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数列求和练习题

时间:2017-05-05


数列求和练习题
1.已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ,若 an ? A.90 B.121 C.119

1 n ? n ?1

, Sn ? 10 ,则 n ? ()

D.120

2.已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? () (A)

17 19 (B) (C) 10 (D) 12 2 2

3.数列 ?an ? 中, a1 A.720 B.765

? ?60, an?1 ? an ? 3 ,则此数列前 30 项的绝对值的和为 ( )
C.600 D.630

4.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? A.

1 ,则 S6 等于 n(n ? 1)

1 4 5 6 B. C. D. 42 5 6 7
)

5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2·a4=1,S3=7,则 S5=(

1 31 17 15 A. B. C. D. 2 4 2 2
6.设 A. B. C. D. 13 35 49 63 是等差数列 的前 项和,已知 ,则 等于 ( )

7.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 11, S12 ? 186, 则a8 = () A.18 B.20 C.21 D.22

8.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 6, a3 ? 0 ,则公差 d 等于() (A) ?1 (B) 1 (C) ?2 (D) 2 9.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11, a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时, n 等于() A.6 B.7 C.8 D.9

10.在等差数列

{an } 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项的和 S11 等于

A.58B.88C.143D.176 11.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? 21? ? ? (?1) n?1 (4n ? 3) ,则 S15 ? S 22 ? S 31 的值是() A.-76B.76C.46D.13 12.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1+a2+a3+a4=1,a5+a6+a7+a8=2,Sn=15,则项数 n 为( A.12 B.14C.15 D.16 13.等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则 ?an ? 的前 9 项和为( A.297 B.144 C.99
1

)

)

D.66

一、解答题(题型注释)
2 * 14.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n , n ? N .

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 是等比数列,公比为 q ? q ? 0? 且 b1 ? S1 , b4 ? a2 ? a3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 15.已知等差数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 9 , a1 , a3 , a7 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 的公差不为 0 ,数列 ?bn ?满足 bn ? (an ?1)2 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn .
n

16.设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn = 2n+ 1 - 2 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

1 . (n ? 1) log 2 an

17.已知数列 {an } 的各项均为正数, S n 是数列 {an } 的前 n 项和,且 4S n ? an ? 2an ? 3 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知bn ? 2n , 求Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ?a n bn 的值. 18.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 n ,数列 {bn } 满足 b1 ? ?1, bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ? n ? 1 ,2 ,3 ,?? . (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)求数列 {bn } 的通项 bn ; (3)若 cn ?

2

an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n
2

19.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 2 S n ? n ? n . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?

1 ? 2an ? 1, (n ? N *) 求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . an an?1

20.已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? 2 ? an ,数列{bn}满足 b1=1,b3+b7=18,且 bn?1 ? bn?1 ? 2bn (n≥2).(1)求数 列{an}和{bn}的通项公式; (2)若 c n ?

bn ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. an
2

21.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,数列 {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列, a 2 是 a1 和 a 3 的等比中项. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求数列 nan 的前 n 项和 Tn . 22.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 an ?1 ? an ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n 二、填空题 23 . 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 若 a1 ? 1 , a3 ? 4 , 则 a2 ? ________; 此 数 列 的 其 前 n 项 和

? ?

1 (n ? N ? ) n 2

Sn ? __________.
24.已知等差数列 ?an ?中, a 2 ? 5 , a4 ? 11 ,则前 10 项和 S10 ? . 25.设等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S4 ? 8, S8 ? 12, 则 a13 ? a14 ? a15 ? a16 的值为. 26.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且
S S3 1 ? ,则 9 ? . S12 S6 3

27.等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a2 ? a9 ? . 28.[2014·北京海淀模拟]在等比数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,已知 a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比 q =________. 29.在等差数列 {an } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {an } 的前 5 项和 S5 =. 30.已知等差数列 ?an ? 中,已知 a8 ? 6, a11 ? 0 ,则 S18 =________________. 31.已知等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 2 a 8 ? 2a 3 a 6 , S 5 ? ?62 ,则 a1 的值是. 32. (2013?重庆) 已知{an}是等差数列, a1=1, 公差 d≠0, Sn 为其前 n 项和, 若 a1, a2, a5 成等比数列, 则 S8= 33.数列 {an } 的通项公式 a n ?
_________



1 n ?1 ? n

,它的前 n 项和为 Sn ? 9 ,则 n ? _________.

34.[2014·浙江调研]设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,已知 a1=1,an=-Sn·Sn-1(n≥2),则 Sn=________.

参考答案 1.D
3

【解析】? an ?

1 n ? n ?1

? n ?1 ? n ,

?Sn ? ( 2 ?1) ? 3 ? 2 ? ...?
n ? 1 ? 1 ? 10,解得 n ? 120 .

?

?

?

n ? 1 ? n ? n ? 1 ?1 ,

?

【命题意图】本题考查利用裂项抵消法求数列的前 n 项和等知识,意在考查学生的简单思维能力与基本运算能力. 2.B 【解析】 试题分析: ∵公差 d ? 1 , ∴ 8a1 ? S8 ? 4S4 , 故选 B. 考点:等差数列通项公式及前 n 项和公式 3.B 【解析】 试题分析:因为 an?1 ? an ? 3 ,所以 an?1 ? an ? 3 。所以数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ?60 公差为 3 的等差数列。则 令 an ? 3n ? 所以数列前 20 项为负第 21 项为 0 从弟 22 项起为正。 6 3 0? 得 n ? 21 。 an ? ?60 ? 3? n ?1? ? 3n ? 63 , 数 列 ?an ? 前 n 项 和 为 Sn ? n ? ? ?60? ?

1 1 1 1 1 9 ? 8 ? 7 ? 4(4a1 ? ? 4 ? 3) , ?9 ? , 解得 a1 = , ∴a 0 1 ? 1 a ? 9d ? 2 2 2 2 2

n ? n ? 1? 3n2 ? 123 n ? 3? 。 则 a1 ? a2 ?? ? a2 0 ? a 2 1 ? a 2 1 ? ? ? a 30 2 2

? ?? a1 ? a2 ? ? ?a2 0? ?a 2 1 ? ? ?a 3 0
? 3 ? 302 ? 123 ? 30 3 ? 202 ? 123 ? 20 ? 2? ? 765 。故 B 正确。 2 2

? ?S2 0 ?? S 3 0 ? S 2 0 2S ? ? S 30?

20

考点:1 等差数列的定义;2 等差数列的通项公式、前 n 项和公式。 4.D 【解析】 试题分析:因为 an ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 ? ? .所以 S6 ? 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? 1 ? ? . 2 2 3 6 7 7 7 n(n ? 1) n n ? 1

考点:1.数列的通项的裂项.2.数列的求和. 5.B 【解析】依题意知, a12 q =1,又 a1>0,q>0,则 a1=
4

1 1 1 2 .又 S3=a1(1+q+q )=7,于是有( +3)( -2)=0,因 2 q q q

1? ? 4 ? ?1 ? 5 ? 1 ? 2 ? = 31 ,选 B. 此有 q= ,所以 S5= 1 2 4 1? 2
6.C 【解析】在等差数列中,
4

,选 C.

7.B 【解析】 试题分析: S
12

?

12(11 ? a8 ) 12(a1 ? a12 ) 12(a5 ? a8 ) ? ,即 186 ? ,解得 a8 ? 20 . 2 2 2

考点:1.等差数列的通项,和式;2.等差数列性质(下标关系). 8.C 【解析】 试 题 分 析 : ∵ a3 ? 0 , 即 a1 ? 2d ? 0 , ∴ a1 ? ?2d , ∴ S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a10 ?= d?

2a1 ? d ? ?4d ? d ? ?3d ? 6 ,∴ d ? ?2 .
考点:等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 9.A 【解析】 试题分析:设公差为 d ,则 a4 ? a6 ? ? a1 ?3 d? ?? a ,解得 d ? 2 。 (法一)所以 5d 11 6 ? ?2 ? ? ? ? ?8d ? ? 1 ?

an ? ?11 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ?13 。令 an ? 2n ?13 ? 0 得 n ? 6.5 。所以数列前 6 项为负,从第 7 项起为正。所以数
列前 6 项和最小; (法二) Sn ? n ? ? ?11? ?

n ? ? n ? 1? 2 ? 2 ? n2 ? 12n ? ? n ? 6 ? ? 36 ,所以当 n ? 6 时 Sn 取得最小 2

值。故 A 正确。 考点:1 等差数列的通项公式;2 等差数列的前 n 项和公式。 10.B 【解析】 试题分析:根据等差数列的性质, a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16

? S11 ?

11? ? a1 ? a11 ? 11?16 ? ? 88 ,故选 B. 2 2

考点:1、等差数列的性质;2、等差数列的前 n 项和. 11.A 【解析】

n ?1 ? 1? 4? ? ? 2 试题分析: ( 并 项 求 和 法 ) 由 已 知 可 知 : Sn ? ? ?(?4) ? n ? 2 ?
S31 ? 1 ? 4 ?

n为奇数
, 所 以 S15 ? 1 ? 4 ?

n为偶数

15 ? 1 ? 29 , 2

31 ? 1 22 ? 61 , S 22 ? ( ?4) ? ? ?44 ,因此 S15 ? S22 ? S31 ? 29 ? 44 ? 61 ? ?76 ,答案选 A. 2 2

考点:并项求和 12.D 【解析】

a5 ? a6 ? a7 ? a8 4 =q =2, a1 ? a2 ? a3 ? a4

由 a1+a2+a3+a4=1, 2 3 得 a1(1+q+q +q )=1,
5

即 a1·

1 ? q4 =1,∴a1=q-1, 1? q
a1 ?1 ? q n ? 1? q
=15,

又 Sn=15,即
n

∴q =16, 4 又∵q =2, ∴n=16.故选 D. 13.C 【解析】 试题分析:∵ am ? an ? ap ? aq , ? m ? n ? p ? q ? ∴

? a1 ? a4 +a7 ? ? ? a3 ? a6 +a9 ? ? 2 ? a2 ? a5 +a8 ? ? 66
S9 ? a1 ? a4 +a7 ? a2 ? a5 +a8 ? a3 ? a6 +a9 ? 3? a2 ? a5 +a8 ? ? 99 .
考点:等差数列的运算性质. 14. (1) an ? 2n ? 1(2) Tn ? 【解析】 试题分析: (1)由 Sn 求数列通项时利用 an ? ? 公比 q ,得到前 n 项和 Tn 试题解析: (1)因为数列 所以当 又当 时, 时, ,满足上式, ,又 ,所以 . 的前 项和 , ,

,

3 3 ? 2 ? 1? 2
S1 ? n ? 1? 求解; (2)借助于数列 ?an ? 可求解 b1 , b4 ,从而得到 ? ? Sn ? Sn ?1 ? n ? 2 ? ? ?

(2)由(1)可知

又数列

是公比为正数等比数列,所以

,又

,所以

所以数列

的前 项和

考点:数列求通项公式及等比数列求和 15. (1) an ? n ? 1 ; (2) Tn ? (n ?1) ? 2 【解析】
6
n?1

?2.

试题分析: (1)由题意可知,利用 S3 ? 9 , a1 , a3 , a7 成等比数列,从而可求出数列 ?an ?的通项公式,数列 ?bn ?的通 项公式可通过联立方程组求解; (2)可利用错位相减法对前 n 项和进行处理进而求解. 试题解析: (1) a3 ? a1a7 ,即 (a1 ? 2d )2 ? a1 (a1 ? 6d ) ,化简得 d ?
2

1 a1 或 d ? 0 . 2

当d ?

1 2?3 1 9 a1 时, S3 ? 3a1 ? ? a1 ? a1 ? 9 ,得 a1 ? 2 或 d ? 1 , 2 2 2 2

∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? (n ?1) ? n ? 1,即 an ? n ? 1 ; 当 d ? 0 时,由 S3 ? 9 ,得 a1 ? 3 ,即有 an ? 3 . (2)由题意可知 bn ? n ? 2 ,
n

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 ①
2 n

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ②,
①-②得: ? Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? n ? 2
2 3 n n?1

? ?(n ?1) ? 2n?1 ? 2 ,

∴ Tn ? (n ?1) ? 2

n?1

?2.
n . n ?1

考点:1.等差数列的综合;2.等比数列的综合;3.错位相减法的运用. 16. (1) an ? 2n ; (2) Tn ? 【解析】 试题分析:本题主要考查由 Sn 求 an 、对数的运算、裂项相消法、等差数列的前 n 项和公式等基础知识,考查学生 的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问,由 Sn 求 an 需要分 2 步: an ? ?

?

S1 , n ? 1

? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

,在解

题的最后需要验证 2 步是否可以合并成一个式子;第二问,先利用对数式的运算化简 bn 的表达式,根据表达式的特 点,利用裂项相消法求数列 {bn } 的前 n 项和. 试题解析: (1) n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ,2 分

Sn ? 2n?1 ? 2 ,∴ Sn?1 ? 2n ? 2 (n ? 2)
∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 2n (n ? 2) , ∴数列 ?an ? 的通项公式为: an ? 2n .6 分 (2) bn ?

1 1 1 1 ? ? ? 9分 n n(n ? 1) n n ? 1 (n ? 1) log 2 2
1 1 1 1 1 1 n ? ? ?? ? ? 1? ? .12 分 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1
7

Tn ? 1 ?

考点:由 Sn 求 an 、对数的运算、裂项相消法、等差数列的前 n 项和公式. 17. (1) an ? 2n ? 1. (2) Tn ? (2n ?1)2n?1 ? 2 。 【解析】 试题分析: (1)令 n = 1,解出 a1 = 3, (a1 = 0 舍) , 2 由 4Sn = an + 2an-3 ①
2 及当 n ? 2 时 4sn-1 = a n ?1 + 2an-1-3



2 2 ①-②得到 an ? an ?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 0 ,

确定得到 {an } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列. (2)利用“错位相减法”求和. 试题解析: (1)当 n = 1 时, a1 ? s1 ? a12 ? a1 ? , 解出 a1 = 3, (a1 = 0 舍)1 分 又 4Sn = an2 + 2an-3 ① ②

1 4

1 2

3 4

2 当 n ? 2 时 4sn-1 = a n ?1 + 2an-1-3

2 2 2 2 ? an ①-② 4an ? an ?1 ? 2(an ? an ?1 ) , 即 an ? an?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 0 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ,

4分

, ? an ? an?1 ? 0 ? an ? an?1 ? 2 ( n ? 2 )

? 数列 {an } 是以 3 为首项,2 为公差的等差数列, ? an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1.6 分
(2) Tn ? 3 ? 21 ? 5 ? 22 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ③ 又 2Tn ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? (2n ? 1) ? 2n ? (2n ? 1)2n?1 ④ ④-③ Tn ? ?3 ? 21 ? 2(2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ) ? (2n ? 1)2 n?1

? ?6 ? 8 ? 2 ? 2 n?1 ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ? (2n ? 1)2 n?1 ? 2 12 分
考点:等差数列及其求和,等比数列的求和, “错位相减法”. 18. (1) an ? ? 【解析】 试题分析: (1)利用数列的前 n 项和 Sn 与第 n 项 an 的关系 an = ?
8

?2 (n ? 1), ?2
n ?1

(n ? 2).

(2) bn ? n2 ? 2n (3) Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n

? S1 ? Sn ? Sn?1

n ?1 n?2

求解.

(2)由 bn?1 ? bn ? ? 2n ?1? ? bn?1 ? bn ? 2n ? 1 又 bn ? b1 ? ?b2 ? b1 ? ? ?b3 ? b2 ? ? ?b4 ? b3 ? ? ?? ?bn ? bn?1 ? 可转化为等差数列前 n 项和问题. (3)由(1) (2)可得 cn ? ?

??2 ( n ? 1), ?(n ? 2) ? 2
n ?1

( n ? 2).

所以, Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 根据和式的特点可考虑用错位相减法解决. 试题解析: (1)∵ S n ? 2 n , ∴ S n?1 ? 2 n?1 , (n ? 2) .2 分 ∴ an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 (n ? 2) .3 分 当 n ? 1 时, 21?1 ? 1 ? S1 ? a1 ? 2 , ∴ an ? ?

?2 (n ? 1),
n ?1 ?2 (n ? 2).

4分

(2)∵ bn?1 ? bn ? (2n ? 1) ∴ b2 ? b1 ? 1 ,

b3 ? b2 ? 3, b4 ? b3 ? 5,

bn ? bn?1 ? 2n ? 3 ,
以上各式相加得:

bn ? b1 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? 2n ? 3? ?

? n ? 1??1 ? 2n ? 3? ?
2

? n ? 1?

2

? b1 ? ?1

?bn ? n2 ? 2n 9 分
(3)由题意得 cn ? ?

??2 (n ? 1), ?(n ? 2) ? 2
n ?1

(n ? 2).

∴ Tn ? ?2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 2 ? 2 ? 23 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n?1 , ∴ 2Tn ? ?4 ? 0 ? 2 2 ? 1? 23 ? 2 ? 2 4 ? ? ? ? ? (n ? 2) ? 2 n ,
9

∴ ? Tn ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? ? ? 2 n?1 ? (n ? 2) ? 2 n

?

2(1 ? 2 n ?1 ) ? (n ? 2) ? 2 n 1? 2

= 2 n ? 2 ? (n ? 2) ? 2 n ? ?2 ? (n ? 3) ? 2 n , ∴ Tn ? 2 ? (n ? 3) ? 2 n .12 分 考点:1、数列前 n 项和 Sn 与第 n 项 an 的关系;2、等差数列前 n 项和;3、错位相减法求数列前 n 项和. 19.(1) an ? n ;(2) n 【解析】 试题分析: (1)由 2 S n ? n ? n 得 n ? 2时2S n?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) 两式相减得 an ? n ;
2 2

2

+ 1-

1 . n+ 1

(2)根据 b n =

1 1 1 + 2an - 1 = ( ) + (2n - 1) ,再利用分组求和即可求出结果. an an+ 1 n n+ 1
2 2

试题解析:解: (1)由 2 S n ? n ? n . n ? 2时2S n?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) 2 分 ∴ 2an ? 2S n ? 2S n?1 ? 2n ? an ? n ( n ? 2 )4 分 又 n ? 1 时, a1 ? 1 适合上式。? an ? n 6 分

(2) ?b n ?

1 1 1 1 ? 2an ? 1 ? ? 2n ? 1 ? ( ? ) ? (2n ? 1) 8 分 an an?1 n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? 3 ? ? ? 2n ? 1) 10 分 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 ? 1? ? n2 ? n2 ?1? 12 分 n ?1 n ?1
考点:1.通项公式和前 n 项和的关系;2.数列求和. 20. (1) a n ? 【解析】 试题分析: (1)由 Sn ? 2 ? an 及 Sn?1 ? 2 ? an?1 进行相减求得 an 与 an ?1 的关系,由等比数列定义可得数列{ an }的 通项公式, 又由 bn?1 ? bn?1 ? 2bn 可知数列{bn}是等差数列, 进而可求得其通项公式; (2) 易得 cn ? 其通项为等差乘等比型,可用错位相乘法求其前 n 项和 Tn. 试题解析: (1)由题意知 Sn ? 2 ? an ①,当 n≥2 时, Sn?1 ? 2 ? an?1 ②,①-②得 an ? Sn ? Sn?1 ? an?1 ? an ,即

1 2 n ?1

,bn ? 2n ? 1 , (2) Tn ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 .

bn ? (2n ? 1) ? 2 n?1 , an

an ?

1 1 1 a n ?1 ,又 a1 ? S1 ? 2 ? a1 ,∴ a1 ? 1 ,故数列{an}是以 1 为首项, 为公比的等比数列,所以 a n ? n ?1 , 2 2 2
10

由 bn?1 ? bn?1 ? 2bn ( n ≥ 2 ) 知 , 数 列 {bn} 是 等 差 数 列 , 设 其 公 差 为 d , 则 b5 ?

1 (b3 ? b7 ) ? 9 , 故 2

d?

b5 ? b1 1 ? 2,bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ,综上,数列{an}和{bn}的通项公式分别为 a n ? n ?1 ,bn ? 2n ? 1 . 4 2

(2)∵ cn ?

bn ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ,∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 1? 20 ? 3 ? 21 ? 5 ? 2 2 ? ? ? (2n ? 1) ? 2 n?1 ③ an

2Tn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ? 1) ? 2n ④
③-④得 ? Tn ? 1 ? 2(21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2n , 即 ? Tn ? 1 ? 2(2 n ? 2) ? (2n ? 1)2 n ? ?(2n ? 3)2 n ? 3 , ∴ Tn ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 考点: an 与 Sn 的关系: an ? ?

?

S1 , n ? 1

? Sn ? Sn ?1 , n ? 2

,等差与等比数列的定义和通项公式,数列求和方法:错位相减法.

21. (1) a n ? 2 n ?1 ;(2) Tn ? (n ? 1)2 n ? 1 . 【解析】 试题分析: (1)先根据等比数列公式求出 S n 与 n 的关系式,然后利用 S n 与 an 的递推关系求出 a1 ,从而再求出 an . (2)根据数列通项公式的特点用错位相减法求数列前 n 项和. 试题解析: (1)解:∵ {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列, ∴ S n ? 1 ? ( S1 ? 1) ? 2 ∴ S n ? (a1 ? 1) ? 2
n ?1

n ?1

? (a1 ? 1) ? 2 n ?1 .

1分

? 1.

从而 a 2 ? S 2 ? S1 ? a1 ? 1 , a3 ? S 3 ? S 2 ? 2a1 ? 2 . 3 分 ∵ a 2 是 a1 和 a 3 的等比中项 ∴ (a1 ? 1) 2 ? a1 ? (2a1 ? 2) ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?1 . 4分

当 a1 ? ?1 时, S1 ? 1 ? 0 , {S n ? 1} 不是等比数列, 5 分 ∴ a1 ? 1 . ∴ Sn ? 2 ? 1.
n n ?1 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2 . n ?1 ∵ a1 ? 1 符合 a n ? 2 ,

6分 7分

11

∴ a n ? 2 n ?1 . (2)解:∵ na n ? n ? 2 n ?1 ,

8分

∴ Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1 . ① 9 分

2Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n .② 10 分
① ? ②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ?1 ? n ? 2 n 11 分

?

1 ? 2n ? n ? 2 n 12 分 1? 2
13 分 14 分

? (1 ? n) ? 2 n ? 1 .
∴ Tn ? (n ? 1)2 n ? 1 .

考点:1、 S n 与 an 的递推关系的应用,2、错位相减法求数列前 n 项和.

1 ) 2n n?2 2 (2) ? n ? n ? 4 ? 2n ?1
22. (1) ? 2(1 ? 【解析】

1 ? a ? a ? n n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 1 1 ?an ?1 ? an ? 2 ? 1 n ? 2 解、 ( 1 )当 时, ? 2 n ? 2 ? an ? a1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? 试题分析: ? ??? ? 1 ? a2 ? a1 ? 2 ?
1 1? n 1 1 1 2 ? 2(1 ? 1 ) , an ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ? 1 2n 2 2 2 1? 2 1 当 n ? 1 时, an ? 2(1 ? ) ? 1 ,成立, 2 1 ? 所以通项 a n ? 2(1 ? n ) (n ? N ) 5 分 2 n (2) bn ? nan ? 2 n ? n ?1 ,则 2 1 2 3 n Sn ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? 2(1 ? 2 ? ? ? ? ? n) ? ( 0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) 2 2 2 2 1 2 3 n 令 An ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ?, 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n 则 An ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n .?, 2 2 2 2 2 2
12

1 1? n 1 1 1 1 1 n 2 - n ? 2? n?2 ? ? ?得 An ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n ? 1 2n 2n 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 所以 An ? 4 ? n ?1 , 2 n(1 ? n) n?2 n?2 ? 4 ? n ?1 ? n 2 ? n ? 4 ? n ?1 12 分 则 Sn ? 2 ? 2 2 2
考点:错位相减法求和 点评:主要是考查了等比数列以及错位相减法求和的运用,属于基础题。
n 23. 2, 2 ? 1

【解析】
2 试题分析:由题意 a2 ? a1a 3 ? 4 ,所以 a2 ? 2 , q ?

1 ? 2n a2 ? 2n ? 1 . ? 2 , Sn ? 1? 2 a1

考点:等比数列的项与前 n 项和. 24.155. 【解析】 试题分析:设等差数列 ?an ?的公差为 d ,则 2d ? a 4 ? a 2 ? 6 ,解得 d ? 3 ,所以 a1 ? a 2 ? 3 ? 2 ,所以由等差数 列的求和公式可得前 10 项和 S10 ? 10 a1 ? 考点:等差数列的前 n 项和. 25.1 【解析】 试 题 分 析 : 解 : 因 为 数 列 是 ?an ? 等 比 数 列 , 所 以 a1 ? a2 ? a3 ? a4 , a5 ? a6 ? a7 ? a8 , a9 ? a10 ? a11 ? a12 ,

10 ? 9 d ? 155 .故应填 155. 2

a13 ? a14 ? a15 ? a16 也成等比,
由题设知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? S4 ? 8 , a5 ? a6 ? a7 ? a8 = S8 ? S4 ? 8 ? 4 ? 4 所以, a13 ? a14 ? a15 ? a16 =8 ? ? ? = 1 考点:1、等比数列的概念与通项公式;2、等比数列的前 n 项和公式及等比数殊的性质. 26.

?1? ?2?

3

3 5
S3 1 ? , 所 以 S 6 ? 3S 3 , S 6 ? S 3 ? 2S3 . 又 S3 , S 6 ? S3 , S 9 ? S 6 , S12 ? S9 成 等 差 数 列 , 所 以 S6 3

【解析】 试题分析:因为

S9 ? S 6 ? 3S3 , S12 ? S9 ? 4S3 . 即 S 9 ? 6S 3 , S12 ? 10S 3 ,
考点:等差数列性质 27. 24

S9 6 3 ? ? . S12 10 5

13

【解析】 试题分析:因为 S10 ?

10 ((a1 ? a10 ) ? 5(a2 ? a9 ) ? 120, 所以 a2 ? a9 ? 24. 2

考点:等差数列性质 28.3 【解析】因为 a6-a5=2(S5-S4)=2a5,所以 a6=3a5.所以 q=3. 29.15 【解析】 试题分析:由题意得: a3 ? 3, S5 ? 5a3 ? 15 . 考点:等差数列. 30. 54 . 【解析】 试题分析:∵等差数列 {an } ,∴ S18 ? 考点:等差数列前 n 项和. 31. ?2 【解析】 试题分析:设数列的公比为 q ,由 a2 a8 ? 2 a3 a6得 (a1q)(a1q7 ) ? 2(a1q2 )(a1q5 ) ,解得 q ? 2 ,再由 S5 ? ?62 得

(a1 ? a18 ) (a ? a ) ?18 ? 8 11 ?18 ? 54 . 2 2

a (1 ? 25 ) a1 (1 ? q5 ) ? ?62 ,得 a1 ? ?2 . ? ?62 ,即 1 1? 2 1? q
考点:等比数列的通项公式、求和公式. 32.64 【解析】∵{an}是等差数列,a1,a2,a5 成等比数列, ∴
2

=a1?(a1+4d) ,又 a1=1,

∴d ﹣2d=0,公差 d≠0, ∴d=2. ∴其前 8 项和 S8=8a1+ 故答案为:64. 33.99 【解析】 试 题 分 析 : ×d=8+56=64.

an ?

1 ? n ?1 ? n n ?1 ? n

,







n





Sn ? a1 ? a ? a2 ? . ? a.n ? . ? ? 3
n ? 99 .
考点:数列的求和. 34.

? 2 ?

1 ?

n .? 1 ?. 1 ? 9.,则 ? 3 ? n? ? 2 n ? n4 ? ? ,所以 3

1

1 n

【解析】依题意得 Sn-1-Sn=Sn-1·Sn(n≥2),整理得

1 1 1 1 1 - =1,又 = =1,则数列{ }是以 1 为首项, S n Sn ?1 S1 a1 Sn
14

1 为公差的等差数列,因此

1 1 =1+(n-1)×1=n,即 Sn= . n Sn

15


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