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2010年河北省大学生数学竞赛试题和答案正版

时间:2015-07-27


2010 年河北省大学生数学竞赛试题及答案
(非数学类,2010) 考试形式: 闭卷 考试时间: 150 分钟 满分:100 分

一、(本题满分 10 分) 求极限 lim
n ??

1 ( n 2 ? 1 ? n 2 ? 2 2 ? ? ? n 2 ? (n ? 1) 2 ) 。 2 n

【解】 S n ?

1 ( n 2 ? 1 ? n 2 ? 2 2 ? ? ? n 2 ? (n ? 1) 2 ) 2 n

?

1 1 2 n ?1 2 ( 1 ? ( )2 ? 1 ? ( )2 ? ? ? 1 ? ( ) ) n n n n

?

1 0 1 2 n ?1 2 1 ( 1 ? ( )2 ? 1 ? ( )2 ? 1 ? ( )2 ? ? ? 1 ? ( ) )? n n n n n n

i 1 1 ? ? 1 ? ( )2 . ? n n n i ?0
n ?1 i 1 1 lim S n ? lim[? 1 ? ( ) 2 . ? ] n?? n?? n n n i ?0

n ?1

因 1 ? x 2 在 [0,1] 上连续,故

?

1

0

1 - x 2 dx 存在,且

?

1

0

n ?1 i 1 1 - x 2 dx = lim ? 1 ? ( ) 2 . , n?? n n i ?0

所以, lim S n ?
n??

?

1

0

1 - x 2 dx ? lim

1 1 ? ? ? 1 - x 2 dx ? 。 0 n ?? n 4

二、(本题满分 10 分) 请问 a, b, c 为何值时下式成立 lim

2 x t dt 1 ? c. b x ?0 sin x ? ax ? 1? t 2

【解】注意到左边得极限中,无论 a 为何值总有分母趋于零,因此要想极限存在,分子必 须为无穷小量,于是可知必有 b ? 0 ,当 b ? 0 时使用洛必达法则得到

lim

2 x t dt 1 x2 , ? lim 0 x ?0 sin x ? ax ? 1 ? t 2 x?0 (cos x ? a) 1 ? x 2

由上式可知:当 x ? 0 时,若 a ? 1 ,则此极限存在,且其值为 0;若 a ? 1 ,则
2 x t dt 1 x2 ? lim ? ?2 , b x ?0 sin x ? ax ? 1 ? t 2 x?0 (cos x ? 1) 1 ? x 2

lim

综上所述,得到如下结论: a ? 1, b ? 0, c ? 0; 或 a ? 1, b ? 0, c ? ?2 。

三、(本题满分 10 分) 计算定积分 I ?

?

?

2 0

dx 。 1 ? tan2010 x

【解】 作变换 x ?

?
2

? t ,则

I ? ??

tan2010 tdt 1 ? dt 2 ? ? 2 (1 ? )dt ? ? 2 dt ? I ? 2010 2010 ? 2010 0 0 0 1 ? tan t 1 ? tan t t 2 1 ? cot
0

?

?

?

2I ?

?

?

2 0

dt ?

?
2



所以, I ?

?
4



四、(本题满分 10 分) 求数列 {n n } 中的最小项。
1 x

?

1

【解】 因为所给数列是函数 y ? x 又y?x
1 ? ?2 x

?

当x分别取 1,2,3,?, n,? 时的数列。

(ln x ? 1) 且令 y ? ? 0 ? x ? e ,

容易看出:当 0 ? x ? e 时, y ? ? 0 ;当 x ? e 时, y ? ? 0 。 所以, y ? x
? 1 x

有唯一极小值 y (e) ? e

?

1 e


? 1
3

而2 ? e ? 3?

1 2

?

1
3

3

,因此数列 {n n } 的最小项

1 3



五、(本题满分10 分) 求
?

e ?n 。 ? n ?0 n ? 1
?

【解】 考虑幂级数

xn 。 ? n ?0 n ? 1

其收敛半径为 1 ,收敛区间为 (?1,1) , 当 x ? ?1 时,
? xn 1 n 收敛; ? ( ? 1 ) ? ? n ?0 n ? 1 n ?0 n ? 1 ? ?

当 x ? 1 时,

? xn 1 发散,因此其收敛域为 [?1,1) 。 ? ? ? n ?0 n ? 1 n ?0 n ? 1

设其和函数为 s( x) ,则

?x ? (?1,1) , ?
于是,

x

0

n ? ? x t tn x 。 s(t )dt ? ? ? dt ? ? ? dt ? ? x n?1 ? 0 0 n ?1 1? x n ?0 n ? 1 n ?0 n ?0

x ?

x 1 s ( x) ? ( )? ? . 1? x (1 ? x) 2

故,

e ?n e2 ?1 。 ? s ( e ) ? ? (e ?1 ) 2 n ?0 n ? 1
?

六、(本题满分10 分) 设 f ( x) ? sin x ? 【解】 原方程可写为

? ( x ? t ) f (t )dt ,其中 f 为连续函数,求 f ( x) 。
0
x x 0 0

x

f ( x) ? sin x ? x ? f (t )dt ? ? tf (t )dt ,
上式两端对 x 求导得

f ?( x) ? cos x ? ? f (t )dt ? xf ( x) ? xf ( x) ? cos x ? ? f (t )dt
0 0

x

x

(*) 两端再对 x 求导得

f ??( x) ? ? sin x ? f ( x)


f ??( x) ? f ( x) ? ? sin x

这是一个二阶线性常系数非齐次方程,由原方程知 f (0) ? 0 ,由(*)式知 f ?(0) ? 1 。 特征方程为

?2 ? 1 ? 0 , ? ? ?i

齐次通解为

y ? C1 sin x ? C2 cos x
y* ? x(a sin x ? b cos x) ,代入 f ??( x) ? f ( x) ? ? sin x 得

设非齐次方程特解为

a ? 0, b ?

1 。 2

则非齐次方程通解为 y ? C1 sin x ? C 2 cos x ? 由初始条件

x cos x 2

y(0) ? 0 和 y ?(0) ? 1可知,
1 , C2 ? 0 。 2

C1 ?

七、(本题满分10 分) 在过点 O(0,0)和 A(? ,0) 的曲线族 y ? asin x (a ? 0) 中,求一条曲线

L ,使沿该曲线从O 到A 的积分 ? (1 ? y 3 )dx ? (2 x ? y )dy 的值最小。
L

【解】 I (a) ?

? (1 ? y
L

3

)dx ? (2 x ? y)dy ? ? [1 ? a 3 sin 3 x ? (2 x ? a sin x)a cos x]dx
0

?

? ? ? 4a ?

4 3 a 。 3

令 I ?(a) ? ?4 ? 4a 2 ? 0 , 得 a ? 1 (a ? ?1舍去) ; 又 I ?(1) ? 8 ? 0 , 则 I (a) 在 a ? 1 处取极小值,且a =1是I (a)在(0,+∞)内的唯一极值点,故a =1时I (a)取最小值,则所求曲 线为 y ? sin x (0 ? x ? ? ) 。 八、(本题满分10 分) 设f (x)在[?1,1]上有二阶导数,且 f (1) ? f (1) ? 1 , f ' ' ( x ) ? 证明: 1. f ' ( x ) ?

1 。 2

1 ,x∈[?1,1]。 2

2. f (x) = x在[?1,1]上有且只有一个实根。 【证明】 1. 由泰勒公式 f (?1) ? f ( x) ? f ?( x)( ?1 ? x) ?

f ??(? ) (?1 ? x) 2 , ? ? (?1, x) 2 f ??(? ) f (1) ? f ( x) ? f ?( x)(1 ? x) ? (1 ? x) 2 ,? ? ( x,1) 2

两式相减并整理得

2 f ?( x) ?

(1 ? x 2 ) (1 ? x 2 ) f ??(? ) ? f ??(? ) 2 2

于是,

f ?( x) ?

(1 ? x 2 ) (1 ? x 2 ) (1 ? x 2 ) ? (1 ? x 2 ) f ??(? ) ? f ??(? ) ? 4 4 8

由于 max

(1 ? x 2 ) ? (1 ? x 2 ) 1 ? , ?1? x ?1 8 2

因此, | f ' ( x) |? 1 , x ? [?1,1] 。 2. 令 F ( x) ? f ( x) - x, x ? [?1,1] 。则 F (?1) ? f (?1) ? 1 ?

3 1 , F (1) ? f (1) ? 1 ? - 。 2 2

但F(x)在[?1,1]上连续,由介值定理知,F(x)在[?1,1]上至少有一个零点。 又由1可知 F ' ( x) ? f ' ( x) - 1 ? 0 ,故 F ( x) 在[?1,1]上严格单调,从而至多有一个零点。 这样F(x)在[?1,1]上有且只有一个零点,即f (x) = x 在[?1,1] 上有且只有一个实根。

? ?) 为连续函数,则 九、(本题满分10 分) 设 f ( x) 在 (-?,
【解】令 ? ( x) ?

?

a

0

x 3 f ( x 2 )dx ?

1 a2 xf ( x)dx 。 2 ?0

?t
0

x

3

f (t 2 )dt, 则 ? ?( x) ? x 3 f ( x 2 ),

? ( x) ?

1 x2 1 tf (t )dt ,则? ?( x) ? ? x 2 f ( x 2 ) ? 2 x ? x 3 f ( x 2 ), ? 0 2 2

所以 ? ?( x) ? ? ?( x) 即 ? ( x) ? ? ( x) ? c c为常数。 而 ? (0) ? ? (0) ? 0 ,?? ( x) ? ? ( x) 特别地


? (a) ? ? (a)
1 a2 xf ( x)dx 。 2 ?0

?

a

0

x 3 f ( x 2 )dx ?

十、(本题满分10 分) 设 f ( x) 是[0,1]上的连续函数,证明

?e
0

1

f ( x)

dx? e ? f ( y ) dy ? 1 。
0

1

f ( x )? f ( y ) 【证法一】 设 D ? {(x, y) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1} 。由于 e ? 1 ? f ( x) ? f ( y) ,所



?e
0

1

f ( x)

dx? e ? f ( y ) dy ? ?? e f ( x ) ? f ( y ) dxdy
0 D

1

? ? dx? (1 ? f ( x) ? f ( y))dy
0 0

1

1

? ? dx? dy ? ? f ( x)dx? dy ? ? dx? f ( y)dy
0 0 0 0 0 0

1

1

1

1

1

1

? 1。

【证法二】

?

1

0

e f ( x ) dx? e ? f ( y ) dy ? ?? e f ( x ) ? f ( y ) dxdy
0 D

1

? ?? e f ( y )? f ( x) d x d y
D

?

1 (e f ( x )? f ( y ) ? e f ( y )? f ( x ) )d x d y ?? 2D 1 2dxdy ? 1. 2 ?? D

?

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