nbhkdz.com冰点文库

08--知识要点:高三数学总复习—圆锥曲线方程

时间:2011-03-17


高考复习科目:数学
复习内容:高中数学第八章-圆锥曲线方程

高中数学总复习(八)
I. 基础知识要点

一、椭圆方程. 椭圆方程 1. 椭圆方程的第一定义:
PF1 + PF 2 = 2a f F 1F 2 方程为椭圆 , PF1 + PF 2 = 2a p F 1F 2 无轨迹, PF1 + PF 2 = 2a = F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

⑴①椭圆的标准方程:
2 2 2 2 i. 中心在原点,焦点在 x 轴上: x + y = 1(a f b f 0) . ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y + x = 1(a f b f 0) . 2 2 2 2

a

b

a

b

②一般方程:Ax 2 + By 2 = 1( A f 0, B f 0) .③椭圆的标准参数方程:

x2
2

a

+

y2 b
2

? x = a cos θ = 1 的参数方程为 ? (一 ? y = b sin θ

象限 θ 应是属于 0 p θ p

π
2

).

⑵①顶点: ± a,0)(0,±b) 或 (0,± a )(±b,0) .②轴: ( 对称轴: 轴,y 轴; x 长轴长 2a , 短轴长 2b .③焦点: ?c,0)(c,0) (
或 (0,?c)(0, c) .④ 焦 距 : F 1F 2 = 2c, c =

a 2 ?b 2 .⑤ 准 线 : x = ±

a2 a2 或 y=± .⑥ 离 心 率 : c c

e=

c (0 p e p 1) .⑦焦点半径: a x2 a2 x2 b2 + y2 b2 y2 a2 = 1(a f b f 0) 上的一点, F 1,F 2 为左、右焦点,则PF 1 = a + ex 0 , PF 2 = a ? ex 0 ?

i. 设 P ( x 0 , y 0 ) 为椭圆

由椭圆方程的第二定义可以推出. ii.设 P( x 0 , y 0 ) 为椭圆

+

= 1(a f b f 0) 上的一点, F 1,F 2 为上、下焦点,则 PF 1 = a + ey 0 , PF 2 = a ? ey 0 ?

由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知: pF 1 = e( x 0 + a ) = a + ex0 ( x 0 p 0), pF 2 = e( a ? x 0 ) = ex0 ?a( x 0 f 0) 归结起来为“左加右 c c
▲y

2

2

减”. 注意:椭圆参数方程的推导:得 N ( a cos θ , b sin θ ) → 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径:垂直于 x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标: d =

( bcosα , bsinα ) ( acosα , asinα ) Nx

2b 2 a
2

( ?c ,

b2 b2 ) 和 ( c, ) a a c ( c = a 2 ?b 2 ) , 方 程 a
N的轨迹是椭圆

⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆

x2 a2

+

y2 b2

= 1(a f b f 0) 的 离 心 率 是 e =

x2 a
2

+

y2 b
2

= t (t 是大于 0 的参数, a f b f 0) 的离心率也是 e = x2 a
2

c 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a

⑸若 P 是椭圆:

+

y2 b
2

= 1 上的点. F 1,F 2 为焦点,若 ∠F 1PF 2 = θ ,则 ?PF 1F 2 的面积为 b 2 tan
2

θ
2

(用

余弦定理与 PF 1 + PF 2 = 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b ? cot

θ
2

.

二、双曲线方程. 双曲线方程
1. 双曲线的第一定义:

PF 1 ? PF 2 = 2a p F 1F 2 方程为双曲线 PF 1 ? PF 2 = 2a f F 1F 2 无轨迹 PF 1 ? PF 2 = 2a = F 1F 2 以F 1, F 2的一个端点的一条射线
高三数学总复习八—圆锥曲线方程 — 1 —

高中数学高考总复习

⑴①双曲线标准方程: ⑵①i. 焦点在 x 轴上: 顶点: ( a,0), ( ? a,0)

x2 a
2

?

y2 b
2

= 1(a, b f 0),

y2 a
2

?

x2 b
2

= 1(a, b f 0) . 一般方程: Ax 2 +Cy 2 = 1( AC p 0) .

焦点: (c,0), ( ?c,0)

准线方程 x = ±

x y x2 y2 a2 渐近线方程: ± = 0 或 ? =0 a b c a2 b2 a2 . c
渐近线方程:

ii. 焦点在 y 轴上:顶点: (0,? a ), (0, a ) .

焦点: (0, c), (0,?c) . 准线方程: y = ±

? x = a sec θ ? x = b tan θ y x y2 x2 ± = 0 或 2 ? 2 = 0 ,参数方程: ? 或? . y = b tan θ ? y = a sec θ a b a b ?
②轴 x, y 为对称轴,实轴长为 2a, 虚轴长为 2b,焦距 2c. ③离心率 e = 离) 通径 ;

c . a

④准线距

2a 2 (两准线的距 c

x2 y2 2b 2 c . ⑤参数关系 c 2 = a 2 +b 2 , e = . ⑥焦点半径公式: 对于双曲线方程 ? = 1( F 1,F 2 a a a2 b2

分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则:

MF 1 = ex 0 + a MF 2 = ex 0 ?a

构成满足 MF 1 ? MF 2 = 2a

M ′F 1 = ?ex 0 ?a M ′F 2 = ?ex 0 + a


(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符

号计算,而双曲线不带符号)

y



y F1 M x x

MF 1 = ey 0 ?a MF 2 = ey 0 + a ′ M ′F 1 = ?ey 0 + a M ′F 2 = ?ey 0 ?a ′
F1

M'

M

F2 M' F2

⑶等轴双曲线:双曲线 x 2 ? y 2 = ± a 2 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y = ± x ,离心率 e =

2.

⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲 线.

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? 2 = λ 与 2 ? 2 = ?λ 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 ? 2 = 0 . a2 b a b a b x2 a2 ? y2 b2 = λ (λ ≠ 0) 的渐近线方程为 x2 a2 ? y2 b2 = 0 如果双曲线的渐近线为

⑸共渐近线的双曲线系方程:

x y x2 y2 ± = 0 时,它的双曲线方程可设为 2 ? 2 = λ (λ ≠ 0) . a b a b
例如:若双曲线一条渐近线为 y = 解:令双曲线的方程为:

1 1 x 且过 p(3,? ) ,求双曲线的方程? 2 2
4



y

x2 1 x2 y2 ? y 2 = λ (λ ≠ 0) ,代入 (3,? ) 得 ? = 1. 4 2 8 2
F1

3

2 1
x

⑹直线与双曲线的位置关系: 区域①:无切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域②:即定点在双曲线上,1 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 3 条; 区域③:2 条切线,2 条与渐近线平行的直线,合计 4 条; 区域④:即定点在渐近线上且非原点,1 条切线,1 条与渐近线平行的直线,合计 2 条; 区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

53
F2

3

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有 0、2、3、4 条. 高中数学高考总复习 高三数学总复习八—圆锥曲线方程 — 2 —

(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入 ” “? 法与渐近线求交和两根之 和与两根之积同号. ⑺若 P 在双曲线

x2 a2

?

y2 b2

= 1 ,则常用结论 1:P 到焦点的距离为 m = n,则 P 到两准线的距离比为 m︰n.

PF 1 d1 简证: = e d2 PF 2 e
三、抛物线方程. 抛物线方程

=

m .常用结论 2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于 b. n

3. 设 p f 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 = 2 px
y 2 = ?2 px


x 2 = 2 py
y


x 2 = ?2 py


图形



y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点

F(
准线

p ,0 ) 2

F (? x=

p ,0 ) 2

F (0, y=?

p ) 2

F (0,? y=

p ) 2

范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

p 2 x ≥ 0, y ∈ R x=?

p 2 x ≤ 0, y ∈ R

p 2 x ∈ R, y ≥ 0
(0,0)

p 2 x ∈ R, y ≤ 0 y轴

x轴

e =1 PF = p + x1 2 PF = p + x1 2 PF = p + y1 2 PF = p + y1 2

注:① ay 2 +by + c = x 顶点 (

4ac ?b 2 b ? ). 4a 2a

② y 2 = 2 px( p ≠ 0) 则焦点半径 PF = x + P ; x 2 = 2 py ( p ≠ 0) 则焦点半径为 PF = y + P . 2 2 ③通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的. ④ y 2 = 2 px (或 x 2 = 2 py )的参数方程为 ? 四、圆锥曲线的统一定义.. 圆锥曲线的统一定义
4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.

? x = 2 pt 2 ? y = 2 pt

(或 ?

? x = 2 pt ? y = 2 pt
2

) t 为参数). (

当 0 p e p 1 时,轨迹为椭圆; 当 e = 1 时,轨迹为抛物线; 当 e f 1 时,轨迹为双曲线; 当 e = 0 时,轨迹为圆( e =

c ,当 c = 0, a = b 时). a

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如:椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.

因为具有对称性,所以欲证 AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 高中数学高考总复习 高三数学总复习八—圆锥曲线方程 — 3 —


赞助商链接

08高考数学第二轮复习圆锥曲线练习

08高考数学第二轮复习圆锥曲线练习 - 08 高考数学第二轮复习圆锥曲线练习 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的的...

08届高考数学曲线方程及圆锥曲线

《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座—曲线方程圆锥曲线的综合问题一.课标...预测 08 年高考: 1.出现 1 道复合其它知识圆锥曲线综合题; 2.可能出现 1...

08届高考数学圆锥曲线方程及性质

08届高考数学圆锥曲线方程及性质 - 亿库教育网 http://www.eku.cc 百万教学资源免费下载 《新课标》高三数学第一轮复习单元讲座 —圆锥曲线方程及性质 圆锥曲线...

08-第八章 圆锥曲线

精辟!高中数学校本知识总结。精辟!隐藏>> 08-- 1...? 1 共渐近线,并且经过点 P(2,-2)的双曲线方程.... 08-- 28 高三数学总复习单元测试——圆锥曲线...

专题08 圆锥曲线(理)(教学案)-2014年高考数学二轮复习...

专题08 圆锥曲线(理)(教学案)-2014年高考数学二轮...一.基础知识整合 2. 直线的方程:点斜式: y ? ...【广东省广州市越秀区 2014 届高三上学期摸底考试 ...

...高考数学二轮复习讲练测(江苏版)专题08+圆锥曲线(讲...

2018年高考数学二轮复习讲练测(江苏版)专题08+圆锥曲线(讲)_高三数学_数学_...求直线 l 的方程;()设 P 为平面上的,满足: 存在过 P 的无穷多对...

09届高考数学圆锥曲线复习

09届高考数学圆锥曲线复习 - www.luckygift08.com 圆锥曲线 选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线方程 考纲总要求:①了解圆锥曲线的实际背景,了解在刻画现实世界和解决...

08学年花都区高三数学第二轮复习(解析几何教案)

08学年花都区高三数学第二轮复习(解析几何教案)_数学...y 2 ? 1有公共点,则直线 l 的斜 率的取值范围...圆锥曲线方程教学目标 一.圆锥曲线的定义、性质 ...

08_2007年高考数学试题知识汇编(圆锥曲线)

08_2007年高考数学试题知识汇编(圆锥曲线)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考... Q1 和 Q2 ,因此 Q1 ( x1,y1 ) , Q2 ( x2,y2 ) 的坐标是...

2012年高考数学二轮复习精品资料 专题08 解析几何(教师版)

2012年高考数学二轮复习精品资料 专题08 解析几何(教师版)_其它课程_初中教育_...(包括弦长、 中点弦、曲线方程求法等)综合考查,多在与其它知识的交汇点处(如...