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山东省潍坊市2013届高三一模文科数学试题

时间:2013-05-28


2013 年高考模拟考试
数 学(文史类)
2013.3 本试卷共 4 页,分第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时 间 120 分钟.

第 1 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 1 2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的. 1.复数 z ? 【答案】B 【解析】 z ? 只

3?i 的共轭复数 z ? 1? i (A) 1 ? 2i (B) 1 ? 2i

(C) 2 ? i

(D) 2 ? i

3 ? i (3 ? i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i ,所以 z ? 1 ? 2i ,选 B. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2

x 2.设集合 A ? x | 2 ? 4 ,集合 B 为函数 y ? lg( x ? 1) 的定义域,则 A ? B ?

?

?

(A) ?1, 2 ? 【答案】D 【解析】 A?

(B) ?1, 2?

(C)[1,2)

(D) (1,2]

? x| 2

x

? ? ? { x ? 2 } 由 x ? 1 ? 0 得 x ? 1 , 即 B ? { x x 1}, 所 以 4 x , ?

A ? B? { x1 ? x? 2,所以选 D. } 3.已知直线 l ? 平面 ? ,直线 m ∥平面 ? ,则“ ? / / ? ”是“ l ? m ”的
(A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】当 ? / / ? 时,由 l ? 平面 ? 得,l ? ? ,又直线 m ∥平面 ? ,所以 l ? m 。若 l ? m , 则推不出 ? / / ? ,所以“ ? / / ? ”是“ l ? m ”的充分不必要条件,选 A. 4.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 100 名 学生,其数学成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩分 组 区 间 是 [40 , 50 ) [50,60 ) [60,70 ) [70,80 ) , , , , [80,90) ,[90,100].则成绩在[80 ,100]上的人数为 (A)70 (B)60 (C)35 (D)30 【答案】D 【解析】落在[80 ,100]上的频率为 (0.005 ? 0.025) ?10 ? 0.3 ,所以落在[80 ,100]上的人数 为 0.3 ?100 ? 30 ,选 D. 5.设曲线 y ? sin x 上任一点 ( x, y ) 处切线斜率为 g ( x) ,则函数 y ? x g ( x) 的部分图象可以 为.
2

-1-

【答案】C 【 解 析 】
2 2

y ' ? cos x , 即 g ( x) ? cos x , 所 以

y ? x g ( x) ? x cos x ,为偶函数,图象关于 y 轴对称,所以排 ? 除 A,B.当 y ? x2 cos x ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ? k? , k ? Z ,即 2
函数过原点,所以选 C. 6.运行右面框图输出的 S 是 254,则①应为 (A) n ≤5 (B) n ≤6 (C) n ≤7 (D) n ≤8 【答案】C

2(1 ? 2n ) ? 2n?1 ? 2 ,由 2n?1 ? 2 ? 254 ,得 1? 2 2n?1 ? 256 ,解得 n ? 7 。此时 n ? 1 ? 8 ,不满足条件,输出,所以①应为 n ? 7 ,选 C. ?y ? x ? 1 1 ? 7.在约束条件 ? y ? x 下,目标函数 z ? x ? y 的最大值为 2 2 ? ?x ? y ? 1 ?
【解析】本程序计算的是 S ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ?
2 n

(A)

1 4

(B)

3 4

(C)

5 6

(D)

5 3

【答案】C

1 y 得 y ? ?2 x ? 2 z 。作出可行域如图阴 2 影部分,平移直线 y ? ?2 x ? 2 z ,由平移可知,当直线经过 点 C 时,直线 y ? ?2 x ? 2 z 的截距最大,此时 z 最大。 2 ? 1 ? ?x ? 3 y? x ? ? 由? , 2 解得 ? ?y ? 1 ?x ? y ? 1 ? ? 3 ? 1 2 1 1 5 代入 z ? x ? y 得 z ? ? ? ? ,选 C. 2 3 2 3 6 ??? ??? ? ? ? 8.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ,E 为 BC 中点,则 AE ? BD ?
【解析】由 z ? x ? (A)-3 (C)-1 【答案】C (B)0 (D)1

? 1 ??? BC , 2 ??? ??? ? ? ??? 1 ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? 所以 AE ? BD ? ( AB ? BC ) ? BD ? AB ? BD ? BC ? BD 2 2 ??? ??? ? ? ? ? 1 ??? ??? 1 1 1 ? AB ? BD cos120? ? BC ? BD cos 60? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ?1 ,选 C. 2 2 2 2
【解析】 AE ? AB ? BE ? AB ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

-2-

9. 定义

a1 a 2 a3 a 4

? a1a4 ? a2 a3 , 若函数 f ( x) ?

sin 2 x 1

cos2x 3

, 则将 f ( x ) 的图象向右平移

? 3

个单位所得曲线的一条对称轴的方程是 (A) x ? 【答案】A 【解析】 由定义可知,f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? 个单位得到 y ? 2sin[2( x ?

?
6

(B) x ?

?
4

(C) x ?

?
2

(D) x ? ?

?
6

) , f ( x) 的图象向右平移 将

? 5? 5? ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ) ,由 2 x ? ? ? k? , k ? Z 得对称轴 3 6 6 6 2 2? k? 2? ? ? ? , k ? Z ,当 k ? ?1 时,对称轴为 x ? ? ? ,选 A. 为x? 3 2 3 2 6
10.已知 ? , ? ? (0, (A)

?

? 3

?

2

) ,满足 tan(? ? ? ) ? 4 tan ? ,则 tan ? 的最大值是
(B)

1 4

3 4

(C)

3 2 4

(D)

3 2

【答案】B 【解析】由 tan(? ? ? ) ? 4 tan ?

tan ? ? tan ? 3 tan? ,因为 ? 4 tan ? ,得 tan? ? 2 1 ? tan ? tan ? 1 ? 4 tan ? ? 3 3 3 ? ? (0, ),所以 tan ? ? 0 。所以 tan ? ? ? ? ,当且 1 2 4 1 ? 4 tan ? 2 ? 4 tan ? tan ? tan ?
1 1 3 1 ? 4 tan ? ,即 tan 2 ? ? , tan ? ? 时,取等号,所以 tan ? 的最大值是 ,所 4 2 4 tan ?
2

仅当

以选 B. 11.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 与双曲

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准 4 5 线与 x 轴的交点为 K,点 A 在抛物线上且 AK ? 2 AF ,则 A 点的横坐标为
(B)3 (C) 2 3 (D)4

(A) 2 2 【答案】B

p p p , 0) ,准线为 x ? ? 。双曲线的右焦点为 (3, 0) ,所以 ? 3 , 2 2 2 2 即 p ? 6 ,即 y ? 6 x 。过 F 做准线的垂线,垂足为 M,则 AK ? 2 AF ? 2 AM ,即
【解析】抛物线的焦点为 (

KM ? AM ,设 A( x, y) ,则 y ? x ? 3 代入 y 2 ? 6x ,解得 x ? 3 。选 B.
12.已知 f ( x) ? a( x ? 2a)( x ? a ? 3), g ( x) ? 2 ① ?x ? R, f ( x) ? 0或g ( x) ? 0 ; ② ?x ? (1, ??),f ( x) ? g ( x) ? 0 成立, 则实数 a 的取值范围是 (A) ( ?4, ) (C) (?4, ?2) ? (? , 0) 【答案】C
-3?x

? 2 ,同时满足以下两个条件:

1 2

1 2

1 , 0) 2 1 1 (D) (?4, ?2) ? (? , ) 2 2
(B) (??, ?4) ? (?

【解析】由 g ( x) ? 0 ? x ? ?1 ,要使对于任意 x?R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立,则 x ? ?1 时,

f ( x) ? a( x ? 2a)( x ? a ? 3) ? 0 恒成立,故 a ? 0 ,且两根 ?2a 与 a ? 3 均比 ?1 大,得 ?4 ? a ? 0 ①. 因为 x ? (1, ??) )时, g ( x) ? 0 ,故应存在 x0 ? (1, ??) ,使 f(x0)>0, 1 只要 1 ? ?2a 或 1 ? a ? 3 即可,所以 a ? ? 或 a ? ?2 ②,由①、②求交,得 2 1 1 ?4 ? a ? ?2或 ? ? a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 (?4, ?2) ? (? , 0) ,选 C. 2 2

第Ⅱ卷
13.已知双曲线

(非选择题共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 1 6 分.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则曲线的 a 2 b2


离心率等于 【答案】 5 【解析】 双曲线的渐近线为 y ? ?

b 1 b x。 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的斜率为 y ? ? 。 因为 y ? x 与 a 2 a b 1 2 2 2 2 直 线 x ? 2 y ? 1? 0 垂 直 , 所 以 ? ( ? ) ? ?1, 即 b ? 2a 。 所 以 c ? a ? b ?5 a , 即 a 2 2 e ? 5,e ? 5。
1 4.已知一圆柱内接于球 O,且圆柱的底面直径与母线长均为 2,则球为 O 的表面积为 【答案】 8? 。

【解析】圆柱的底面直径与母线长均为 2,所以球的直径 22 ? 22 ? 8 ? 2 2 ,即球半径为

2 ,所以球的表面积为 4? ? ( 2)2 ? 8? 。 2 2 1 5.在区间 ? 0, 4? 内随机取两个数 a、b, 则使得函数 f ( x) ? x ? ax ? b 有零点的概率
为 【答案】 。

1 4
2 2

【解析】函数有零点,则 ? ? a ? 4b ? 0 ,

?0 ? a ? 4 ,做出对应的平面区域 ?0 ? b ? 4 1 为,当 a ? 4 时,b ? 2 ,即三角形 OBC 的面积为 ? 4 ? 2 ? 4 , 2
即 (a ? 2b)(a ? 2b) ? 0 。又 ? 所以由几何概型可知函数 f ( x) ? x ? ax ? b 有零点的概率为
2 2

4 1 ? 。 4? 4 4

1 6.现有一根 n 节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为 10cm, 最下面的三节长度之和为 114cm,第 6 节的长度是首节与末节长度的等比中项,则 n= 。 【答案】16 【解析】 设对应的数列为 {an } , 公差为 d ,(d ? 0) 。 由题意知 a1 ? 10 ,an ? an?1 ? an?2 ? 114 ,

a62 ? a1an 。 由 an ? an?1 ? an?2 ? 114 得 3an?1 ? 114 , 解 得 an?1 ? 38 , 即
2 ? 即 ? 1 3 得 (a1 ? 5d )? 1a ? (a1 ? ,d ) ( 1? 0d 2 5 ) ? d 0,( 解 8 d ) 2 , 所 以 n an?1 ? a1 ? (n ? 2)d ? 38 ,即 10 ? 2(n ? 2) ? 38 ,解得 n ? 16 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
-4-

已知函数 f ( x) ? 3 sin

?x ??
2

cos

?x ??
2

? sin 2

?x ??
2

(? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的

两个相邻对称中心的距离为

? ? ,且过点 ( ,1) . 3 2

(I) 函数 f ( x ) 的达式; (Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, a ? 5 , S?ABC ? 2 5 ,角 C 为锐角。且满 f (

C ? 7 ? ) ? ,求 c 的值. 2 12 6

1 8. (本小题满分 12 分) 为了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级 的家长委员会中共抽取 6 人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有 54 人、 1 8 人、36 人. (I)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数; (Ⅱ)若从抽得的 6 人中随机抽取 2 人进行训查结果的对比,求这 2 人中至少有一人是高 三学生家长的慨率. 1 9. (本小题满分 1 2 分) 如图,四边形 ABCD 中, AB ? AD ,AD∥BC,AD =6,BC =4,AB =2,点 E、F 分别在 BC、AD 上,EF ∥AB.现将四边形 ABEF 沿 EF 折起,使平面 ABCD ? 平面 EFDC,设 AD 中点为 P. ( I )当 E 为 BC 中点时,求证:CP//平面 ABEF (Ⅱ)设 BE=x,问当 x 为何值时,三棱锥 A-CDF 的体积有最大值?并求出这个最大值。 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的各项排成如图所示的三角形数阵, 数阵中每 一行的第一个数 a1 , a2 , a4 , a7 ,??? 构成等差数列 ?bn ? , Sn 是 ?bn ? 的前 n 项和,且 b1 ? a1 ? 1, S5 ? 15 ( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均 构成公比为正数的等比数列,且公比相等,已知 a9 ? 16 ,求 a50 的值; (Ⅱ)设 Tn ?

1 1 1 ,求 Tn . ? ? ??? ? Sn?1 Sn ? 2 S2 n

21. (本小题满分 12 分) 如图,已知圆 C 与 y 轴相切于点 T(0,2),与 x 轴正 半轴相交于两点 M,N(点 M 必在点 N 的右侧) ,且 MN ? 3 已知椭圆 D: 过点 ( 2,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦距等于 2 ON ,且 a 2 b2

6 ) 2

( I ) 求圆 C 和椭圆 D 的方程; (Ⅱ) 若过点 M 斜率不为零的直线 l 与椭圆 D 交于 A、B 两点,求证:直线 NA 与直线 NB 的 倾角互补. 22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 3 mx ? (4 ? m) x 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ,其中 a ? 0 . 3

-5-

( I )若函数 y ? g ( x) 图象恒过定点 P,且点 P 在 y ? f ( x) 的图象上,求 m 的值; (Ⅱ)当 a ? 8 时,设 F ( x) ? f '( x) ? g ( x) ,讨论 F ( x) 的单调性; (Ⅲ)在(I)的条件下,设 G( x) ? ?

? f ( x), x ? 1 ,曲线 y ? G ( x) 上是否存在两点 P、Q, ? g ( x), x ? 1

使△OPQ(O 为原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且该三角形斜边的中点在 y 轴上?如果 存在,求 a 的取值范围;如果不存在,说明理由.

-6-

-7-

-8-

-9-

- 10 -


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