2.2.1椭圆及其标准方程(教师版)

2.2.1 椭圆及其标准方程
一、椭圆概念的引入
曲线在我们是生活中到处可见，其中有不少都是非常有规则的，具有一些特殊性质的 曲线，比如说圆，圆的定义是什么？ 学生回答：到一个定点的距离等于定长的点的轨迹（集合）是圆。 下面我们就来动手操作一下： 取一条定长的细绳， 把它的两端都固定在黑板的同一点 F （即定点）处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的是什么图形？ 是圆。 那如果把细绳的两端拉开一段距离，像这样固定在黑板上的 F , F2 两点处(如图 1 2.2.1)，当绳长大于 F1 和 F2 的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在黑板上慢慢移动， 画出的轨迹是什么曲线呢？ 是椭圆. 教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观 图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等??

在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：

平面内到两定点 F , F2 的距离之和等于常数(大于 | F F2 | )的点 M 的轨迹叫做 1 1 椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点(即 F , F2 )， 两焦点的距离叫做焦距 （即 | F F2 | ） ． 1 1
问：为什么这个常数要大于 | F F2 | 呢？如果没有这个限制会出现什么样的情况呢？ 1 当等于 | F F2 | ，即 | MF | ? | MF2 |?| F F2 | 时，如图可知， M 在线段 F F2 上，故点 1 1 1 1

M 的轨迹是线段 F1F2 ，当小于 | F F2 | ，即 | MF | ? | MF2 |?| F F2 | 时，这样的点 M 不存 1 1 1
在。故若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于 | F F2 | ”． 1

二、椭圆标准方程的推导
由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无 所知， 解析几何的核心思想就是用代数的方法来研究几何问题， 所以需要用坐标法先建立椭 圆的方程．那么如何建立椭圆的方程？ 师：回忆一下求曲线方程的一般步骤。 生： (1)建系设点；(2)写出动点的集合；(3)列出代数方程式；(4)化简；(5)验证并 去瑕点．

（1）建系
已知图形，建立直角坐标系的一般要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、 注意图形的特殊性和一般性关系. 学生可能会建系如下几种情况： 方案一：把 F , F2 建在 x 轴上，以 F F2 的中点为原点； 1 1 方案二：把 F , F2 建在 x 轴上，以 F1 为原点； 1 方案三：把 F , F2 建在 x 轴上，以 F2 原点；等等?? 1 经过比较确定方案一. 以两定点 F1 、 F2 所在的直线为 x 轴，线段 F1 F2 的垂直平分

线为 y 轴， 建立平面直角坐标系 （如图 1） 设 F1 F2 ? 2c ?c ? 0? ， ． 则 F1 ?? c， ， F2 ?c，? ． 0? 0

（图 1）

设 M ?x，y ? 为椭圆上的任意一点， M 与 F1 、 F2 的距离的和等于 2a ( 2a ? 2c )． 由定义得到椭圆上点 M 的集合为 P ? M MF1 ? MF2 ? 2a ．

（2）设点

?

?

（3）列式 将条件式 MF1 ? MF2 ? 2a 代数化，得

?x ? c ?2 ? y 2 ? ?x ? c ?2 ? y 2
（4）化简
先让学生各自在练习本上自行化简，教师巡视. 预测学生问题：① 若学生采用两次平方的方法化简，

? 2a

（*）

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：

?a
② b 的引入

2

? c2 ?x2 ? a2 y2 ? a2 ?a2 ? c2 ?
2 2

（* *）

由椭圆的定义可知， 2a ? 2c ,? a ? c ? 0 ， 让点 M 运动到 y 轴正半轴上（如图 2） ，由学生观察图 形 自行获得 a ， c 的几何 意义 ，进而自 然引进 b ， 此时

y M b F1 0 a c F 2 x

b ? a ? c ，于是得 b x ? a y ? a b ， 2 2 两边同时除以 a b ，得椭圆的标准方程为: x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? ． a 2 b2
2 2 2

2

2

2

2

2

2

③ 说明 ⅰ .椭圆的标准方程既简洁整齐，又对称和谐；
2

图2
2 2

ⅱ .上述方程表示焦点在 x 轴上，中心在坐标原点的椭圆，其中 c ? a ? b ； ⅲ 如 果 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 ， 并 且 焦 点 为 F1 (0,?c), F2 (0, c) , 则 椭 圆 方 程 为 .

y2 x2 x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? ，这也是椭圆的标准方程，它可以看成将方程 2 ? 2 ? 1 中的 a2 b a b x, y 对换而得到的；
ⅳ .对于给定的椭圆的标准方程，要判断焦点在哪个轴上，只需比较与 x 与 y 2 项分母 的大小即可．若 x 项分母大，则焦点在 x 轴上；若 y 2 项分母大，则焦点在 y 轴上．
2 2 足c ? a ?b . 2 2 2

ⅴ.对椭圆的两种标准方程，都有 ?a ? b ? 0? ，焦点都在长轴上，且 a、b、c 始终满

小结如下表：

标准方程

x 2 y2 + =1 ( a ? b ? 0) a 2 b2
y M

y2 x 2 + =1 ( a ? b ? 0) a2 b 2
y

F2 F2
x M O x

图形

F1

O

F1

a,b,c 关系 焦点坐标 焦点位置

b2 ? a2 ? c2 (?c,0)
在 x 轴上

b2 ? a2 ? c2 (0,?c)
在 y 轴上

三、实例演练 例 1 求下列椭圆的焦点坐标以及椭圆上每一点到两焦点距离的和.

x2 y2 x2 y 2 1). ? ?1 2). ? ?1 3).4x2 ? 7 y2 ? 28 25 9 16 36 答案： 1). 焦点坐标 (?4, 0), (4, 0) ， 2a ? 10 ；
2). 焦点坐标 (0, ?2 5), (0, 2 5) ， 2a ? 12 ；
3). 焦点坐标 (? 3, 0), ( 3, 0) ， 2a ? 2 7 .
【变式 1】 若方程 ___________. 答案： (?16, ) 例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是 25 ? m 16 ? m

9 2

（1）两个焦点的坐标分别是 (0, ?4), (0, 4) ，椭圆上一点 P 到两焦点距离的和 等于 10； ?5 3? （2）已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0 ? ， ? 2,0? ，并且经过点 ? , ? ? . ?2 2? 2 2 x y ? ?1 答案： （1） 9 25
（2）思路 1：定义法

? 椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ， a 2 b2 5 3 5 3 由椭圆定义知： 2a ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? ( ? 2)2 ? (? )2 ? 2 10,? a ? 10. 2 2 2 2 2 2 2 又 c ? 2,?b ? a ? c ? 6 ，

? 椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1． 10 6
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ， a 2 b2

思路 2：待定系数法

? 椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为

? a 2 ? b 2 ? 22 ? ? 2 x2 y 2 ? ?a ? 10 ? ? 1． 则 ? ( 5 ) 2 (? 3 ) 2 ，? 椭圆的标准方程为 ?? 2 10 6 ?b ? 6 ? 2 ? 2 ?1 ? ? a2 b2 ? 【 变 式 2】 过 点 ( 2,? 3)且 与 椭圆 9x2 ? 4 y2 ? 36 有 共 同 的 焦点 的 椭 圆的 标 准 方 程为
_____________ 答案：

x2 y 2 ? ?1 10 15

例 3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为 2，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作 垂线段 PP ，求线段 PP 中点 M 的轨迹。 1 1 解析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程的 基本步骤是：建系，列式，化简，去瑕点. 基本思路：相关点法 O y P M

x2 ? y 2 ? 1. 答案： 4

P1

x

【变式 3】已知 B , C 是两个定点， | BC |? 6 ，且△ ABC 的周长等于 16，求顶点 A 的轨迹方 程． 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程的基本步骤是：建系，列式，化 简，去瑕点. 由△ ABC 的周长等于 16，|BC|＝6 可知，点 A 到 B , C 两点的距离的和是常数，即|AB| ＋|AC|=16－6=10，因此，点 A 的轨迹是以 B , C 为焦点的椭圆 解：以 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴建系如图，则 B(?3, 0), C (3, 0) ， 且 | AB | ? | AC |? 16 ? 6 ? 10 ?| BC | ， 故 点 A 的 轨 迹 是 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ， 且

2a ? 10, 2c ? 6,? a ? 5 ， c ? 3 ，? b2 ? a 2 ? c 2 ? 16.

x2 y2 ? ?1 故椭圆方程为 25 16 而 A, B, C 要构成三角形，则点 A 不在 x 轴上，所以 y ? 0,

? 顶点 A 的轨迹方程为
四、作业

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0). 25 16

x2 y2 ? ? 1 的 a ? ___, b ? ___, c ? ___, 焦点坐标是 1.椭圆 16 9
2.动点 P 到两个定点 F (?4,0), F2 (4,0) 的距离之和为 8,则 P 点的轨迹为 1 (

. ）

A．椭圆

B.线段 F , F2 1

C.直线 F , F2 1

D.不能确定

3.椭圆

x2 y2 ? ? 1上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6，则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 100 36

________. 4.已知 F , F2 是椭圆 1 的周长为 .

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点， F1 的直线交椭圆于 M , N 两点， ? MNF2 过 则 25 9

5.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在 y 轴上， a ? 4, b ? 1 ；

（2）焦点在 x 轴上，焦距等于 4，并且经过点 P (3, ?2 6) ；

(2) a ? b ? 10, c ? 2 5

6.方程 x2 ? ky2 ? 2 表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是___________.

7. 在平面直角坐标系中，已知 ΔABC 中 B(?3, 0), C (3, 0) ,且三边|AC|, |BC| , |AB|长依次 成等差数列，求顶点 A 的轨迹方程.

作业题答案： 1. a ? 4, b ? 3, c ? 7, 焦点坐标( 7, 0), (? 7, 0)
2. B 3. 14 4. 20
2 5.（1） x ?

y2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? 1 ；（2） ? ? 1 ；（3） ? ? 1或 ? ?1. 16 36 32 36 16 16 36

6. (0,1)

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 7. 36 27