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2012高中数学 第2章2.1.1圆锥曲线与方程课件 新人教a版选修2-1

时间:2012-12-31


第2章

圆锥曲线与方程

课标领航

本章概述 1.圆锥曲线是解析几何的核心,主要学习椭圆、 双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性 质以及直线与圆锥曲线的位置关系和曲线的 方程. 2.圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着密 切的关系,早在16、17世纪之交,开普勒就 发现行星绕太阳运行的轨道是一个椭圆;探 照灯反射镜面是抛物线绕其对称轴旋转形成 的抛物面;

发电厂冷却塔的外形线是双曲线;“嫦娥一 号”运行轨道是以地球的中心为一个焦点的 椭圆…… 3.高考试题中圆锥曲线部分所占比例在15%左 右,包括一大题一小题,小题主要考查圆锥 曲线的定义和几何性质,而大题会考查函数 与方程思想、等价转化思想、数形结合和分 类讨论思想,考查配方法、定义法、待定系 数法等数学方法,突出了对推理能力、运算 能力、分析能力和抽象概括以及创新思维能 力的综合考查.

学法指导 1.椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了它们 的几何属性,根据定义导出它们的标准方程, 进而研究其几何性质,所以要重视圆锥曲线 定义在解题中的作用. 2.学习本章要体会以坐标法为桥梁,用代数法 来研究处理几何问题的方法,掌握圆锥曲线 的定义、标准方程和几何性质等内容. 3.本章内容对运算能力要求比较高,在学习中 要不断提高自己的运算能力.

4.加强运用数形结合的思想方法,提高分析问
题、解决问题的能力.

5.重视方程思想的运用,如利用方程研究几何
性质,利用方程研究直线与圆锥曲线的位置

关系等.

2.1 曲线与方程

2.1.1 曲线与方程

学习目标
1.对于曲线和方程的概念要了解.

2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对
应关系,领会“曲线的方程”与“方程的曲

线”的涵义.

课前自主学案 2.1.1 曲 线 与 方 程

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

1.经过(1,3)、(2,5)的直线方程为 2x-y+1=0 _____________. 2.与定点的距离等于定长的点的轨迹是圆. 3.已知P1(1,1)、P2(2,5),则P1_______圆(x-1)2 在 +y2=1上,而P2___________圆(x-1)2+y2=1 不在 上.

知新益能 曲线的方程、方程的曲线 在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个 二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关 系: 这个方程的解 (1)曲线上点的坐标都___________________; (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点. _________________ 曲线的方程 那么,这个方程叫做________________;这条 方程的曲线. 曲线叫做_______________

问题探究 如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0, y0)在曲线C上的充要条件是什么? 提示:若点P在曲线上,则f(x0 ,y0)=0;若

f(x0,y0)=0,则点P在曲线C上,∴点P(x0,y0)
在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.

课堂互动讲练

考点突破 曲线与方程的概念 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念, “曲线的方程”强调的是图形所满足的数量 关系;而“方程的曲线”强调的是数量关系 所表示的图形.两者通过曲线上的点的坐标 建立起一一对应关系,使方程成为曲线(几何 图形)的代数表示,从而将研究曲线的性质转 化到讨论相应方程的问题上.

例1 分析下列曲线上的点与方程的关系:

(1)求第一、三象限两轴夹角平分线l上点的坐 标满足的关系; (2)作出函数y=x2的图象,指出图象上的点与 方程y=x2的关系; (3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x| =2之间的关系. 【思路点拨】 解答本题先要明确轨迹和其 对应的轨迹方程,再根据两者的关系进行分 析.

【解】 (1)第一、三象限两轴夹角平分线l上 点的横坐标x与纵坐标y相等.即y=x.可以看 到: ①l上点的坐标都是方程x-y=0的解; ②以方程x-y=0的解为坐标的点都在l上. (2)函数y=x2 的图象如图所示是一条抛物线, 这条抛物线上的点的坐标满足方程y=x2 ,即 方程y=x2 对应的曲线是如图所示的抛物线, 抛物线的方程是y=x2.

(3)如图所示直线l上点的坐 标都是方程|x|=2的解,然 而,坐标满足方程|x|=2的 点不一定在直线l上. 因此,|x|=2不是l的方程. 变式训练1 判断下列结论的正误,并说明理 由. (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x= 3; (2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2.

解:(1)正确.理由如下: ∵满足曲线方程的定义.∴结论正确. (2)错误.理由如下: ∵到x轴距离为2的点的直线方程还有一个,即 不具备完备性.∴结论错误.

由方程判断曲线 判断方程表示什么曲线,必要时可对方程适 当变形,变形过程中一定要注意与原方程等 价,否则变形后的方程表示的曲线就不是原 方程的曲线.

(1)方程(x+y-1) x-1=0 表示什么 曲线? (2)方程 2x2+y2-4x+2y+3=0 表示什么曲 线?

例2

【思路点拨】 判断方程表示什么曲线问题, 若给出的方程不易看出是什么曲线时,可对原 方程变形.

【解】 (1)由方程(x+y-1) x-1=0 可得 ?x-1≥0 ?x-1≥0 ? ? 或? . ? x-1=0 ?x+y-1=0 ? 即 x+y-1=0(x≥1)或 x=1, 故方程表示直线 x=1 或射线 x+y-1= 0(x≥1).

(2)方程左边配方得 2(x-1)2+(y+1)2=0, ∵2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0, ?2?x-1?2=0 ∴? , 2 ??y+1? =0
?x=1 ∴? . ?y=-1

∴方程表示的图形是坐标为(1,-1)的点.

互动探究 2
2 2

若本例(1)中的方程改为“(x+y-

1)· x +y -4=0”,则它表示什么曲线?

解:由(x+y-1)· x2+y2-4=0, ?x+y-1=0 可得? 2 2 或 x2+y2-4=0, ?x +y -4>0
?x+y-1=0 即? 2 2 或 x2+y2=4. ?x +y >4

由圆 x2+y2=4 的圆心到直线 x+y-1=0 的距 1 2 离 d= = <2,得直线与圆相交. 2 2

?x+y-1=0 ∴? 2 2 表示直线在圆 x2+y2=4 外面的 ?x +y >4

部分. 又∵x2+y2=4 表示圆心在原点, 半径为 2 的圆. ∴原方程表示圆心在原点,半径为 2 的圆和斜 率为-1,纵截距为 1 的直线在圆 x2+y2=4 外 面的部分.如图所示:

方法感悟

理解曲线与方程的定义应注意 (1)定义中的第一条“曲线上点的坐标都是这个 方程的解”,阐明曲线上点的坐标没有不满足方 程的解的,也就是说曲线上所有的点都符合这个 条件而毫无例外(纯粹性). (2)定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的 点都是曲线上的点”,阐明符合条件的所有点都 在曲线上而毫无遗漏(完备性).

(3)定义的实质是平面曲线上的点集和方程f(x,
y)=0的解集{(x,y)|f(x,y)=0}之间的一一对

应关系.曲线和方程的这一对应关系,既可
以通过方程研究曲线的性质,又可以求出曲

线的方程.


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