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2010-2011学年第二学期期中考试高二数学(理)试卷(三)

时间:2012-04-03


2010学年下学期期中考试 2010-2011 学年下学期期中考试 10

高二数学( 高二数学(理)试卷
小题, 一:选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 选择题( 1. 学校要选派 4 名爱好摄影的同学中的 3 名参加校外摄影小组的 3 期培训 (每期只派 1 名) , 由于时间上的冲突,甲、乙两位同学都不能参加第 1 期培训,则不同的选派方式有 ( ) A.6 B.8 种 C.10 种 D.12 种 2.在复平面内,复数 z = i (1 + 2i ) 对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(1-2x)8 展开式中二项式系数最大的项数为 A.第 4 项 B.第 5 项 C.第 7 项 D.第 8 项





4.用数学归纳法证明 (n + 1)(n + 2)L (n + n) = 2n 1 3 L (2n ? 1) ,从 k 到 k + 1 ,左边需要增乘 · ·· ·
的代数式为 A. 2k + 1 B. 2(2k + 1) C.
2k + 1 k +1

( D.
2k + 3 k +1



5. 一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规 律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的●的个数 ( )

A.12
3

B. 13
2

C.14

D.15 )

6 若函数 f ( x ) = x + x + mx + 1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是…… ( A. ( , +∞)

1 3

B. ( ?∞, )

1 3

C. [ , +∞ )

1 3

D. ( ?∞, ]

1 3

7.若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]是增函数,则函数 y = f ( x) 在区间[a,b]上的图象

可能是





y

y

y

y

b x o a b x o a b x o a bx A B C D 8. 将三颗骰子各掷一次,设事件 A=“三个点数都不相同” B=“至少出现一个 6 点” , ,则
概率 P ( A B ) 等于
A

o a


B



60 91

1 2

C

5 18

D

91 216
)

9. 已知 y = f (x ) 是定义在 R 上的函数, f (1) = 1 ,f ' ( x ) >1,则 f ( x ) > x 的解集是( 且 A (0 , 1) B

(?1,0) U (0,1)

C

(1,+∞)

D (?∞,?1) U (1,+∞)

第 1 页 共 8 页(高二理科数学)

n x2 x3 n x ? + ? ? ? + ( ?1) 10. 设 函 数 f n ( x ) = 1 ? x + ,其中 n 为正整数,则集合 2 3 n

M = { x f1 ( f 4 ( x)) = 0, x ∈ R} 中元素个数是 丨
A. 0 个 B.1 个 C.2 个 D.4 个 填空题( 小题, 二:填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,满分 21 分) 11. 若 C8 = C8
3 n ?3

(

)

, 则 n 的值为



12. 设函数 f ( x ) =

ln x ,则 f ' (1) =_______________ x

13. 一袋中装有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,取出后记下球的 颜 色 , 然 后 放 回 , 直 到 红 球 出 现 10 次 停 止 , 设 停 止 时 , 取 球 次 数 为 随 机 变 量 , 则

P ( X = 12) = _______________.(用式子表示)
14. 当 x ∈ [? 1 , 2] 时, x ?
3

1 2 x ? 2 x < m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 2

,接收方由密文 → 明 15.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 → 密文(加密) 文(解密) ,已知加密规则为:明文 a, b, c, d 对应密文 a + 2b, 2b + c, 2c + 3d , 4d . 例如,明 文 1, 2,3, 4 对应密文 5, 7,18,16. 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时,则解密得到的明文为 ______________. 16. 若函数 f ( x ) = f ' ( ) cos x + sin x ,则 f ( ) = ______________.

π

π

4

4

17. 形如 45263 这样的数成为“波浪数” ,即十位数字,千位数字均比与它们各自相邻的数 字大,则由 2,3,4,5,6(其中 6 可以当 9 用)可构成数字不重复的五位“波浪数”个数 为 . 三:填空题(本大题共 4 小题,满分 39 分) 填空题( 小题, 18.本题 9 分) ( 已知函数 f ( x) = x 3 + bx 2 + ax + d 的图象过点 (0,2) P ,且在点 M ( ?1, f ( ?1)) 处的切线方程为 6 x ? y + 7 = 0 . (1)求函数 y = f (x) 的解析式; (2)求函数 y = f (x) 的单调区间.

第 2 页 共 8 页(高二理科数学)

19. (本题 10 分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD中, AD // BC , ∠ABC = 90°,

PA ⊥ 平面 ABCD , PA = 3, AD = 2, AB = 2 3, BC = 6 ,
(1)求证: BD ⊥ 平面PAC ; (2)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

20. (本题 10 分)设椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个顶点为(0, 3), F1 , F2 分别是 a2 b2

1 椭圆的左、右焦点,离心率 e = ,过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点. 2 (1)求椭圆 C 的方程; y (2) 若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦,MN∥AB,

|AB|2 求证: 为定值. |MN|

M

o
N

F2

x

第 3 页 共 8 页(高二理科数学)

21. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) = ax ? 2 x + ln x .
2

(1)若 f (x ) 无极值点,但其导函数 f ' ( x ) 有零点,求实数 a 的值; (2)若 f (x ) 有两个极值点,求实数 a 的取值范围并证明 f (

1 3 )<? . 2 2a

第 4 页 共 8 页(高二理科数学)

……………………… ………………………★密 封 线 内 不 许 答 题★……………………… …… ……… …………… ……★密 封 线 内 不 许 答 题★……………………… ……………… ……★密 封 线 内 不 许 答 题★…………………………… ………………… …………………………… …………………

学年第二学期期中(模块) 瓯海中学 2010 学年第二学期期中(模块)考试

高二数学( 高二数学(理)答题卷
试场号 座位号

班级座位号________________

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 选择题( 有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内) 有一项是符合题目要求的,请将正确答案填入下表内) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

班级_____________________

小题, 二、填空题(本大题共有 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 填空题(

11.

. 12.



13.

. 14.



15.



16.

姓名_____________________

17. 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 三、解答题(本大题共 4 小题,共 39 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 解答题( 18.(本小题满分 9 分)

第 5 页 共 8 页(高二理科数学)

19.(本小题 10 分)

第 6 页 共 8 页(高二理科数学)

20. (本小题 10 分)

M F2 N

x

第 7 页 共 8 页(高二理科数学)

21.(本小题 10 分)

第 8 页 共 8 页(高二理科数学)

学年第二学期期中(模块) 瓯海中学 2010 学年第二学期期中(模块)考试

高二数学( 高二数学(理)参考答案
选择题( 小题, 一:选择题(10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 B 4 C 5 C 6 D 7 A 8 A 9 C 10 C

二.填空题(7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 填空题( 小题, 11、6 或 8 15、6,4,1,7 12、 1 16、 1 13、 C11 ( ) ( ) 17、 32
9

3 8

10

5 8

2

14、

m>2

三:解答题
18. 解: (Ⅰ)由 f (x ) 的图象经过 P(0,2) ,知 d=2, 所以 f ( x) = x 3 + bx 2 + cx + 2, f ′( x) = 3 x 2 + 2bx + c. 由在 M ( ?1, f ( ?1)) 处的切线方程是 6 x ? y + 7 = 0 ,知

? 6 ? f (?1) + 7 = 0, 即f (?1) = 1, f ′(?1) = 6.
?3 ? 2b + c = 6, ?2b ? c = 3, ∴? 即? 解得b = c = ?3. ?? 1 + b ? c + 2 = 1. ?b ? c = 0,
故所求的解析式是 f ( x) = x 3 ? 3 x 2 ? 3 x + 2. ………………………4 分 (2) f ′( x) = 3 x 2 ? 6 x ? 3. 解得 x1 = 1 ? 2 , x 2 = 1 + 当1 ?

令3 x 2 ? 6 x ? 3 = 0, 即x 2 ? 2 x ? 1 = 0.
2 . 当 x < 1 ? 2 , 或x > 1 + 2时, f ′( x) > 0;

2 < x < 1 + 2时, f ′( x) < 0.

故 f ( x ) = x 3 ? 3 x 2 ? 3 x + 2在( ?∞,1 ? 2 ) 内是增函数, 在 (1 ? 2 ,1 +

2 ) 内是减函数,在 (1 + 2 ,+∞) 内是增函数.……………9 分

19. (本题 10 分) (Ⅰ)如图,建立坐标系, 则 A(0, 0) , B (2 3, 0) , C (2 3, 0) , D (0, 0) , P (0, 3) , 0, 0, 6, 2, 0,

uuu r uuur uuu r ∴ AP = (0, 3) , AC = (2 3, 0) , BD = (?2 3, 0) , 0, 6, 2,

uuu uuu r r ∴ BD?AP = 0 ,

uuu uuur r BD?AC = 0 .∴ BD ⊥ AP , BD ⊥ AC ,
第 9 页 共 8 页(高二理科数学)

又 PA I AC = A ,∴ BD ⊥ 面 PAC .…………………………………………5 分 (Ⅱ)设平面 ABD 的法向量为 m = (0,1) , 0, z P

1) 设平面 PBD 的法向量为 n = ( x,y, ,
则 n?BP = 0 , n?BD = 0 ,

uuu r

uuu r

A E

D

y C

? ?x = ??2 3 x + 3 = 0, ? ? ∴? 解得 ? ??2 3 x + 2 y = 0, ? y = ? ? ?

3 , 3 ? 2 ∴n = ? 3 , , . ? ? 2 2 1? ? 3 ? ? , 2

B x

∴ cos < m , n >=

m ?n 1 = . m ?n 2

∴ 二面角 P ? BD ? A 的大小为 60o .……………………………………………………10 分

20.解: (1)椭圆的顶点为(0, 3),即 b= 3,
c 1 e= = ,所以 a=2, a 2 x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 …………………………4 分 4 3 (2)斜率不存在,略 若直线斜率存在,则设直线 l 方程为 y=k(x-1) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4), |MN|= 1+k2|x1-x2|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 4k2-12 12(k2+1) 8k2 2 = (1+k2)[( ) -4( )]= . 3+4k2 3+4k2 3+4k2 2 2 ?x +y =1 ?4 3 12 由? 消去 y,并整理得 x2= , 3+4k2 ? ?y=kx 2 48(1+k ) 2 2 2 3+4k 3(1+k ) |AB| 2 |AB|= 1+k |x3-x4|=4 ∴ = =4 为定值. …………10 分 2 , 2 |MN| 12(k +1) 3+4k 2 3+4k 21 解;(1) f ' ( x) =

2ax 2 ? 2 x + 1 ' , f ( x) 有零点而无极值点,表明该零点左右导数同号, x

1 ………………………………3 分 2 (2) 若 f (x ) 有 两 个 极 值 点 , 则 f ' ( x) =0 有 两 个 正 根 , ∴ a ≠ 0 ?a > 0 1 Q y = 2ax 2 ? 2 x + 1经过点(0, ∴ ? 1) , 0<a< ∴ ………………………6 分 2 ?? > 0 1 1 3 1 3 f ( ) = ln ,令 = t , 则 t ∈ (1,+∞) ,设 g (t ) = ln t ? t ? 2a 2a 4a 2a 2 ∴ a ≠ 0,2ax 2 ? 2 x + 1 = 0的? = 0, a = ∴
第 10 页 共 8 页(高二理科数学)

1 3 2 ? 3t ' g ' (t ) = ? = , t ∈ (1,+∞) 时 g (t ) <0, t 2 2t 3 3 所以 g (t ) = ln t ? t 在(1, + ∞ )上单调递减, 所以 g (t ) < g (1) = ? , 2 2 1 3 所以 f ( ) < ? . ……………………………………………………10 分 2 2a

第 11 页 共 8 页(高二理科数学)


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