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直线与平面平行的性质课件 新人教A版必修2

时间:2011-10-18


2.2.3 直线与平面平行的性质

1

学生用书P38) 自 学 导 引(学生用书 学生用书

2

1.掌握直线与平面平行的性质定理 明确由线面平行可推出线 掌握直线与平面平行的性质定理,明确由线面平行可推出线 掌握直线与平面平行的性质定理 线平行. 线平行 2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想 结合具体问题体会化归与转化的数学思想. 结合具体问题体会化归与转化的数学思想

3

学生用书P 课 前 热 身(学生用书 38) 学生用书

4

线面平行的性质定理,用符号语言可表示为 线面平行的性质定理 用符号语言可表示为
a α ? ? a∥b ∥ a?β ? ? __________ . α ∩ β = b? ?

5

学生用书P 名 师 讲 解 (学生用书 38) 学生用书

6

1.直线与平面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理
l α , l ? β , α ∩ β = m ? l m.

由于过l可作无数个平面 这些平面与 的交线也都平行于l. 由于过 可作无数个平面β,这些平面与 的交线也都平行于 可作无数个平面 这些平面与α的交线也都平行于 即若l∥ 则在 内可以找到无数条直线与l平行 则在α内可以找到无数条直线与 平行.(当然这无数 即若 ∥α,则在 内可以找到无数条直线与 平行 当然这无数 条直线相互平行) 条直线相互平行 2.应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知作辅助平 应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知作辅助平 然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行. 面,然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行 然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行

7

学生用书P 典 例 剖 析 (学生用书 38) 学生用书

8

题型一 直线与平面平行的性质定理的应用 求证:如果一条直线和两个相交平面都平行 例1:求证 如果一条直线和两个相交平面都平行 那么这条直 求证 如果一条直线和两个相交平面都平行.那么这条直 线和它们的交线平行. 线和它们的交线平行 已知:α∩β=l,a∥α,a∥β. ∥ ∥ 已知 求证:a∥l. 求证 ∥ 分析:已知条件有线面平行关系 可利用线面平行的性质定理 分析 已知条件有线面平行关系,可利用线面平行的性质定理 已知条件有线面平行关系 转化为线线平行. 转化为线线平行

9

证明:证法 如下图 作平面γ交 于 证明 证法1:如下图 过a作平面 交α于b. 证法 如下图,过 作平面

10

∵a∥α,∴a∥b. ∥ ∴ ∥ 作平面ε交平面 过a作平面 交平面 于c. 作平面 交平面β于 ∵a∥β,∴a∥c,∴b∥c. ∥ ∴ ∥ ∴ ∥ 又b?β且c ? 且 β.∴ ∥ ? ∴b∥β.

又平面α过 交 于 ∴ ∥ 又平面 过b交β于l,∴b∥l. ∵a∥b,∴a∥l. ∥ ∴ ∥

11

证法2:如下图 在 上任取一点 上任取一点A,过 和 作平面与 相交于l 与 作平面与α相交于 证法 如下图,在l上任取一点 过A和a作平面与 相交于 1,与 如下图 β相交于 2,则由线面平行的性质定理可知 ∥l1,a∥l2. 相交于l 则由线面平行的性质定理可知 相交于 则由线面平行的性质定理可知a∥ ∥

又过一点只能作一条直线与另一条直线平行. 又过一点只能作一条直线与另一条直线平行

12

重合. ∴l1与l2重合 又 l1 α,l ? 2 β. ?

重合于l.∴ ∥ ∴l1、l2重合于 ∴a∥l. 规律技巧:应用线面平行的性质定理时 应着力寻找过已知 规律技巧 应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已知 应用线面平行的性质定理时 直线的平面与已知平面的交线.本题证明 是同一法. 直线的平面与已知平面的交线 本题证明2是同一法 本题证明 是同一法

13

变式训练1:三个平面两两相交 有三条交线 变式训练 三个平面两两相交,有三条交线 如果其中有两条 三个平面两两相交 有三条交线,如果其中有两条 交线平行,那么它们也和第三条交线平行 交线平行 那么它们也和第三条交线平行. 那么它们也和第三条交线平行 已知:α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,且a∥b. 且 ∥ 已知 求证:a∥b∥c. 求证 ∥ ∥

证明:∵ ∥ 证明 ∵a∥b,b

γ,a ?

γ.∴a∥γ. ?∴ ∥

又a?α,α∩γ=c,∴a∥c. ? ∴ ∥ ∴a∥b∥c. ∥ ∥

14

题型二 证明线面平行问题 如图,在正方体 例2:如图 在正方体 如图 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M?N分别是 — ? 分别是 AA1,CD1的中点 的中点. 求证:MN∥平面ABCD. ∥平面 求证

分析:欲证 由判定定理知,要在平面 分析 欲证MN∥平面 欲证 ∥平面ABCD,由判定定理知 要在平面 由判定定理知 要在平面ABCD内 内 找一条直线与MN平行 由于 为CD1的中点 取CD的中点 平行.由于 的中点,取 的中点 的中点E, 找一条直线与 平行 由于N为 连结AE,NE,证明四边形 证明四边形AMNE为平行四边形即可 为平行四边形即可. 连结 证明四边形 为平行四边形即可

15

证明:如图 取 的中点 连结AE,NE,由N?E分别为 1与CD 的中点E,连结 分别为CD 证明 如图,取CD的中点 连结 如图 由 ? 分别为 的中点,可得 的中点 可得

1 D1 D,∥ EN∥D1D,且 NE = 又AM∥D1D, ∥ 且 2 1 且 AM = ,D1 D 2
∴EN∥AM,且EN=AM. ∥ 且 为平行四边形, ∴四边形AMNE为平行四边形 四边形 为平行四边形 ∴MN∥AE. ∥ 又AE MN

? 平面ABCD, 平面
平面ABCD, 平面 ?

∴MN∥平面 ∥平面ABCD.
16

规律技巧:证线面平行想到证线线平行 证线线平行又转化为 规律技巧 证线面平行想到证线线平行,证线线平行又转化为 证线面平行想到证线线平行 线面平行.这种相互转化的基本思想就是证明线面关系的 线面平行 这种相互转化的基本思想就是证明线面关系的 有效方法. 有效方法

17

变式训练2:如图所示 在长方体 变式训练 如图所示,在长方体 如图所示 在长方体ABCD-A′B′C′D′中,点 中点 P∈BB′(不与 ?B′重合 ∈ 不与B? 重合 重合).PA∩BA′=M,PC∩BC′=N,求 不与 求 证:MN∥平面 ∥平面B′AC.

18

证明:如图所示 连结 证明 如图所示,连结 ?A′C′. 如图所示 连结AC?

∵ABCD-A′B′C′D′是长方体 是长方体, 是长方体 ∴AC∥A′C′. ∥ ? 面BA′C′,A′C′ 平面 平面BA′C′, 又AC ? ∴AC∥平面 ∥平面BA′C′. 与平面BA′C′交于 交于MN, 又∵平面PAC过AC与平面 平面 过 与平面 交于 ∴MN∥AC. ∥ 平面B′AC,∴MN∥平面 ∵MN ? 平面 ∴ ∥平面B′AC.
19

题型三 性质定理的综合应用 如图所示,四边形 为空间四边形ABCD的一个截面 的一个截面, 例3:如图所示 四边形 如图所示 四边形EFGH为空间四边形 为空间四边形 的一个截面 若截面为平行四边形. 若截面为平行四边形 (1)求证 求证:AB∥平面 求证 ∥平面EFGH,CD∥平面 ∥平面EFGH. (2)若 若

AB=4,CD=6,求四边形 求四边形EFGH周长的取值范围 周长的取值范围. 求四边形 周长的取值范围

20

分析:本题考查线面平行的判定和性质定理的应用 转化为 分析 本题考查线面平行的判定和性质定理的应用.(1)转化为 本题考查线面平行的判定和性质定理的应用 证明AB? 分别平行于平面 分别平行于平面EFGH内的一条直线 内的一条直线;(2)设 证明 ?CD分别平行于平面 内的一条直线 设 EF=x,用x表示四边形 用 表示四边形EFGH的周长 转化为求关于x的函数 的周长,转化为求关于 的函数 表示四边形 的周长 转化为求关于 值域. 值域

21

证明:∵ 为平行四边形, 解:(1)证明 ∵四边形 证明 四边形EFGH为平行四边形 为平行四边形 ∴EF∥HG. ∥ ∵HG ∵EF

? 平面ABD,∴EF∥平面 ∴ ∥平面ABD. 平面 ? 平面ABC,平面 平面ABD∩平面 平面ABC=AB, 平面 平面 平面

∴EF∥AB.∴AB∥平面 ∥ ∴ ∥平面EFGH. 同理可证,CD∥平面EFGH. ∥平面 同理可证 (2)解:设EF=x(0<x<4),由于四边形 解设 由于四边形EFGH为平行四边形 为平行四边形, 由于四边形 为平行四边形

22

即四边形EFGH周长的取值范围是 周长的取值范围是(8,12). 即四边形 周长的取值范围是

23

变式训练3:如图 已知 四点不共面,且 ∥ 变式训练 如图,已知 ?B?C?D四点不共面 且AB∥平面 如图 已知A? ? ? 四点不共面 α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H, ∥平面 (1)求证 求证:EFGH是一个平行四边形 是一个平行四边形; 求证 是一个平行四边形 (2)若AB=CD=a,试求四边形 若 试求四边形EFGH的周长 的周长. 试求四边形 的周长

24

(1)证明 证明:AB∥α,AB 证明 ∥

?平面 平面ABC,平面 平面ABC∩α=EH? 平面 ?

AB∥EH,同理 ∥FG?EH∥FG,同理 ∥GH?EFGH ∥ 同理AB∥ ? ∥ 同理EF∥ ? 同理 同理 是平行四边形. 是平行四边形 (2)解:∵AB∥EH,∴ EH 解∵ ∥ ∴

CE EF AE = .同理 = , AB CA CD AC

CE AE EH EF 又 + = 1,∴ + = 1. CA AC AB CD
∵AB=CD=a,∴EH+EF=a, ∴ 的周长为2a. ∴平行四边形EFGH的周长为 平行四边形 的周长为

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易错探究

26

如图所示,已知异面直线 都平行于平面α,且 例4:如图所示 已知异面直线 如图所示 已知异面直线AB,CD都平行于平面 且 都平行于平面 AB,CD在α的两侧 若AC,BD与α分别交于 ?N两点 在 的两侧 的两侧,若 分别交于M? 两点 两点, 与 分别交于 AM BN = . 求证: 求证 MC ND

27

错解:∵ ∥平面α,又平面 又平面AMNB∩平面 平面α=MN,∴AB∥MN. 错解 ∵AB∥平面 又平面 平面 ∴ ∥ 同理CD∥ 同理 ∥MN,∴AB∥MN∥CD. ∴ ∥ ∥ ∴
AM BN = . 错因分析:错解中忽略了 错解中忽略了AB与 是异面直线这个条件 是异面直线这个条件,按 错因分析 错解中忽略了 与CD是异面直线这个条件 按 MC ND

AB∥CD证明的 显然是错误的 ∥ 证明的 显然是错误的. 证明的,显然是错误的

28

正解:因为 是异面直线,所以 正解 因为AB,CD是异面直线 所以 因为 是异面直线 所以AC,BD也一定是异面直线 也一定是异面直线 (否则 否则A,C,B,D四点共面 则AB,CD共面与已知 四点共面,则 共面与已知AB,CD是异 否则 四点共面 共面与已知 是异 面直线矛盾).所以 面直线矛盾 所以MN不是过 的平面与α的交线 由 不是过AB的平面与 的交线,由 所以 不是过 的平面与 的交线 AB∥α不能推出 ∥MN,同理由 ∥α不能推出 ∥ 不能推出 不能推出AB∥ 同理由CD∥ 不能推出 同理由 CD∥MN. ∥

29

证明:连结 交 于点 连结PM,PN, 于点P,连结 证明 连结AD交α于点 连结 连结

∵AB∥α,AB ∥

平面ABD,平面 平面ABD∩α=PN, 平面 平面 ?

同理CD∥ ∴AB∥PN,同理 ∥PM, ∥ 同理

30

学生用书P 技 能 演 练(学生用书 40) 学生用书

31

基础强化 1.已知直线 ∥平面 已知直线l∥平面α,l 已知直线 系是( 系是 A.平行 平行 C.相交或异面 相交或异面 ) B.相交或平行 相交或平行 D.平行或异面 平行或异面

? 平面β,α∩β=m,则直线 的位置关 则直线l,m的位置关 平面 则直线

答案:A 答案

32

2.过平面 外的直线 作一组平面与 相交 如果所得的交线为 过平面α外的直线 作一组平面与α相交 过平面 外的直线l,作一组平面与 相交,如果所得的交线为 a,b,c,…,则这些交线的位置关系为 … 则这些交线的位置关系为 则这些交线的位置关系为( A.都平行 都平行 B.都相交且一定交于同一点 都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 都相交但不一定交于同一点 D.都平行或都交于同一点 都平行或都交于同一点 解析:分 ∥ 和 与 相交两种情况作答 相交两种情况作答. 解析 分l∥α和l与α相交两种情况作答 答案:D 答案 )

33

3.已知 已知m,n是不重合的直线 ?β是不重合的平面 有以下命题 是不重合的直线,α? 是不重合的平面 有以下命题: 是不重合的平面,有以下命题 已知 是不重合的直线

m α ? ① ? ? m n; n α? ? ② ? ? α β; m β? α ∩β =n ? ③ ? ? m α 且m β . m n? m α

34

其中真命题的个数是( 其中真命题的个数是 A.0 C.2

)

B.1 D.3

解析:① 也可能异面或相交; 解析 ①中m与n也可能异面或相交 与 也可能异面或相交 也可能相交; ②α与β也可能相交 与 也可能相交 可能在α内或 因此① ③m可能在 内或 内.因此①、②、③均错 . 可能在 内或β内 因此 答案:A 答案

35

4.a,b是两条异面直线 是不在 上的点 则下列结论成立的 是两条异面直线,A是不在 上的点,则下列结论成立的 是两条异面直线 是不在a,b上的点 是( )

A.过A且平行于 和b的平面可能不存在 过 且平行于 且平行于a和 的平面可能不存在 B.过A有且只有一个平面平行于 和b 过 有且只有一个平面平行于 有且只有一个平面平行于a和 C.过A至少有一个平面平行于 和b 过 至少有一个平面平行于a和 至少有一个平面平行于 D.过A有无数个平面平行于 和b 过 有无数个平面平行于 有无数个平面平行于a和 答案:B 答案

36

5.若平面 ∥平面 直线 ∥α,点B∈β,则在 内过点 的所有 若平面α∥平面β,直线 直线a∥ 点 ∈ 则在 内过点B的所有 则在β内过点 若平面 直线中( 直线中 )

A.不一定存在与 平行的直线 不一定存在与a平行的直线 不一定存在与 B.只有两条与 平行的直线 只有两条与a平行的直线 只有两条与 C.存在无数条与 平行的直线 存在无数条与a平行的直线 存在无数条与 D.存在唯一一条与 平行的直线 存在唯一一条与a平行的直线 存在唯一一条与 解析:当 ? 过点B不存在与 平行的直线. 解析 当a?β,B∈a时,过点 不存在与 平行的直线 ∈ 时 过点 不存在与a平行的直线 答案:A 答案

37

6.已知 ∥β,b∥β,则直线 与b的位置关系 ①平行 ②垂直不 已知a∥ ∥ 则直线 则直线a与 的位置关系 平行;② 的位置关系:① 已知 相交;③垂直相交 ④不垂直且不相交.其中可能成立的有 相交 ③垂直相交;④不垂直且不相交 其中可能成立的有 ①②③④ ________. ①④ 7.有以下命题 正确命题的序号是 有以下命题,正确命题的序号是 有以下命题 正确命题的序号是____________. ①直线与平面平行,则直线与平面无公共点 直线与平面平行 则直线与平面无公共点 ②直线与平面平行,则直线与平面内的所有直线平行 直线与平面平行 则直线与平面内的所有直线平行 ③直线与平面平行,则直线平行于平面内任一条直线 直线与平面平行 则直线平行于平面内任一条直线 ④直线与平面平行,则平面内存在无数条直线与该直线平行 直线与平面平行 则平面内存在无数条直线与该直线平行

38

8.过正方体 过正方体AC1的棱 的棱BB1作一平面交 作一平面交CDD1C1于EF. 过正方体 的棱 作一平面交 于 求证:BB1∥EF. ∥ 求证 证明:如下图所示 证明 如下图所示: 如下图所示

39

∵CC1∥BB1,CC1 平面BEFB1, ∴CC1∥平面 又CC1

平面BEFB1,BB1 平面 ?

平面BEFB1, ?平面

平面CC 平面 1D1D, ?

平面CC 平面BEFB1=EF, 平面 1D1D∩平面 平面 ∴CC1∥EF,∴BB1∥EF. ∴

40

能力提升

41

9.已知直线 ∥平面 点A∈α.怎样在 内过点 作一条直线 已知直线a∥平面α,点 ∈ 怎样在 内过点A作一条直线 怎样在α内过点 作一条直线b 已知直线 平行于a?作出图形写出作图过程 平行于 作出图形写出作图过程. 作出图形写出作图过程 如下图,过点 与直线a作平面 则交线b为所求作的直线 解:如下图 过点 与直线 作平面 则交线 为所求作的直线 如下图 过点A与直线 作平面β,则交线 为所求作的直线.

设β∩α=b,则A∈b,∵a∥α,a 则 ∈ ∵ ∥ ∴b∥a. ∥

β,α∩β=b, ?
42

10.如图 在空间四边形 如图,在空间四边形 分别是AB,AD,CD 如图 在空间四边形ABCD中,若P,R,Q分别是 中若 分别是 的中点,过 的平面与BC交于 求证:S是 的中点 的中点. 的中点 过P,R,Q的平面与 交于 求证 是BC的中点 的平面与 交于S.求证

43

证明:在 分别是AB,AD的中点 则PR∥BD,又 的中点,则 ∥ 证明 在△ABD中,点P,R分别是 中点 分别是 的中点 又 PR BD 平面BCD, ?平面 平面BCD,∴PR∥平面 平面 ∴ ∥平面BCD,又PR 又 ? 平面PRQS, ?平面

平面PRQS∩平面 平面BCD=SQ,∴PR∥SQ,又 平面 平面 ∴ ∥ 又 PR∥BD,∴SQ∥BD.又Q是CD的中点 ∴S是BC的中点 ∥ 的中点,∴ 是 的中点 的中点. ∴ ∥ 又 是 的中点

44

学生用书P41) 品 味 高 考(学生用书 学生用书

45

11.(2008·宁夏?海南)如下的三个图中 上面的是一个长方体 ·宁夏?海南 如下的三个图中 如下的三个图中,上面的是一个长方体 截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在 截去一个角所得多面体的直观图 它的正视图和侧视图在 下面画出(单位 cm). 下面画出 单位: 单位

46

(1)在正视图下面 按照画三视图的要求画出该多面体的俯视 在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视 在正视图下面 图; (2)按照给出的尺寸 求该多面体的体积 按照给出的尺寸,求该多面体的体积 按照给出的尺寸 求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连结 在所给直观图中连结BC′,证明 证明BC′∥平面 在所给直观图中连结 证明 ∥平面EFG.

47

解:(1)如图 如图

48

(2)长方体的体积是 1=4×4×6=96( cm3), 长方体的体积是V 长方体的体积是 × × 截去的一个角是一个三棱锥, 截去的一个角是一个三棱锥 其体积是

1 1 4 V 2 = × ( × 2 × 2) × 2 = (cm3 ), 3 2 3
所以所求多面体体积V=V1-V2=96所以所求多面体体积

4 284 = (cm3). 3 3

49

(3)证明 在长方体 证明:在长方体 连结AD′, 证明 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,连结 — 中 连结

如图所示,则有 如图所示 则有AD′∥BC′, 则有 ∥ 分别为AA′,A′D′中点 中点, 又E,G分别为 分别为 中点 所以AD′∥EG.所以 ∥BC′, ∥ 所以EG∥ 所以 所以 又EG 平面EFG,BC′ ? 平面 平面EFG, 平面 ?

所以BC′∥平面EFG. 所以 ∥平面
50


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