 等于( A.

1 2

1 3

1 6

1 7

1 8

11 4

B.

21 8

C.

5 2

D.无法确定

2. 【浙江温州市十校联合体 2014 届高三上学期期初联考数学(理科) 】对于任意实数 x ,[ x]
表示不超过 x 的最大整数,如 [1.1] ? 1,[?2.1] ? ?3 .定义在 R 上的函数

f ( x) ? [2 x] ? [4 x] ? [8x] ,若 A ? ? y y ? f (x ),0 ? x ? 1 ? ,则 A 中所有元素的和为(
A.65 B.63 C.58 D.55



3.【江西师大附中 2014 届高三年级 10 月测试试卷理】 函数 f ( x) 的定义域为 A , 若 x1 , x2 ? A
且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为单函数.例如,函数 f ( x) ? x ? 1( x ? R) 是单 函数.下列命题: ①函数 f ( x) ? x ? 2 x( x ? R) 是单函数;
2

②函数 f ( x ) ? ?

?log 2 x, x ? 2 是单函数; ? 2 ? x, x ? 2

③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ( x) 一定是单函数. 其中的真命题是_________.(写出所有真命题的编号) 【答案】③ 【解析】

4.

【山西省山大附中 2014 届高三 9 月月考数学理】观察下列算式:

13 ? 1 ,

23 ? 3 ? 5 , 33 ? 7 ? 9 ? 11 ,

43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,
… … …
3



若某数 m 按上述规律展开后,发现等式右边含有“ 2013 ”这个数,则 m ? _______.

二.能力题组 1.
【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底数学(理)】记定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 的导函数为 f ' ( x ) . 如果存在 x 0 ? [a, b] , 使得 f (b) ? f (a ) ? f ' ( x 0 )(b ? a ) 成立, 则称 x 0 为函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上的“中值点” .那么函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 在区间[-2,2]上 “中值点”的为____ .

2.

【浙江省温州市十校联合体 2014 届高三 10 月测试数学试题(理科) 】定义:对于区间

[a, b), (a, b),[a, b], (a, b] ,则 b ? a 为区间长度.若关于 x 的不等式

x 2 ? (2a 2 ? 2) x ? a 2 ? 4a ? 7 ? 0 的解集是一些区间的并集,且这些区间长度的和不小于 x 2 ? (a 2 ? 4a ? 5) x ? a 2 ? 4a ? 7
4,则实数 a 的取值范围是 .

所以 x1 ? x ? x3 , x2 ? x ? x4 ,因此 ( x3 ? x4 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 ,

?(a 2 ? 4a ? 5) ? 2a 2 ? 2 ? a 2 ? 4a ? 7 ? 4
即 a ? 4a ? 3 ? 0 ,解得 a ? 3 或 a ? 1 .
2

考点:1.新定义题;2.韦达定理.3.不等式.

三.拔高题组 1.
【广东省广州市执信、广雅、六中 2014 届高三 10 月三校联考(理) 】将含有 3n 个正整数 的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合]A、B、C,其 中 A = {a1 , a2 ,?, an } , B = {b1 , b2 ,?, bn } , C = {c1 , c2 ,?, cn } ,若 A、B、C 中的元素满足条件:

c1 < c2 < ? < cn , ak + bk = ck , k = 1,2,…, n ,则称 M 为“完并集合”.
(1)若 M = { 1 , ,3 x,4 ,5 ,6 } 为“完并集合”,则 x 的一个可能值为 .(写出一个即可)

(2)对于“完并集合” M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,在所有符合条件的集合 C 中,其元素 乘积最小的集合是 .

所以集合 C 有 4 个元素,设 C ? {c1 , c2 , c3 , c4 } ,易知 M 中元素之和为 78,所以

2. 【江苏省阜宁中学 2014 届高三年级第一次调研考试】(本小题满分 16 分)对于定义域
为 I 的函数 y ? f ? x ? ,如果存在区间 ? m, n ? ? I ,同时满足: ① f ? x ? 在 ? m, n ? 内是单调函数; ②当定义域是 ? m, n ? , f ? x ? 值域也是 ? m, n ? , 则称 ? m, n ? 是 函数 y ? f ? x ? 的“好区间”. (1)设 g ? x ? ? log a a ? 2a ? log a a ? 3a (其中 a ? 0 且 a ? 1 ) ,判断 g ? x ? 是否存在
x x

?

?

?

?

“好区间” ,并 说明理由; (2)已知函数 P ? x ? 的最大值. 【答案】 (1) g ? x ? 不存在“好区间” ; (2) n ? m 的最大值为 【解析】 试题分析: (1)先求出 g ( x) 的定义域.可知要对 a 分情况讨论,当 a ? 1 时,定义域

?t ?

2

? t ? x ?1 t2x

? t ? R, t ? 0 ? 有“好区间”? m, n? ,当 t 变化时,求 n ? m

2 3 . 3

D ? (log a (3a), ??) , g ? x ? 在 D ? (log a (3a), ??) 内是增函数;当 0 ? a ? 1时,定义域
? g ( m) ? m D ? (??,log a (3a)) , g ? x ? 在 D ? (log a (3a), ??) 内还是增函数.从而得出 ? ,即 ? g ( n) ? n
方程

? g ( m) ? m ? g ( x) 存在“好区间” ? m, n ? ? ?m, n ? D(m ? n) , ? ? g ( n) ? n

? 关于 x 的方程 f ( x) ? x 在定义域 D 内有两个不等的实数根.

当 t ? 3 , n ? m 取得最大值

2 3 .??????????????16 分 3

考点:1.函数的单调性;2.二次函数根的分布;3.韦达定理.

3. 【湖北孝感高中 2014 届高三年级九月调研考试】 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) 的定
义域为 (0, ??) , 若y?

f ( x) f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, 则称 f ( x ) 为 “一阶比增函数” ; 若y? 2 x x

在 (0, ??) 上为增函数,则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集 合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为 ? 2 . (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx ,若 f ( x) ? ?1 , 且 f ( x) ??2 ,求实数 h 的取值范围;
3 2

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x ) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)
求证: d ? (2d ? t ? 4) ? 0 ;

a
d

b
d

c
t

a?b?c
4

(Ⅲ)定义集合 ? ? f ( x ) | f ( x ) ? ?2 , 且存在常数k , 使得任取x ? (0, ??),f ( x ) ? k , 请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立?若存在,求 出 M 的最小值;若不存在,说明理由.

?

?

试题解析: (I)因为 f ? x ? ? ?1 且 f ? x ? ? ?2 ,

(Ⅲ) 因为集合 ? ? f ? x ? | f ? x ? ? ? 2 且存在常数 k ,使得任取 x ? ? 0, ?? ? , f ? x ? ? k 所以 ?f ? x ? ? ? ,存在常数 k ,使得 f ? x ? ? k 我们先证明 f ? x ? ? 0 对 x ? ? 0, ?? ? 成立 假设 ?x0 ? ? 0, ?? ? 使得 f ? x0 ? ? 0 , 记 对 x ? ? 0, ?? ? 成立

?

?

f ? x0 ? x0 2

?m?0


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