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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编:M单元 推理与证明

时间:2014-09-12


M 单元

推理与证明

目录
M 单元 推理与证明 ...................................................................................................................... 1 M1 合情推理与演绎推理 ............................................................................................................. 1 M2 直接证明与间接证明 ............................................................................................................. 6 M3 数学归纳法 ............................................................................................................................. 7 M4 单元综合 ............................................................................................................................... 10

M1

合情推理与演绎推理

【文·重庆一中高二期末·2014】2.请仔细观察,运用合情推理,写在下面括号里的数最可 能的是 1,1,2,3,5,( ),13 A.8 B.9 C.10 D.11 【知识点】规 律 型 中 的 数 字 变 化 问 题 . 【答案解析】A解析 :解:观 察 题 中 所 给 各 数 可 知 :3=1+2 ,5=2+3 ,8=3+5 ,13=5+8 , ∴ ( )中 的 数 为 8 . 故 选 A. 21教 育 网 【思路点拨】观 察 题 中 所 给 各 数 可 知 :从 第 3 个 数 开 始 起 每 一 个 数 等 于 前 面 相 邻 的 两 数 之 和 , 进 而 即 可 得 出 答 案 . 21·cn·jy·com

【 理 · 浙 江 绍 兴 一 中 高 二 期 末 · 2014 】 15 . 已 知 直 角 坐 标 平 面 上 任 意 两 点

P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,定义

? ? x2 ? x1 , x2 ? x1 … y2 ? y1 d ? P, Q ? ? ? . y ? y , x ? x < y ? y ? 2 1 2 1 2 1 ? 当平面上动点 M ? x, y ? 到定点 A ? a, b ? 的距离满足 MA ? 4 时,则 d ? M , A ? 的取值范围
是 ▲ . 【知识点】 新 定 义 ;数 形 结 合 的 思 想 ;距 离 公 式 的 简 单 应 用 ; 进 行 简 单 的 合 情 推 理 .

2 2, 4 解析 :解:由 题 意 可 知 点 M 在 以 A 为 圆 心 , r=4 为 半 径 的 圆 【答案解析】 轾 犏 臌
周上,如图所示:

由 “ 非 常 距 离 ” 的 新 定 义 可 知 : 【 来 源 : 21cnj*y.co*m】 当 |x-a|=|y-b| 时 , d ( M , A ) 取 得 最 小 值 , d ( M , A ) m i n = 2 2 ; 当 |x-a|=4 , |y-b|=0 或 |x-a|=0 , |y-b|=4 时 , d( M , A )取 得 最 大 值 , d( M , A ) m a x =4 ,

2 2, 4 . 故 d( M, A) 的 取 值 范 围 为 轾 犏 臌 2 2 , 4 . 21 教 育 名 师 原 创 作 品 故答案为: 轾 犏 臌
【思路点拨】由 题 意 可 知 点 M 在 以 A 为 圆 心 , r=4 为 半 径 的 圆 周 上 , 由 “ 非 常 距 离 ” 的 新 定 义 , 求 出 d( M, A) 的 最 小 值 与 最 大 值 , 即 可 得 出 结 论 .

【理·吉林长春十一中高二期末·2014】16.定义在 (0,??) 上的函数 f ( x) 满足:①当

x ? ?1,3? 时, f ( x) ? 1 ? x ? 2 ;② f (3 x) ? 3 f ( x) .设关于 x 的函数 F ( x) ? f ( x) ? a 的
零点从小到大依次为 x1 , x2 ,? , xn ,? (n ? N * ) .若 a ? (1,3) ,则

x1 ? x2 ? ? ? x2 n ?1 ? x2 n ? _______.【来源:21·世纪·教育·网】
(用 n 表示) 【知识点】进 行 简 单 的 合 情 推 理 ; 函 数 的 零 点 ; 数 列 的 求 和 . 【答案解析】 6(3n ? 1) 解析 :解:当 x ? ?1,3? 时, f ( x) ? 1 ? x ? 2 ? [ 0,1] ;

f ( 3x) = 3 f ( x) .
轾1 1 1 ∴当 ? x 1 时,则 1 ? 3x 3 ,由 f ( x) = f ( 3x) 可知: f ( x) ? 犏 0, . 犏 3 3 臌3 骣1 同理,当 x ? 琪 0, 时, 0 ? f ( x) 1, 琪 桫 3
x 当 x ? [ 3,6] 时,由 ? [1, 2] ,可得 f ( x) = 3 f 3

骣 1 琪 琪 x , f ( x) ? [ 0,3] ; 3 桫

x 同理,当 x ? ( 6,9) 时,由 ? ( 2,3) ,可得 f ( x) = 3 f 3

骣 1 琪 琪 x , f ( x) ? [ 0,3] ; 3 桫

此时 f ( x) ? [ 0,3] .当 a ? (1,3) 时. 则 F ( x) = f ( x) - a 在区间 ( 3, 6) 和 ( 6,9) 上各有一个零点,分别为 x1 , x2 ,且满足

x1 + x2 = 2 6 ,依此类推: x3 + x4 = 2 18 ,?, x2n- 1 + x2n = 2创 2 3n .
∴当 a ? (1,3) 时,

x1 + x2 +... + x2n- 1 + x2n = 4? 3 3 +... + 3
故答案为: 6(3n ? 1)

(

2

n

) = 4? ( 3 - 1 )
3 3n - 1

6? 3n 1 .

(

)

x 【思路点拨】 当 x ? [ 0,1) 时, 不必考虑. 利用已知可得: 当 x ? [ 3,6] 时, 由 ? [1, 2] , 3

骣 1 可得 f ( x) = 3 f 琪 琪 x , f ( x) ? [ 0,3] ;同理,当 x ? ( 6,9) 时, f ( x) ? [ 0,3] ;此时 3 桫
y =a, 分别找出 y = f ( x) , 则 F( f ( x) ? [ 0,3] . x

f x ( a) )=

在区间 ( 3, 6) 和 ( 6,9)

上各有一个零点, 分别为 x1 , x2 , 且满足 x1 + x2 = 2 6 , 依此类推 x3 + x4 = 2 18 , ?,
x2n- 1 + x2n = 2创 2 3n .利用等比数列的前n项和公式即可得出.

【 江 苏 盐 城 中 学 高 二 期 末 · 2014 】 9 . 已 知

2?

2 2 3 3 ?2 , 3? ? 3 , 8 8 3 3

4?


a a 4 4 ?4 , …., 类比这些等式, 若 6 ? ? 6 ( a , b 均为正实数) , 则a ?b = 15 15 b b
.www.21-cn-jy.com

【知识点】类 比 推 理 . 【答案解析】41 解析 :解:观 察 下 列 等 式

2?

2 2 3 3 ?2 , 3? ? 3 , 8 8 3 3
n +1

4?

n +1 4 4 ?4 ,?.,第 n 个 应 该 是 n +1 + = ( n +1) 2 15 15 ( n +1) - 1
2

( n +1)

2

-1

则 第 5 个 等 式 中 : a=6 , b=a -1=35,a+b=41 .

故 答 案 为 : 41 . 【思路点拨】根据观 察 所 给 的 等 式 , 归 纳 出 第 n 个 式 子 , 即 可 写 出 结 果 .

【文·江西鹰潭一中高一期末·2014】9.定义

n p1 ? p2 ?

? pn

为 n 个正数 p1 , p2 ,?, pn

的 “ 均倒数 ” ,已知 数列 ?a n ? 的 前 n 项 的 “ 均倒 数 ” 为

1 a ?1 ,又 bn ? n ,则 2n ? 1 4

1 1 1 ? ?? ? ?( b1b2 b2b3 b10 b11
A.

)21*cnjy*com

1 11

B.

9 10

C.

10 11


D.

11 12

【知识点】类比推理. 【答案解析】C 解析 :解:由已知得 ∴ a1 + a 2 +?

a n = n(2n +1) = Sn

当 n≥2 时, a n = Sn ﹣Sn﹣ 1 验证知当 n=1 时也成立, 1 = 4n﹣, ∴an=4n﹣1,∴ ∴ 故选C. 【思路点拨】由已知得 a1 + a 2 +? ,∴ = .

a n = n(2n +1) = Sn ,求出 Sn 后,利用当 n≥2 时,

,即可求得通项an,最后利用裂项法,即可求和. a n = S﹣ n Sn ﹣1

【文· 江西省鹰潭一中高二期末· 2014】 15. 将 2n 按如上表的规律填在 5 列的数表中, 设 22014 排在数表的第 n 行,第 m 列,则 m ? n ? .

【知识点】归 纳 推 理 . 【答案解析】507解析 :解:根据图表的规律:每行有 4 个数,每个数的指数按自然数 列排列,并且奇数行指数由小到大,偶数行指数由大到小,因为 2
22014 在图表的第 504 行、第 3 列,所以 m ? n ? 507.
2014

=2

50 ?3 4 2

,则

故答案为:507. 【思路点拨】根据图表的规律:每行有 4 个数,每 个数的指数按自 然数列 排列,并且 奇数行指数由小到大,偶数行指数由大到小,进而计算出结果 .

【 文 · 吉 林 一 中 高 二 期 末 · 2014 】 16.

已 知 数 列 {a n } 是 正 项 等 差 数 列 , 若

bn ?

a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? na n ,则数列 {b n } 也为等差数列. 类比上述结论,已知数列 1? 2 ? 3??? n
,则数列{ d n }也为等比数列.
1

{cn } 是正项等比数列,若 d n =
【知识点】类比推理.
2 3 n 1? 2?3??? n 【答案解析】 (c1 ? c2 ? c3 ? ?? ? cn )

解析 :解 : 由等差数列 {a n } 的 a1 ? 2a 2 ? ? ? ? ? nan 的和,则等比数列 {c n } 可类比为 c 1 ﹒

(c2 )2 ? ? ? (c n ) n 的积;对 a1 ? 2a 2 ? ? ? ? ? nan 求算术平均值,所以对 c 1 ﹒ (c2 )2 ? ? ? (c n ) n 求几
何平均值,所以类比结果为 (c1 ? c ? c ? ??? c )
2 2 3 3 1 n 1?2?3??? n n

.2·1·c·n·j·y

【思路点拨】根 据 等 差 数 列 构 造 的 新 的 等 差 数 列 是 由 原 来 的 等 差 数 列 的 和 下 标 一 致 的 数 字 倍 的 和 ,除 以 下 标 的 和 ,等 比 数 列 要 类 比 出 一 个 结 论 ,只 有 乘 积 变 化 为 乘 方 , 除 法 变 为 开 方 , 写 出 结 论 . 21·世 纪 *教 育 网

【江西鹰潭一中高一期末· 2014】 9. 定义

n p1 ? p2 ?

? pn

为 n 个正数 p1 , p2 ,?, pn 的“均

倒 数 ” , 已 知 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 的 “ 均 倒 数 ” 为

a ?1 1 , 又 bn ? n ,则 4 2n ? 1

1 1 ? ? b1b2 b2b3
A.

?

1 ?( b10b11
B.



1 11

9 10

C.

10 11

D.

11 12

【知识点】类比推理. 【答案解析】C 解析 :解:由已知得 ∴ a1 + a 2 +? ,

a n = n(2n +1) = Sn

当 n≥2 时, a n = Sn ﹣Sn﹣ 1 验证知当 n=1 时也成立, 1 = 4n﹣,

∴an=4n﹣1,∴ ∴ 故选C.

,∴ = .

【思路点拨】由已知得 a1 + a 2 +?

a n = n(2n +1) = Sn ,求出 Sn 后,利用当 n≥2 时,

,即可求得通项an,最后利用裂项法,即可求和. a n = S﹣ n Sn ﹣1

M2

直接证明与间接证明
2x ? a ( a ? 2) . x ?1

【江苏盐城中学高二期末·2014】17(文科学生做)设函数 f ( x) ? (1)用反证法证明:函数 f ( x) 不可能为偶函数;

(2)求证:函数 f ( x) 在 (??, ?1) 上单调递减的充要条件是 a ? 2 . 【知识点】反 证 法 与 放 缩 法 ; 必 要 条 件 、 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断 . 【答案解析】(1)见解析(2)见解析 解析 :解: (1)假设函数 f ( x) 是偶函数, ????2分

?4 ? a 4 ? a ? ,解得 a ? 2 , ?1 3 这与 a ? 2 矛盾,所以函数 f ( x) 不可能是偶函数. 2?a 2x ? a (2)因为 f ( x ) ? ,所以 f ?( x) ? . ( x ? 1) 2 x ?1 2?a ? 0, ①充分性:当 a ? 2 时, f ?( x) ? ( x ? 1) 2 所以函数 f ( x) 在 (??, ?1) 单调递减; ②必要性:当函数 f ( x) 在 (??, ?1) 单调递减时, 2?a ? 0 ,即 a ? 2 ,又 a ? 2 ,所以 a ? 2 . 有 f ?( x) ? ( x ? 1) 2
则 f (?2) ? f (2) ,即

????4分 ????6分 ????8分

????10分

????13分

综合①②知,原命题成立. ????14分 【思路点拨】( 1 ) 假 设 函 数 f ( x ) 为 偶 函 数 , 则 f ( -x ) =f ( x ) , 代 入 利 用 对 数 的性质,可得矛盾,即可得证; ( 2) 分 充 分 性 、 必 要 性 进 行 论 证 , 即 可 得 到 结 论 . 21*cnjy*com

M3
2?

数学归纳法

【文·江苏扬州中学高二期末·2014】9.已知
3

2 2 3 3 4 4 m m , ? 23 , 3 3 ? ? 33 , 3 4 ? ? 4 3 , ???, 3 2014 ? ? 2014 3 7 7 26 26 63 63 n n
n ?1 ? m2
▲ .



【知识点】归纳推理.

2014 解析 : 【答案解析】 解: 由题意对于
对于 对于 =3 =4 ,此时 m=3,n=26,所以 ,此时 m=4,n=63,所以

=2 = =

, 此时 n=7, m=2, 所以 =3; =4;

=

=2;

可见,m 的值是等号左边根号下和式前面的数,而 ∴ =2014 中的 m 即为 2014,∴此时则

化简后的结果就是 m 的值, =2014.

故答案为2014. 【思路点拨】根据前面几项分别求出各自对应的m,n,然后计算出相应的 ,再进行归

纳推理,给出一般性结论.21cnjy.com 【典型总结】本题考查了归纳推理的知识与方法,一般是先根据前面的有限项找出规律, 然后再求解;这个题就是根据问题先求出每个等式中的 m,n,然后再代入 求值,根据

前面的几个值反映出的规律下结论;注意:这种归纳推理是不完全归纳,因此得出的结论未 必适合后面所有的情况.【出处:21教育名师】

【理·江苏扬州中学高二期末·2014】22.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax 在 (?1, 0) 上是增函数.
3

⑴求实数 a 的取值范围 A ; ⑵当 a 为 A 中最小值时,定义数列 ?an ? 满足: a1 ? (?1,0) ,且 2an?1 ? f (an ) , 用数学归纳法证明 an ? (?1, 0) ,并判断 an ?1 与 an 的大小. 【知识点】数学归纳法;利用导数研究函数的单调性. 【答案解析】⑴⑵解析 :解:⑴

f ' ( x) ? ?3x2 ? a ? 0 即 a ? 3 x 2 在 x ? (?1, 0) 恒成立,
……4 分

? A ?[ 3 , ? ?; )

⑵用数学归纳法证明: an ? (?1, 0) . (ⅰ) n ? 1 时,由题设 a1 ? (?1,0) ; (ⅱ)假设 n ? k 时, ak ? (?1,0) 则当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ?

1 1 3 f (a k ) ? (? a k ? 3a k ) 2 2

由⑴知: f ( x) ? ? x 3 ? 3x 在 (?1, 0) 上是增函数,又 ak ? (?1,0) , 所以

1 1 1 (?(?1)3 ? 3 ? (?1)) ? ?1 ? ak ?1 ? f (ak ) ? (? ak 3 ? 3ak ) ? 0 , 2 2 2
*

综合(ⅰ)(ⅱ)得:对任意 n ? N , an ? (?1, 0) .

……8 分

an ?1 ? an ?

1 1 3 (?an ? 3an ) ? an ? ? an (an ? 1)(an ? 1) 2 2
… …10 分

因为 an ? (?1, 0) ,所以 an?1 ? an ? 0 ,即 an?1 ? an .

【思路点拨】(1)通过函数的导数值恒大于等于 0,求实数 a 的取值范围 A; (2)直接利用数学归纳法证明步骤证明an∈(﹣1,0),通过作差法比较an+1与an的大小.

【理·江苏扬州中学高二期末·2014】9.已知
3

2?

2 2 3 3 4 4 m m ? 23 , 3 3 ? ? 33 , 3 4 ? ? 4 3 , ???, 3 2014 ? ? 2014 3 , 7 7 26 26 63 63 n n
n ?1 ? m2
▲ .



【知识点】归纳推理.

2014 解析 : 【答案解析】 解: 由题意对于
对于 对于 =3 =4 ,此时 m=3,n=26,所以 ,此时 m=4,n=63,所以

=2 = =

, 此时 n=7, m=2, 所以 =3; =4;

=

=2;

可见,m 的值是等号左边根号下和式前面的数,而 ∴ =2014 中的 m 即为 2014,∴此时则

化简后的结果就是 m 的值, =2014.

故答案为2014. 【思路点拨】根据前面几项分别求出各自对应的m,n,然后计算出相应的 ,再进行归

纳推理,给出一般性结论.www-2-1-cnjy-com 【典型总结】本题考查了归纳推理的知识与方法,一般是先根据前面的有限项找出规律,

然后再求解;这个题就是根据问题先求出每个等式中的 m,n,然后再代入

求值,根据

前面的几个值反映出的规律下结论;注意:这种归纳推理是不完全归纳,因此得出的结论未 必适合后面所有的情况.2-1-c-n-j-y

【江苏盐城中学高二期末·2014】16.(本小题满分 14 分)
2 (理科学生做)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? an ? 2nan ? 2 .

(1)求 a2 , a3 , a4 ;

(2)先猜想出 ?an ? 的一个通项公式,再用数学归纳法证明你的猜想. 【知识点】数 学 归 纳 法 ; 归 纳 推 理 . 【答案解析】(1) a2 = 5, a3 = 7, a4 =9;(2) an ? 2n ? 1 ,证明见解析.
2 ? 2nan ? 2 ,依次得 a2 ? a12 ? 2a1 ? 2 ? 5 , 解析 :解:(1)由条件 an?1 ? an
2 2 a3 ? a2 ? 4a2 ? 2 ? 7 ,a4 ? a3 ? 6a3 ? 2 ? 9 , (2)由(1),猜想 an ? 2n ? 1 .

????6 分 ????7 分 ???8 分 ????9 分

下用数学归纳法证明之: ①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 1 ,猜想成立; ②假设当 n ? k 时,猜想成立,即有 ak ? 2k ? 1 ,

2 ? 2kak ? 2 ? ak (ak ? 2k ) ? 2 ? (2k ? 1) ?1 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1, 则当 n ? k ? 1 时,有 ak ?1 ? ak 即当 n ? k ? 1 时猜想也成立, ????13 分 综合①②知, 数列 ?an ? 通项公式为 an ? 2n ? 1 . ????14 分

【思路点拨】( 1 ) 直 接 利 用 已 知 关 系 式 , 通 过 n=1 , 2 , 3 , 4 , 求 出 a 2 , a 3 , a 4 ; ( 2 )利 用( 1 )猜 想 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 ,利 用 数 学 归 纳 法 证 明 的 步 骤 证 明 即 可 . 【 理 · 江 西 鹰 潭 一 中 高 二 期 末 · 2014 】 6 . 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 “ (n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? n) ? 2 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1), n ? N
n *

”时,从“ n ? k ”变到

“ n ? k ? 1 ”时,左边应增乘的因式是( A. 2 k ? 1

)【版权所有:21 教育】 C.

2k ? 1 B. k ?1

(2k ? 1)(2k ? 2) k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

【知识点】数学归纳法. 【答案解析】C 解析 :解:由题意,n=k 时,左边为(k+1)(k+2)…(k+k);n=k+1 时,左边为(k+2)(k+3)…(k+1+k+1); 从而增加两项为(2k+1)(2k+2),且减少 一项为(k+1),21 世纪教育网版权所有 故选C. 【思路点拨】根据已知等式,分别考虑n=k、n=k+1时的左边因式,比较增加与减少的项, 从而得解.

M4

单元综合


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