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朝阳区2015-2016学年第一学期期末高三数学(理)试题答案

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北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期期末高三年级统一考试 数学答案(理工类) 一、选择题: (满分 40 分) 题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 D 5 A 6 C 2016.1 7 A 8 B 二、填空题: (满分 30 分) 题号 答案 9 10 11 4 2 12 13 14 1:1:1 4:2:3 π , ?1 4 12 4 (注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设“选出的 3 名同学来自不同班级”为事件 A,则 1 2 0 3 C3 ? C7 ? C3 ? C7 49 P( A) ? ? . 3 C10 60 所以选出的 3 名同学来自班级的概率为 49 . 60 ……………………………5 分 (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3,则 P( X ? 0) ? 3 C30 ? C7 7 ? ; 3 C10 24 P( X ? 1) ? 1 2 C3 ? C7 21 ; ? 3 C10 40 1 C32 ? C7 7 P( X ? 2) ? ? ; 3 C10 40 3 0 C3 ? C7 1 . P( X ? 3) ? ? 3 C10 120 所以随机变量 X 的分布列是 X P 随机变量 X 的数学期望 0 1 2 3 7 24 21 40 7 40 1 120 E( X ) ? 0 ? 7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 24 40 40 120 10 ·1· …………………………13 分 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 cos ?ADB ? ? 又因为 ?CAD ? 2 7 2 ,所以 sin ?ADB ? . 10 10 ? ? ,所以 ?C ? ?ADB ? . 4 4 ? ? ? 所以 sin ?C ? sin(?ADB ? ) ? sin ?ADB ? cos ? cos ?ADB ? sin 4 4 4 ? 7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5 ………………………7 分 7 4 ? AC ? sin ? C AD AC 2 5 ?2 2 AD ? ? ? (Ⅱ)在 ?ACD 中,由 ,得 . sin ?ADC 7 2 sin ?C sin ?ADC 10 所以 S?ABD ? 1 1 7 2 AD ? BD ? sin ?ADB ? ? 2 2 ? 5 ? ?7. 2 2 10 …………13 分 17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:因为底面 ABCD 是菱形,所以 AB ∥ CD . 又因为 AB ? 面 PCD , CD ? 面 PCD ,所以 AB ∥面 PCD . 又因为 A, B, E, F 四点共面,且平面 ABEF 平面 PCD ? EF , z 所以 AB ∥ EF . ………………………5 分 (Ⅱ)取 AD 中点 G ,连接 PG, GB . 因为 PA ? PD ,所以 PG ? AD . 又因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 且平面 PAD 平面 ABCD ? AD , P F G A x E D C B y 所以 PG ? 平面 ABCD .所以 PG ? GB . 在菱形 ABCD 中,因为 AB ? AD , ?DAB ? 60? , G 是 AD 中点, 所以 AD ? GB . 如图,建立空间直角坐标系 G ? xyz .设 PA ? PD ? AD ? 2a , ·2· 则 G(0,0,0), A(a,0,0) , B(0, 3a,0), C(?2a, 3a,0), D(?a,0,0), P(0,0, 3a) . 又因为 AB ∥ EF ,点 E 是棱 PC 中点,所以点 F 是棱 PD 中点.所以 E (?a, 3a 3a , ), 2 2 a 3a 3a 3a a 3a F (? , 0, ) .所以 AF ? (? , 0, ) , EF ? ( , ? , 0) . 2 2 2 2 2 2 ? z ? 3 x, ? ? ?n ? AF ? 0, 设平面 AFE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有 ? 所以 ? 3 x. ? ?y ? ? n ? EF ? 0. 3 ? 令 x ? 3 ,则平面 AFE 的一个法向量为 n ? (3, 3,3 3) . 因为 BG ? 平面 PAD ,所以 GB ? (0, 3a,0) 是平面 PAF 的一个法向量. 因为 cos < n, GB >? n ? GB n ? GB ? 3a 13 ? , 39 ? 3a 13 13 . ……………………13 分 13 所以平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦值为 18. (本小题满分 14 分) 1 解:函数 f ( x) 定义域 x ? (0,??) , f ?( x) ? a ? . x (Ⅰ)因为 f ( x) 在区间 [1, 2] 上为增函数,所以 f ?( x) ? 0 在 x ? [1, 2] 上恒成立, 即 f ?( x) ? a ? 则a ? ? . 1 1 ? 0 , a ? ? 在 x ? [1, 2] 上恒成立, x x ………………………………………………………4 分 1 2 (Ⅱ)当 a ? ?e 时, f ( x) ? ?e x ? ln x , f ?( x) ? ?ex ? 1 . x 1 (ⅰ)令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? . e 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? (0, ) ,所以函数 f ( x) 在 (0, ) 单调递增. e e ·3· 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ( , ??) ,所以函数 f ( x

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