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圆锥曲线性质总结

时间:2016-11-25


1.

x2 y 2 已知椭圆 a 2 ? b2 ? 1 (a>b>0) ,O



坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点, 且 OP ? OQ .则
1 1 1 1 ? ? ? (1) | OP |2 | OQ |2 a 2 b2

; ;

2 2 4 a b 2 2 (2)|OP| +|OQ| 的最大值为 a 2 ? b2

(3) S

?OPQ

a 2b 2 的最小值是 a 2 ? b2 .

圆锥曲线性质对比 椭圆 焦点三角 形面积 双曲线
2

S?F1PF2 ? b tan
2 2 2 2

?
2

S ?F1PF2 ? b 2 /tan

?
2

两斜率乘 AB 是椭圆 x ? y ? 1 的 a b 积定值 不平行于对称轴的 弦,M ( x , y ) 为 AB 的
0 0

AB 是 双 曲 线
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a>0,b>

0)的不平行于对
0 0

中点,则 k 即K
AB

OM

? k AB ? ?

b2 a2

b 2 x0 ?? 2 a y0

M (x , y ) , 称轴的弦, 为 AB 的中点,则
K OM ? K AB b 2 x0 ? 2 a y0

, 即

K AB ?

b 2 x0 a 2 y0



x AB 是椭圆 a

2 2

?

y2 ?1 b2



AB 是 双 曲 线
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

过 原 点 的 弦 , M ( x , y ) 为椭圆上任
0 0

(a>0,b>

0)过原点的弦, M (x , y ) 为 双 曲 线
0 0

一个点(不同于 AB) ,则 k 即 圆锥曲线过切点的切线方程
MA ? k MB ? ?

b2 a2



上任一个点 (不同 于 AB ) , 则
b2 a2

kMA ? kMB ?


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