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“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案A4

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“ 《数学周报》杯”2008 年全国初中数学竞赛试题及参考答案
一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 4 2 4 1.已知实数 x, y 满足 4 ? 2 ? 3,y 4 ? y 2 ? 3 ,则 4 ? y 4 的值为( x x x 1 ? 13 7 ? 13 (A)7(B) (C) (D)5 【答】 (A) 2 2 解:因为 x 2 ? 0 , y 2 ≥0,由已知条件得 ) .

1 2 ? 4 ? 4 ? 4 ? 3 1 ? 13 ?1 ? 1 ? 4 ? 3 ?1 ? 13 , y2 ? , ? ? ? 2 x 8 4 2 2 4 2 2 ? y 4 ? 2 ? 3 ? 3 ? y 2 ? 2 ? y 2 ? 6 ? 7. 所以 4 x x x 2 2 2 ? 2 2 ?( ? ) ? ( ? 2 ) ? 3 ? 0 另解:由已知得, ? x 2 ,显然 ? 2 ? y 2 ,以 ? 2 , y 2 为根的一元二 x x x ?( y 2 ) ? y 2 ? 3 ? 0 ? 2 2 (? 次方程为 t 2 ? t ? 3 ? 0 ,所以 (? 2 ) ? y 2 ? ?1,    2 ) ? y 2 ? ?3 x x 4 2 2 (? 故 4 ? y 4 = [(? 2 ) ? y 2 ]2 ? 2 ?   2 ) ? y 2 ? (?1) 2 ? 2 ? (?3) ? 7 x x x 2.把一枚六个面编号分别为 1,2,3,4,5,6 的质地均匀的正方体骰子先后投掷 2 次, 若两个正面朝上的编号分别为 m,n,则二次函数 y ? x2 ? mx ? n 的图象与 x 轴有两个不 5 4 17 1 同交点的概率是( )(A) (B) (C) (D) . 【答】 (C) 12 9 2 36 解:基本事件总数有 6× 6=36,即可以得到 36 个二次 2 函数. 由题意知 ? = m ? 4n >0,即 m 2 >4 n .通过枚举知, 17 满足条件的 m,n 有 17 对. 故 P ? . 36 3.有两个同心圆,大圆周上有 4 个不同的点,小圆周上有 2 个不同的点,则这 6 个点可以确定的不同直线最少有 ( ). (A)6 条(B)8 条(C)10 条(D)12 条 【答】 (B) 解:如图,大圆周上有 4 个不同的点 A,B,C,D,两 两连线可以确定 6 条不同的直线;小圆周上的两个点 E,F (第 3 题) 中, 至少有一个不是四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交 点,则它与 A,B,C,D 的连线中,至少有两条不同于 A, B,C,D 的两两连线.从而这 6 个点可以确定的直线不少于 8 条. 当这 6 个点如图所示放置时,恰好可以确定 8 条直线. 所以,满足条件的 6 个点可以确定的直线最少有 8 条. 4. 已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦, AB ? a ? 1 . AB 且 以 为一边在圆 O 内作正△ ABC ,点 D 为圆 O 上不同于点 A 的 一点,且 DB ? AB ? a , DC 的延长线交圆 O 于点 E ,则 AE (第 4 题) 的长为( ) .

(A)

5 3 (D)a 【答】 (B) a (B)1(C) 2 2 解:如图,连接 OE,OA,OB. 设 ?D ? ? ,则 ?ECA ? 120? ? ? ? ?EAC .又因为
2008 全国竞赛 1

1 1 ?ABD ? ? 60? ? 180? ? 2? ? ? 120? ? ? , 所 以 △A C E≌ △ABO , 于 是 2 2 A E? O ? 1. A 另解:如图,作直径 EF,连结 AF,以点 B 为圆心,AB 为半径作⊙B,因为 AB= BC = BD , 则 点 A , C , D 都 在 ⊙ B 上 , 由 ?ABO ?

1 1 ?F ? ?EDA ? ?CBA ? ? 60? ? 30? 2 2 所以 AE ? EF ? sim?F ? 2 ? sim30? ? 1
5.将 1,2,3,4,5 这五个数字排成一排,最后一个数是 奇数,且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中 的第一个数整除,那么满足要求的排法有( ) . (A)2 种(B)3 种(C)4 种(D)5 种【答】 (D) 解:设 a1,a2,a3,a4,a5 是 1,2,3,4,5 的一个满 足要求的排列. 首先,对于 a1,a2,a3,a4 ,不能有连续的两个都是偶 数,否则,这两个之后都是偶数,与已知条件矛盾. 又如果 ai (1≤i≤3)是偶数, ai ?1 是奇数,则 ai ? 2 是奇 数,这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数,除非接的这个奇数是最后一 个数. 所以 a1,a2,a3,a4,a5 只能是:偶,奇,奇,偶,奇,有如下 5 种情形满足条件: 2,1,3,4,5;2,3,5,4,1;2,5,1,4,3;4,3,1,2,5;4,5,3,2,1. 二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 1 6.对于实数 u,v,定义一种运算“*”为:u ? v ? uv ? v .若关于 x 的方程 x ? (a ? x) ? ? 4 a ? 0 ,或 a ? ?1 . 有两个不同的实数根,则满足条件的实数 a 的取值范围是 . 【答】 1 1 解:由 x ? (a ? x) ? ? ,得 (a ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? ? 0 , 4 4 ?a ? 1 ? 0, 依题意有 ? 解得, a ? 0 ,或 a ? ?1 . 2 ?? ? (a ? 1) ? (a ? 1) ? 0, 7.小王沿街匀速行走,发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车,每隔 3 分钟从迎 面驶来一辆 18 路公交车.假设每辆 18 路公交车行驶速度相同,而且 18 路公交车总站 每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是 分钟. 【答】4. 解:设 18 路公交车的速度是 x 米/分,小王行走的速度是 y 米/分,同向行驶的相邻 两车的间距为 s 米. 每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车,则 6 x ? 6 y ? s . ① 每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车,则 3x ? 3 y ? s . ② s E ? 4 .即 18 路公交车总站发 由①,②可得 s ? 4 x ,所以 x 车间隔的时间是 4 分钟. 8. 如图, 在△ ABC 中, AB=7, AC=11, M 是 BC 的中点, AD 点 N 是∠BAC 的平分线,MF∥AD,则 FC 的长为 . 【9】 A 解:如图,设点 N 是 AC 的中点,连接 MN,则 MN∥AB. F 又 MF // AD ,所以 ?FMN ? ?BAD ? ?DAC ? ?MFN , 1 所以 FN ? MN ? AB . 2 B C D M
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O E C D F

A

B

1 1 AB ? AC ? 9. 2 2 另解:如图,过点 C 作 AD 的平行线交 BA 的延长线为 E,延长 MF 交 AE 于点 N. 则 ?E ? ?BAD ? ?DAC ? ?ACE 所 以 AE ? AC ? 11 . 又 FN // CE , 所 以 四 边 形 C E N F 等 腰 梯 形 , 即 是 1 1 CF ? EN ? BE ? ? (7 ? 11) ? 9 2 2 9.△ABC 中,AB=7,BC=8,CA=9,过△ABC 的内切圆圆心 I 作 DE∥BC,分别与 16 AB,AC 相交于点 D,E,则 DE 的长为 . 【答】 . 3 解:如图,设△ABC 的三边长为 a,b,c,内切圆 I 的半径为 r, 1 1 r a BC 边上的高为 ha ,则 aha ? S△ABC ? (a ? b ? c )r ,所以 ? . 2 2 ha a ? b ? c h ? r DE 因为△ADE∽△ABC,所以它们对应线段成比例,因此 a , ? ha BC a (b ? c ) 8 ? 7 ? 9) 16 ( h ?r r a ? . 所以 DE ? a ,故 DE ? ? a ? (1 ? )a ? (1 ? )a ? a?b?c 8?7?9 3 ha ha a ?b?c

因此 FC ? FN ? NC ?

另解: ? S?ABC ? rp ?
(这里

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) = 12 ? 4 ? 3 ? 5 ? 12 5

p?

12 5 a?b?c 2S 2 ? 12 5 ? 5 , ha ? △ABC ? )所以 r ? ?3 5 a 8 12 2

2 16 DE ha ? r 3 5 ? 5 2 ? ? ? ,即 DE ?? BC ? 。 3 3 BC ha 3 3 5 10.关于 x,y 的方程 x2 ? y 2 ? 208( x ? y) 的所有正整数解为 . ? x ? 48,? x ? 160, 【答】 ? ? ? y ? 32,? y ? 32. 解:因为 208 是 4 的倍数,偶数的平方数除以 4 所得的余数为 0,奇数的平方数除 以 4 所得的余数为 1,所以 x,y 都是偶数.设 x ? 2a, y ? 2b ,则 a2 ? b2 ? 104(a ? b) , 同上可知,a,b 都是偶数.设 a ? 2c, b ? 2d ,则 c2 ? d 2 ? 52(c ? d ) ,所以,c,d 都是偶 数.设 c ? 2 s, d ? 2t ,则 s 2 ? t 2 ? 26(s ? t ) ,于是 (s ?13)2 ? (t ? 13)2 = 2 ?132 ,其中 s,t 都是偶数.所以 (s ?13)2 ? 2 ?132 ? (t ?13)2 ≤ 2 ?132 ? 152 ? 112 .所以 s ? 13 可能为 1,3,

由△ADE∽△ABC,得

5, 9, 7, 进而 (t ? 13)2 为 337, 329, 313, 289,257,故只能是 (t ? 13)2 =289,从而 s ? 13

? s ? 6, s ? 20, ? ? x ? 48,? x ? 160, =7.于是 ? 因此, ? ? ? ? y ? 32,? y ? 32. ?t ? 4; t ? 4, ? 另解:因为 ( x ? 104)2 ? ( y ? 104)2 ? 2 ? 1042 ? 21632 ,则有 ( y ? 104)2 ? 21632, 又 y 正整数,所以 1 ? y ? 43 。令 a ?| x ? 104 |, b ?| y ? 104 |,  则a2 ? b2 ? 21632 因为任何完全平方数的个位数为:1,4,5,6,9 由 a2 ? b2 ? 21632 知 a2 , b2 的个位数只能是 1 和 1 或 6 和 6; 当 a2 , b2 的个位数是 1 和 1 时,则 a , b 的个位数字可以为 1 或 9 但个位数为 1 和 9 的数的平方数的十位数字为偶数, a 2 ? b 2 的十位数字为 3 矛盾。 与 2 2 当 a , b 的个位数是 6 和 6 时,则 a , b 的个位数字可以为 4 或 6。 由 105 ? b ? 147 ,取 b =106,114,116,124,126,134,136,144,146 代入
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1 6 4| ?| x ?0 5 ? ? x ? 48 ? x ? 160 a2 ? b2 ? 21632 得, 只有当 b =136 时, =56, ? 即 , 解得 ? 。 ,? a 1 3 4| 6 ?| y ?0 1 ? ? y ? 32 ? y ? 32 三、解答题(共 4 题,每题 15 分,满分 60 分) ( 11.在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y ? kx ? b k ? 0) 的图象与 x 轴、 y 轴的正半轴分
别交于 A,B 两点,且使得△OAB 的面积值等于 OA ? OB ? 3 . ⑴用 b 表示 k;⑵求△OAB 面积的最小值. 解:⑴令 x ? 0 ,得 y ? b ,b ? 0 ;令 y ? 0 ,得 x ? ?
b ? 0,k ? 0 . k

b ( 0) B b 所以 A,B 两点的坐标分别为 A ? , ,(0,) ,于是,△OAB 的面积为 k 1 b 1 b b 2b ? b 2 S ? b ? ( ? ) .由题意,有 b ? (? ) ? ? ? b ? 3 ,解得 k ? , b ? 2 .?? 5 分 2 k 2 k k 2(b ? 3) 1 b b(b ? 3) (b ? 2)2 ? 7(b ? 2) ? 10 ? ⑵由⑴知, S ? b ? (? ) ? 2 k b?2 b?2 10 10 2 ? b?2? ?7 ? ( b?2 ? ) ? 7 ? 2 10 ≥ 7 ? 2 10 , b?2 b?2 10 当且仅当 b ? 2 ? 时,有 S ? 7+2 10 ,即当 b ? 2 ? 10 , k ? ?1 时,不等式中的等号 b?2 成立.所以,△ABC 面积的最小值为 7 ? 2 10 . ?????? 15 分 12.是否存在质数 p,q,使得关于 x 的一元二次方程 px2 ? qx ? p ? 0 有有理数根? 解:设方程有有理数根,则判别式为平方数.令 ? ? q2 ? 4 p2 ? n2 ,

其中 n 是一个非负整数.则 (q ? n)(q ? n) ? 4 p2 . ?????? 5 分 由于 1≤ q ? n ≤q+n,且 q ? n 与 q ? n 同奇偶,故同为偶数.因此,有如下几种可能情 ? q ? n ? 2, ? q ? n ? 4, ?q ? n? , ?q ? n? 2 , ? q ? n ? p 2, p p 形: ? ? ? ? ? 2 2 p p ? q ? n ? 2 p , ? q ? n ? p , ?q ? n? 4 , ?q ? n? 2 , ? q ? n ? 4. p2 5p p2 消去 n,解得 q ? p 2 ? 1, q ? 2 ? , q ? , q ? 2 p, q ? 2 ? .? 10 分 2 2 2 对于第 1,3 种情形, p ? 2 ,从而 q=5;对于第 2,5 种情形, p ? 2 ,从而 q=4 (不合题意,舍去) ;对于第 4 种情形,q 是合数(不合题意,舍去) .又当 p ? 2 ,q=5 1 时,方程为 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 ,它的根为 x1 ? ,x2 ? 2 ,它们都是有理数. 2 综上所述,存在满足题设的质数?????? 15 分 ★12、已知 a, b 为正整数,关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? 0 的两个实数根为 x1,x2 ,
2

x1 ?y 1? x ?y ?22008 .求 b 的最小值. 2 另解:由韦达定理,得 x1 ? x2 ? 2a,  x1 ?x2 ? b ; y1 ? y2 ? ?2a,  y1 ?y2 ? b ? y1 ? y2 ? ?2a ? ?( x1 ? x2 ) ? (? x1 ) ? (? x2 ) ? y1 ? ? x1 ? y1 ? ? x2 即? 解得: ? ,  或? y1 ?y2 ? b ? (? x1 )? ? x2 ) ( y2 ? ? x2 ? y2 ? ? x1 ? ? 把 y1 , y2 的值分别代入 x1 ?y1 ? x2 ?y2 ? 2008 ,得 x1 ? ?x1 ) ? x2 ? ?x2 ) ? 2008 或 x1 ? ?x2 ) ? x2 ? ?x1 ) ? 2008 (不成立) ( ( ( ( 2 2 即 x2 ? x1 ? 2008 , ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? 2008
2008 全国竞赛 4

2 关 于 y 的 方 程 y ? 2ay ? b ? 0 的 两 个 实 数 根 为 y1,y2 , 且 满 足

因为 x1 ? x2 ? 2a ? 0,  x1 ? 2 ? b ? 0 ,所以 x1 ? 0,  x2 ? 0 x 于是有 2a ? 4a ? 4b ? 2008 因为 a,b 都是正整数,所以
2

即 a ? a ? b ? 502 ? 1 ? 502 ? 2 ? 251
2

?a ? 1 ?a ? 505 ?a ? 2 ?a ? 251 或? 2 或? 2 或? 2 ? 2 2 2 ?a ? b ? 502 ?a ? b ? 1 ?a ? b ? 251 ?a ? b ? 4 ?a ? 1 ?a ? 502 ?a ? 2 ?a ? 251 分别解得: ? 或? 或? 或? 2 2 2 2 ?b ? 1 ? 502 ?b ? 502 ? 1 ?b ? 2 ? 251 ?b ? 251 ? 4 ?a ? 502 ?a ? 251 经检验只有: ? 符合题意. ,  ? 2 2 ?b ? 502 ? 1 ?b ? 251 ? 4 2 所以 b 的最小值为: b最小值 ? 251 ? 4=62997
13.是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的 △ABC?证明你的结论. 解:存在满足条件的三角形. 当△ABC 的三边长分别为 a ? 6 , b ? 4 , c ? 5 时, ?A ? 2?B .??? 5 分 如图,当 ?A ? 2?B 时,延长 BA 至点 D,使 AD ? AC ? b .连接 CD,则△ ACD 为等腰 三角形. 因为 ?BAC 为△ ACD 的一个外角, 所以 ?BAC ? 2?D . 由已知,?BAC ? 2?B , 所以 ?B ? ?D .所以△ CBD 为等腰三角形. AD CD ? 又 ?D 为△ ACD 与△ CBD 的一个公共角,有△ ACD ∽△ CBD ,于是 , CD BD b a 即 ? ,所以 a 2 ? b?b ? c? .而 62 ? 4 ? (4 ? 5) ,所以此三角形满足题设条件,故存 a b?c 在满足条件的三角形. ?? 15 分 (说明:满足条件的三角形是唯一的. ) 2 若 ?A ? 2?B ,可得 a ? b?b ? c? .有如下三种情形: (i)当 a ? c ? b 时,设 a ? n ? 1 , c ? n , b ? n ? 1 ( n 为大于 1 的正整数) , 2 代入 a 2 ? b?b ? c? ,得 ? n ? 1? ? ? n ? 1?? 2n ? 1? ,解得 n ? 5 ,有 a ? 6 , b ? 4 , c ? 5 ; (ⅱ)当 c ? a ? b 时,设 c ? n ? 1 , a ? n , b ? n ? 1 ( n 为大于 1 的正整数) , 2 2 代入 a ? b?b ? c? ,得 n ? ?n ? 1? ? 2n ,解得 n ? 2 ,有 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 ,此时不能 构成三角形; (ⅲ)当 a ? b ? c 时,设 a ? n ? 1 , b ? n , c ? n ? 1 ( n 为大于 1 的正整数) , 2 2 2 代入 a ? b?b ? c? ,得 ?n ? 1? ? n?2n ? 1? ,即 n ? 3n ? 1 ? 0 ,此方程无整数解. 所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的 2 倍的三 角形存在,而且只有三边长分别为 4,5,6 构成的三角形满足条件. ★ 13 、 如 图 , △ ABC 的 三 边 长 A B C ,   A?C   b ?   ? a , A ,B c 都 a b c , , F 是整数,且 a, b 的最大公约数是 2。点 G 和 b 点 I 分 别 为 △ ABC 的 重 心 和 内 心 , 且 c ?GIC ? 90? ,求△ABC 的周长. G I 另解:如图,连结 GA,GB,过 G,I r 作直线交 BC、AC 于点 E、F,作△ABC 的 内切圆 I, BC 边于点 D。 切 记△ABC 的半周 B C a E D 长为 P,内切圆半径为 r,BC,AC 边上的高
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线长为 ha , hb 。

? S?ABC ? rp ?

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ,? r ?

( p ? a)( p ? b)( p ? c) p

( p ? a )( p ? b) r2 易知: CD ? p ? c ,在 Rt ?CIE 中, DE ? 即 DE ? p p?c ( p ? a)( p ? b) ab ∴ CE ? CD ? DE ? ( p ? c) ? 又∵ ? , CI ? EF , CI 平分?ACB , p p 所以 CE=CF。由 S?ABC ? S?ABG ? S?BEG ? S?AFG ? S?FEC   S 1 ab h 1 ab h 1 ab 得: S?ABC= ?ABC ? ? (a ? ) ? a ? ? ? ) ? b ? 2 ? ? ? r (b 3 2 p 3 2 p 3 2 p S 1 p ?b 1 p ? a ab 即 S?ABC= ?ABC ? ( ? a ? ha ) ? ? ( ? b ? hb ) ? ? 2 ? rp 3 2 3p 2 3p p 2 2 整理得 2 p ? cp ? 3ab ,即 3ab ? 2 p ? cp ? p(2 p ? c) ? P(a ? b) 6ab 设△ABC 的周长为 m ,则 m ? 2 p ? 为整数。 a?b 由 已 知 (a ,b )? 2 设 a ? 2 s, b? 2 t, (s , t ? 1, t , 且 ) 都是正整数 , 代 入 上 式 , 得 s , 12st 。∵ (s, s ? t ) ? 1,(t, s ? t ) ? 1 ,∴ s ? t 是 12 的约数,即 s ? t =1,2,3,4, m? s?t ( 1 6,12。不妨设 s ? t ,则 s,t)= ,得 ?s ? 1 ?s ? 2 ?s ? 3 ?s ? 5 ?s ? 11 ?s ? 7 ?s ? 7 ? ? ? ? ? ? ? ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 1 , ?t ? 5 经检验,只有 ?t ? 5 符合题 ?m ? 6 ?m ? 8 ?m ? 9 ?m ? 10 ?m ? 11 ?m ? 35 ?m ? 35 ? ? ? ? ? ? ? 意,所以: a ? 14, b ? 10, c ? 11 或 a ? 10, b ? 14, c ? 11 ,即所求△ABC 的周长为 35。
14.从 1,2,?,9 中任取 n 个数,其中一定可以找到若干个数(至少一个,也可以是 全部) ,它们的和能被 10 整除,求 n 的最小值. 解:当 n=4 时,数 1,3,5,8 中没有若干个数的和能被 10 整除.?5 分 当 n=5 时,设 a1,a2, ,a5 是 1,2,?,9 中的 5 个不同的数.若其中任意若干个 ? 数,它们的和都不能被 10 整除,则 a1,a2, ,a5 中不可能同时出现 1 和 9;2 和 8;3 和 ? 7;4 和 6.于是 a1,a2, ,a5 中必定有一个数是 5. ? 若 a1,a2, ,a5 中含 1,则不含 9.于是不含 4(4+1+5=10) ,故含 6;于是不含 ? 3(3+6+1=10) ,故含 7;于是不含 2(2+1+7=10) ,故含 8.但是 5+7+8=20 是 10 的倍数,矛盾. 若 a1,a2, ,a5 中含 9,则不含 1.于是不含 6(6+9+5=20) ,故含 4;于是不含 ? 7(7+4+9=20) ,故含 3;于是不含 8(8+9+3=10) ,故含 2.但是 5+3+2=10 是 10 的倍数,矛盾. 综上所述,n 的最小值为 5.?????? 15 分

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