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常考问题15 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题

时间:2014-05-09


常考问题 15 与圆锥曲线有关的定点、 定值、 最 值、范围问题

(建议用时:50 分钟) x2 y2 1.(2013· 济南模拟)若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)与直线 y= 3x 无交点,则离心 率 e 的取值范围是 A.(1,2) C.(1, 5) B.(1,2] D.(1, 5] ( ).

b 解析 因为双曲线的渐近线为 y=± ax,要使直线 y= 3x 与双曲线无交点, b 则直线 y= 3x 应在两渐近线之间,所以有a≤ 3,即 b≤ 3a,所以 b2≤3a2, c2-a2≤3a2,即 c2≤4a2,e2≤4,所以 1<e≤2. 答案 B 2.直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y2=x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的 1 中点到直线 x+2=0 的距离等于 7 A.4 B.2 9 C.4 D.4 ( ).

? 1? 解析 直线 4kx-4y-k=0,即 y=k?x-4?,即直线 4kx-4y-k=0 过抛物线 ? ? 1 ?1 ? y2=x 的焦点?4,0?.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+2=4,故 x1+x2 ? ? 7 7 1 7 1 =2,则弦 AB 的中点横坐标是4,弦 AB 的中点到直线 x+2=0 的距离是4+2 9 =4. 答案 C

3.已知抛物线 y2=4x,圆 F:(x-1)2+y2=1,过点 F 作直线 l, 自上而下顺次与上述两曲线交于点 A, B, C, D(如图所示), 则|AB|· |CD|的值正确的是 A.等于 1 B.最小值是 1 C.等于 4 D.最大值是 4 解析 设直线 l:x=ty+1,代入抛物线方程, 得 y2-4ty-4=0. 设 A(x1,y1),D(x2,y2), 根据抛物线定义|AF|=x1+1,|DF|=x2+1, 故|AB|=x1,|CD|=x2, 2 2 y y ( ) y2 y 1 2 1 2 所以|AB|· |CD|=x1x2= 4 · 4 = 16 , 而 y1y2=-4,代入上式, 得|AB|· |CD|=1.故选 A. 答案 A x2 y2 4.已知椭圆 4 +b2=1(0<b<2)与 y 轴交于 A,B 两点,点 F 为该椭圆的一个焦点, 则△ABF 面积的最大值为 A.1 B.2 C.4 D.8 ( ). ( ).

1 解析 不妨设点 F 的坐标为( 4-b2, 0), 而|AB|=2b, ∴S△ABF=2×2b× 4-b2 b2+4-b2 =b 4-b = b (4-b )≤ =2(当且仅当 b2=4-b2,即 b2=2 时 2
2 2 2

取等号),故△ABF 面积的最大值为 2. 答案 B 5. 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线分别交于 A, |AF| B 两点,则|BF|的值等于 A.5 B.4 C.3 D.2 ( ).

解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1>x2,易知直线 AB 的方程为 y= 3x- 3 5 p2 3 2 2 p,代入抛物线方程 y =2px,可得 x1+x2=3p,x1x2= 4 ,可得 x1=2p, 3p p 2 +2 p |AF| x2=6,可得|BF|= p= p p =3. x2+2 6+2 答案 C x2 y2 6. 抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F, 其准线与双曲线 3 - 3 =1 相交于 A, B 两点, 若△ABF 为等边三角形,则 p=________. p? x2 y2 ?p ,- 解析 由题意知 B? ,代入方程 3 - 3 =1 得 p=6. 2? ? 3 ? 答案 6 x2 y2 7.(2013· 镇江模拟)已知点 F 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该 双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若 △ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是________. 解析 由题意知,△ABE 为等腰三角形.若△ABE 是锐角三角形,则只需要 π ∠AEB 为锐角.根据对称性,只要∠AEF< 4 即可.直线 AB 的方程为 x=-c, b2? b4 b2 ? 代入双曲线方程得 y2=a2,取点 A?-c, a ?,则|AF|= a ,|EF|=a+c,只要 ? ? π b2 |AF|<|EF|就能使∠AEF< 4 ,即 a <a+c,即 b2<a2+ac,即 c2-ac-2a2<0,即 e2-e-2<0,即-1<e<2.又 e>1,故 1<e<2. 答案 (1,2) x2 2 → ·PO → 8.设 F1 是椭圆 4 +y =1 的左焦点,O 为坐标原点,点 P 在椭圆上,则PF 1 的最大值为________. 解析 → ·PO → =x2+y2+ 3x = 设 P(x0,y0),依题意可得 F1(- 3,0),则PF 1 0 0 0 3x2 3? 2 3?2 0 ? . 3x0= 4 + 3x0+1=4?x0+ 3 ? ? p x1+2

x2 0 2 x0+1- + 4

→ ·PO → 取得最大值 4+2 3. 又-2≤x0≤2,所以当 x0=2 时,PF 1

答案

4+2 3.

x2 9.(2013· 北京卷)已知 A,B,C 是椭圆 W: 4 +y2=1 上的三个点,O 是坐标原 点. (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时, 判断四边形 OABC 是否可能为菱形, 并说明理由. x2 2 解 (1)由椭圆 W: 4 +y =1,知 B(2,0). 因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分,所以可设 A(1,t), x2 3 代入 4 +y2=1,得 t=± 2 . ∴|AC|=2|t|= 3. 1 1 因此菱形的面积 S=2|OB|·|AC|=2×2× 3= 3. (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y=kx +m(k≠0,m≠0).
2 2 ?x +4y =4, 由? ?y=kx+m

消 y 并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2 y1+y2 x1+x2 4km m 2 =-1+4k2, 2 =k· 2 +m=1+4k2, 4km m ? ? ∴线段 AC 中点 M?-1+4k2,1+4k2?. ? ? 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,∴kOB=-4k. 1 ? 1? ?-4k?=- ≠-1,∴AC 与 OB 不垂直. 又 k· 4 ? ? 故四边形 OABC 不是菱形,这与假设矛盾. 所以,当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形.

10.(2013· 浙江卷)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0),焦点为 F(0,1). (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 F 作直线交抛物线 C 于 A,B 两点.若 直线 AO,BO 分别交直线 l:y=x-2 于 M,N 两点,求|MN|的最小值. 解 (1) 由题意可设抛物线 C 的方程为 x2 =

p 2py(p>0),则2=1,所以抛物线 C 的方程为 x2 =4y. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=kx+1. ?y=kx+1, 由? 2 消去 y,整理得 x2-4kx-4=0, ?x =4y 所以 x1+x2=4k,x1x2=-4. 从而|x1-x2|=4 k2+1. y1 又 y=x x,且 y=x-2,
1

解得点 M 的横坐标 xM=

2x1 2x1 8 = . 2= x x1-y1 1 4-x1 x1- 4

同理点 N 的横坐标 xN= 所以|MN|= 2|xM-xN| 8 ? ? 8 = 2?4-x -4-x ? ? 1 2?

8 . 4-x2

x1-x2 ? ? ? =8 2? x x - 4 ( x + x )+ 16 ? 1 2 1 2 ? 8 2 k2+1 = , |4k-3| t+3 令 4k-3=t,t≠0,则 k= 4 . 当 t>0 时,|MN|=2 2 当 t<0 时,|MN|=2 2 25 6 t2 + t +1>2 2. ?5 3?2 16 8 ? t +5? + ≥ ? ? 25 5 2.

25 4 综上所述,当 t=- 3 ,即 k=-3时, 8 |MN|取到最小值5 2.

11.(2013· 郑州模拟)已知椭圆的焦点坐标为 F1(-1,0),F2(1,0),过 F2 垂直于 长轴的直线交椭圆于 P,Q 两点,且|PQ|=3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M, N, 则△F1MN 的内切圆的面积是 否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请 说明理由. x2 y2 解 (1)设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0), 2b2 由焦点坐标可得 c=1.由|PQ|=3,可得 a =3. 又 a2-b2=1,得 a=2,b= 3. x2 y2 故椭圆方程为 4 + 3 =1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2), 不妨令 y1>0,y2<0, 设△F1MN 的内切圆的半径 R, 1 则△F1MN 的周长为 4a=8,S△F1MN=2(|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R, 因此要使△F1MN 内切圆的面积最大,则 R 最大,此时 S△F1MN 也最大. 1 S△F1MN=2|F1F2||y1-y2|=y1-y2, 由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1, x=my+1, ? ? 由?x2 y2 得(3m2+4)y2+6my-9=0, + =1, ? ?4 3 得 y1= -3m+6 m2+1 -3m-6 m2+1 , y = , 2 3m2+4 3m2+4

12 m2+1 则 S△F1MN=y1-y2= , 3m2+4 令 t= m2+1,则 t≥1,

12 m2+1 12t 12 则 S△F1MN= = 2 = 2 1. 3m +4 3t +1 3t+ t 1 1 令 f(t)=3t+ t ,则 f′(t)=3-t2, 当 t≥1 时,f′(t)>0, 所以 f(t)在[1,+∞)上单调递增, 12 有 f(t)≥f(1)=4,S△F1MN≤ 4 =3, 当 t=1,m=0 时,S△F1MN=3,又 S△F1MN=4R, 3 ∴Rmax=4. 9 这时所求内切圆面积的最大值为16π . 9 故△F1MN 内切圆面积的最大值为16π ,且此时直线 l 的方程为 x=1.


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