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2015全国高中数学联赛四川预赛试题

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2015 全国高中数学联赛四川预赛试题
(满分 140 分,2015.5.17 于郫县) 一.单项选择题(共 6 小题,每题 5 分) 1.已知 n 为正整数,二项式 ( x 2 ? ( A.4 ) B.5 C.6 D.7
a b c ? ? , cos A 2 cos B 3 cos C
5? 12 1 n ) 的展开式中含有 x 7 项,则 n 的最小值为 3 x

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 则 ? A 的大小为( A. ) B.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

3.已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 30 0 ,则由平面 ? 上的圆在平面 ? 上的正射影得 到的椭圆的离心率为( A.
1 3

) C.
3 3

B.

1 2

D.

3 2
M 的值为 m

4.记函数 f ( x) ? 2 ? x ? 3x ? 12 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 ( A.
6 2

) B. 2 C. 3 D.2

5.已知正三棱锥 P-ABC 的底面 ABC 是正三角形, 该三棱锥的外接球的球心 O 满 足

OA ? OB ? OC ? 0 ,则二面角 A ? PB ? C 的余弦值为(
A.
1 6

) D.
3 3

B.

2 8

C.

1 5

6.设质数 p, 满足存在正整数 x,y 使得 p ?1 ? 2x 2 , p 2 ?1 ? 2 y 2 ,则符合条件的质数 p 的个数为 A.1 ) B.2 C.3 D.4

二.填空题(共 6 小题,每题 5 分) 7. i 为虚数单位,复数 z ? 8.若 4a ? 6b ? 9c ,则
4 ? 2i ,则 z =_______________ 1? i

1 2 1 ? ? ? _______________ a b c

9.已 知 点 P ( x, y ) 满 足 x ? y ? 2 , 则 到 x 轴 的 距 离 d ? 1 的 点 P 的 概 率 是 _______________
n? y () 10.设 x ? sin x ? cos? 1 ? 0,2 cos y ? 2 y ? ? ? 4 ? 0 , 则 s i 2 x

的 值 是

_______________ 11.在矩形 ABCD 中, AB=3, AD=4, P 为矩形 ABCD 所在平面上一点, 满足 PA=2, PC= 21 ,则 PB ? PD ? _______________

? (1) ? 1 , 12.对任意正整数 n, 定义函数 ? (n) 如下: 且当 n ? p1 1 ? p2 2 ? ? ? pk

?

?

?k

? 2 时,

? ( n) ? ?

?(?1)t , ?1 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? t ? 1 ,其中 t ? 1, p1 ,? ? ?, pk 是不同的质数. 0 ,否则 ?
12 的 全 部 不 同 正 因 数 的 集 合 , 则

若 记 A ? {x1 , x2 ,? ? ?, xk } 为

? ? ( x ) ? _______________
i ?1 i

k

三.解答题(共 4 小题,每题 20 分) 13.已知数列 {an } 满足: a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列,且对任意的正整数 n ,均有
Sn ? 1 3 an ?1 ? 2 n ? 成立. 2 2

(1)求 a1 , a2 , a3 ;

(2)求数列 {an } 的通项公式.

14.已知 f ( x) ? sin 4 x .

? ? 3? (1)记 g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ,求 g ( x) 在 [ , ] 上的最大值和最小值; 2 6 8 ? ? 3? 88? 89? ) ? f (2 )? f ( ) ? ??? ? f ( )? f ( ) 的值. (2)求 f ( 180 180 180 180 180

y2 ? 1 的右支上任意一点 P( x0 , y0 ) 作一直线 l 与两条渐近线交于 15.过双曲线 x ? 4
2

A、B,若 P 是 AB 的中点. (1)求证:直线 l 与双曲线只有一个交点; (2)求证:△OAB 的面积为定值.

16.已知 a 为实常数,函数 f ( x) ? e? x sin x ? ax, x ?[0,2? ] . (1)记 f ( x) 的导函数为 g ( x) ,求 g ( x) 在 [0,2? ] 上的单调区间; (2)若 f ( x) 在 (0,2? ) 的极大值和极小值恰好各有一个,求实数 a 的取值范围.


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