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江苏省扬州中学2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷

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江苏省扬州中学 2016-2017 学年第一学期期中考试 高一数学
一、填空题(5*14=70) 1. 集 合 A={x| ﹣ 1 ≤ x < 2} , 集 合 B={x|x < 1} , 则 A ∩ B= . 2.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 2 ? 的定义域为 3.已知 4 a ? 2 , lg x ? a ,则 x ? . . . .

4.函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 5, x ? [1,5] ,则该函数值域为 5.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1 ,且 f (?2) =3,则 f (2) = 6.计算 ( )?2 ? lg 2 ? lg 5 =____________. 7.集合 A ? ? x ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0? 中只有一个元素,则 a 的值是
a x 1 2



8.若函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2ax 与 g ( x) ? 在区间[1,2]上都是减函数, 则实数 a 的取值范围是______________. 9. 函 数 y ? 2 log a ( x ? 2) ? 3 ( a ? 0, 且a ? 1 ) 恒 过 定 点 的 坐 标 为 . 10.已知函数 f ( x ? 1) ? x 2 ? 2 x ,则 f ( x) ? .

11. 已知偶函数 f ( x) 在 ? 0, ?? ? 上为增函数,且 f ( x ? 1) ? f (3 ? 2 x) , 则 x 的取值范围为 .

12.f ( x) 是定义在 ?? ?,?? ? 上的偶函数, 且在 ?? ?,0? 上是增函数, 设 a ? f (log 4 7) , 是 .
b ? f (log 1 3)
2

, c ? f (0.2 0.6 ) , 则 a , b , c 大 小 关 系

1

13.已知函数 y ? lg( 1 ? 1) 的定义域为 A ,若对任意 x ? A 都有不等式
x

9x ? m 2 x ? 2mx ? ?2 恒成立,则正实数 2 ? 2x

m 的取值范围是
1 x



14 .

已 知 函 数 f ( x) ? x ? ? x ?

1 ,关于 x 的方程 x

f 2 ( x) ? a f ( x) ? b ? 0
( a, b ? R ) 恰 有 6 个 不 同 实 数 解 , 则 a 的 取 值 范 围





二、解答题:(14+14+14+16+16+16) 15.已知全集为 R ,集合 A ? {x | y ? lg x ? (1)当 a ? 0 时,求 (CR A) (2)若 A
B;

2 ? x } , B ? {x |

1 ? 2 x ? a ? 8} . 4

B ? B ,求实数 a 的取值范围.

16.已知二次函数 y=f(x)满足 f(-2)=f(4)=-16,且 f (x)最大值为 2. (1)求函数 y=f(x)的解析式. (2)求函数 y=f(x)在[t,t+1](t>0)上的最大值. 17.已知函数 f ( x) ? log a (ax 2 ? x ? 1), (a ? 0, a ? 1) (1) a ? 2 ,求函数 f ( x) 的值域.
, 上为增函数时,求 a 的取值范围. (2)当 f ( x) 在区间 ? ?4 2? ? ?1 3?
1

18.设 f ( x) 是 (??, ??) 上的奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时,
f ( x) ? x .

(1)求 f (? ) 的值; (2)求 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) 的解析式; (3)当 ?4 ? x ? 4 时,求方程 f ( x) ? m(m ? 0) 的所有实根之和。
2

19.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x x ? a , (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)当 0 ? x ? 1 时,求 f ( x) 的最大值. 20.设函数 f ? x ? ? ka x ? a ? x ( a ? 0 且 a ? 1 )是奇函数. (1)求常数 k 的值; (2)若 a ? 1 ,试判断函数 f ? x ? 的单调性,并加以证明; (3)若 f ?1? ? ,且函数 g ? x ? ? a 2 x ? a ?2 x ? 2mf ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上的 最小值为 ?2 ,求实数 m 的值.
8 3

3

答案: 1. ? 2. ? 3.
?1,1?

2, ?? ?
10

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4.[1,10] 5.-1 6.3 7.0 或 1 8. ? 9. ?
0,1? 3,3?

2 10. x ? 1

?4 ? 2? 11. ? ? 3, ?

12. c ? a ? b
? 3 6 ? ? 0, 2 ? 1? ? 13. ? ? ?

14. ? 解答题:
15.

?4, ?2 ?

(1) {x | ?2 ? x ? 0或2 ? x ? 3} ; (2) [?1, 2] .

?x ? 0 ?0? x? 2, 【解析】解: (1)由已知得 ? ?2 ? x ? 0
所以 A ? {x | 0 ? x ? 2} 当 a ? 0 时, B ? {x | ? 2 x ? 8} ? {x | ?2 ? x ? 3} ∴ CR A ? {x | x ? 0或x ? 2}
4

1 4

∴ (CR A) B ? {x | x ? 0或x ? 2} {x | ?2 ? x ? 3} ={x | ?2 ? x ? 0或2 ? x ? 3} (2)若 A B ? B ,则 A ? B 又 B ? {x | ? 2 x ? a ? 8} ? {x | ?2 ? x ? a ? 3} ? {x | a ? 2 ? x ? a ? 3} 故?
?a ? 2 ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 2 ?a ? 3 ? 2

1 4

故实数 a 的取值范围为 [?1, 2] .

? 2,0 ? t ? 1 16.f(x)=-2x2+4x; (2)f(x)max= ? 2 ??2t ? 4t , t ? 1
【解析】 (1)因为已知二次函数 y=f(x)满足 f(-2)=f(4)=-16,且 f(x) 最大值为 2,故函数的图象的对称轴为 x=1, 可设函数 f(x)=a(x-1)2+2,a<0. 根据 f(-2)=9a+2=-16,求得 a=-2, 故 f(x)=-2(x-1)2+2=-2x2+4x. (2)当 t≥1 时,函数 f(x)在[t,t+1]上的是减函数, 故最大值为 f(t)=-2t2+4t; 当 0<t<1 时,函数 f(x)在[t,1]上是增函数,在[1,t+1]上是减函数, 故函数的最大值为 f(1)=2.

? 2,0 ? t ? 1 综上,f(x)max= ? 2 ??2t ? 4t , t ? 1
17. (1)令
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u ( x) ? ax 2 ? x ? 1, a ?

1 ?1 ? u ( x) 值域为 ? , ?? ? f ( x) 的值域为 ? ??,1? 2 时, ?2 ? ,函数

?1 3? , (2)当 a ? 1 时 , 要 求 当 f ( x) 在 区 间 ? ?4 2? ? 上 为 增 函 数 时 , 从 而

?1 1 ? ? ? 2a 4 a?2 ? ?u ( 1 ) ? 1 a ? 1 ? 1 ? 0 ? 4 ? 4 16 ,

5

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?1 3 ? ?1 3? ? 2 1 ? 2a 2 , ? ? ?a? 当 0 ? a ? 1 时,要求当 f ( x) 在区间 ? 4 2 ? 上为增函数时,从而 ? 3 ?u ( 3 ) ? 0 9 ? ? 2 ,

? 2 1? , 综上:a 的取值范围是 ? ? 9 3? ?

? 2, ?? ?

18.

( 1 ) 由 f ( x ? 2) ? ? f ( x ) 得 , f ( x ? 4) ? f [( x ? 2) ? 2] ? ? f ( x ? 2) ? f ( x ) , 所 以

f (? ) ? f (?1? 4 ? ? ) ? f (? ? 4) ? ? f (4 ? ? ) ? ?(4 ? ? ) ? ? ? 4 .
( 2) f ( x ) ? ?

? x(?1 ? x ? 1) ; ?2 ? x(1 ? x ? 3)

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(3) x1 ? x 2 ? ?2, x3 ? x 4 ? 6, 所有实根之和为 4. (写出正确答案即可)

19.(1)当 a=0 时, f(x)为奇函数;当 a ? 0 时, f ( x) 既不是奇函数又不是偶函数;
(2)a ? 2( 2 ? 1) 时, f ( x) max ? 1 ? a ;当 2( 2 ? 1) ? a ? 2 时, f ( x) max ?

a2 ;当 a ? 2 时, 4

f ( x) max ? a ? 1 ;
【解析】 (1)当时 a ? 0 , f (? x) ? ? x ? x ? ? x x ? ? f ( x) ,此时 f ( x) 为奇函数。 当 a ? 0 时, f (a ) ? 0 , f (? a ) ? ? a ? a ? a ? ?2a a ? 0 , 由 f (? a ) ? f (a ) 且 f (? a ) ? ? f (a ) ,此时 f ( x) 既不是奇函数又不是偶函数 (2) 当 a ? 0 时, ∵ 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x( x ? a ) 为增函数, ∴ x ? 1 时, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a .

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当 a ? 0 时,∵ 0 ? x ? 1 , ∴ f ( x) ? x( x ? a ) ? x 2 ? ax ,其图象如图所示:

6

①当

a ? 1 ,即 a ? 2 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 1 ; 2

②当

a 1? 2 a a2 ; ?1? a ,即 2( 2 ? 1) ? a ? 2 时, f ( x) max ? f ( ) ? 2 2 2 4
1? 2 a ? 1 ,即 0 ? a ? 2( 2 ? 1) 时, f ( x) max ? f (1) ? 1 ? a . 2
a2 ; 4

③当

综上:当 a ? 2( 2 ? 1) 时, f ( x) max ? 1 ? a ;当 2( 2 ? 1) ? a ? 2 时, f ( x) max ? 当 a ? 2 时, f ( x) max ? a ? 1 ;

20.1. k ? 1 ; (2) f ? x ? 在 R 上为单调增函数; (3) m ?
【解析】 (1)函数 f ? x ? ? ka ? a
x ?x

25 . 12

的定义域为 R

函数 f ? x ? ? ka ? a
x

?x

( a ? 0 且 a ? 1 )是奇函数

? f ? 0 ? ? k ? 1 ? 0 ,? k ? 1
( 2) f ? x ? ? a ? a
x ?x

设 x1 、 x2 为 R 上两任意实数,且 x1 ? x2

1 ? ? 1 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? a x1 ? a ? x1 ? ? ? a x2 ? a ? x2 ? ? ? a x1 ? a x2 ? ? ? x2 ? x1 ? a ? ?a

a x1 ? a x2 1 ? ? ? ? a ? a ? ? x1 x2 ? ? a x1 ? a x2 ? ?1 ? x1 x2 ? a a ? a a ?
x1 x2

a ? 1 , x1 ? x2 ,? 0 ? a x1 ? a x2 ,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ?

?函数 f ? x ? 在 R 上为单调增函数.
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(3)

f ?1? ?

8 8 1 ,? a ? a ?1 ? ,解得 a ? 3 或 a ? ? 3 3 3
7

a ? 0 且 a ? 1 ,? a ? 3
g ? x ? ? 32 x ? 3?2 x ? 2m ? 3x ? 3? x ? ? ? 3x ? 3? x ? ? 2m ? 3x ? 3? x ? ? 2 ( x ? 1 )
2

令 3x ? 3? x ? t ( t ? 当m ?

8 2 ) ,则 y ? t 2 ? 2mt ? 2 ? ? t ? m ? ? m 2 ? 2 3

8 时, ymin ? ? m 2 ? 2 ? ?2 ,解得 m ? 2 ,舍去 3
2

8 25 25 8 ?8? 当 m ? 时, ymin ? ? ? ? 2m ? ? 2 ? ?2 ,解得 m ? ?m ? 。 3 12 12 3 ?3?

8


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