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重庆2006-2013年高考理科数学分类汇总-数列(含答案)

时间:2014-01-10

重庆理科数学历年高考真题分类汇总——数列 2013 年
(12)已知 ? an ? 是等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , S n 为其前 n 项和,若 a1 、 a2 、 a5 称等 比数列,则 S8 ? .64

2012 1.在等差数列 {a n } 中, a2 ? 1, a4 ? 5 ,则 {a n } 的前 5 项和 S 5 = A.7 【答案】 B 【解析】 B.15 C.20 D.25

a2 ? 1, a4 ? 5 ? S5 ?

a1 ? a5 a ? a4 ?5 ? 2 ? 5 ? 15 2 2

21、 (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分。 ) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 。 (I)求证: ?an ? 是首项为 1 的等比数列; (II) 若 a2 ? ?1 ,求证: Sn ?

n (a1 ? an ) ,并给出等号成立的充要条件。 2

【解析】 (1)证明:由 S2 ? a2 S1 ? a1 ,得 a1 ? a2 ? a1a2 ? a1 ,即 a2 ? a2 a1 。 因 a2 ? 0 ,故 a1 ? 1 ,得

a2 ? a2 , a1

又由题设条件知 Sn ? 2 ? a2 S n ?1 ? a1 , Sn ?1 ? a2 Sn ? a1 两式相减得 S n ? 2 ? S n ?1 ? a2 ? S n ?1 ? S n ? ,即 an ? 2 ? a2 an ?1 , 由 a2 ? 0 ,知 an ?1 ? 0 ,因此

an ? 2 ? a2 an ?1

综上,

an ? 2 ? a2 对所有 n ? N * 成立,从而 ?an ? 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列。 an ?1

(2)当 n ? 1 或 2 时,显然 Sn ?

n (a1 ? an ) ,等号成立。 2
n ?1

设 n ? 3 , a2 ? ?1 且 a2 ? 0 ,由(1)知, a1 ? 1 , an ? a2 化为:

,所以要证的不等式

n 1 ? a2 n?1 ? ? n ? 3? ? 2 n ?1 即证: 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ? ?1 ? a2n ? ? n ? 2? 2 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n?1 ?
当 a2 ? 1 时,上面不等式的等号成立。 当 ?1 ? a2 ? 1 时, a2 ? 1 与 a2
r n?r

?1 , ( r ?3 , 2 1 , 1? n ? )同为负;

当 a2 ? 1 时,

a2 r ? 1 与 a2 n ? r ? 1 , ( r ?3 , 2 1 , 1? n ? )同为正;
r n?r

因此当 a2 ? ?1 且 a2 ? 1 时,总有 ( a2 ? 1 ) ( a2

? 1 )>0,即

a2 r ? a2 n ?r ? 1 ? a2 n , ( r ?3 。 , 2 1 , 1? n ? )
上面不等式对 r 从 1 到 n ? 1 求和得, 2( a2 ? a2 ? ? ? a2
2 n?r

) ? (n ? 1) ?1 ? a2 n ?

n ?1 1 ? a2 n ? ? 2 n 综上,当 a2 ? ?1 且 a2 ? 0 时,有 Sn ? (a1 ? an ) ,当且仅当 n ? 1, 2 或 a2 ? 1 时等号成立。 2
由此得 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ?
2 n

2011 11.在等差数列 {an } 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? __________ 74 21. (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分) 设实数数列 {a n } 的前 n 项和 S n ,满足 S n ?1 ? a n ?1 S n (n ? N )
*

(I)若 a1 , S2 ? 2a2 成等比数列,求 S 2 和 a 3 ; (II)求证:对 k ? 3有0 ? ak ?1 ? ak ? 21. (本题 12 分)
2 ? S2 ? ?2a1 a2 , 2 得S 2 ? ?2 S 2 , (I)解:由题意 ? S ? a S ? a a , ? 2 2 1 1 2

4 3

由 S2 是等比中项知 S2 ? 0.因此S2 ? ?2. 由 S2 ? a3 ? S3 ? a3 S2 解得

a3 ?

S2 ?2 2 ? ? . S2 ? 1 ?2 ? 1 3

(II)证法一:由题设条件有 Sn ? an ?1 ? an ?1 Sn ,

故 S n ? 1, an ?1 ? 1且an ?1 ? 从而对 k ? 3 有

Sn a , Sn ? n ?1 , Sn ? 1 an ?1 ? 1

ak ?1 Sk ?1 ak ?1 ? S k ? 2 ak ?1 ? 1 ak2?1 ak ? ? ? ? 2 . ak ?1 Sk ?1 ? 1 ak ?1 ? S k ? 2 ? 1 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ak ?1 ? ?1 ak ?1 ? 1 ak ?1 ?
2 2 因 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 ? ( ak ?1 ? ) ?



1 2

3 2 ? 0且ak ?1 ? 0 ,由①得 ak ? 0 4

要证 ak ?
2

2 ak 4 4 ?1 ? , ,由①只要证 2 ak ?1 ? ak ?1 ? 1 3 3
2 2

即证 3ak ?1 ? 4(ak ?1 ? ak ?1 ? 1), 即(ak ?1 ? 2) ? 0. 此式明显成立. 因此 ak ?

4 (k ? 3). 3
ak2 ? ak , ak2 ? ak ? 1

最后证 ak ?1 ? ak . 若不然 ak ?1 ?

又因 ak ? 0, 故

ak ? 1,即(ak ? 1) 2 ? 0. 矛盾. a ? ak ? 1
2 k

因此 ak ?1 ? ak (k ? 3). 证法二:由题设知, 故方程(可能相同). 因此判别式 又由 因此, 解得 因此 由,得 因此 2010 (1)在等比数列中, ,则公比的值为( A ) A、2 B、3 C、4 D、8

(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分.) 在数列中, ,其中实数.

(Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)若对一切有,求的取值范围. (21) (本题 12 分) (Ⅰ)解法一:由, , , 猜测. 下用数学归纳法证明. 当时,等式成立; 假设当时,等式成立,即,则当时,

, 综上, 对任何都成立. 解法二:由原式得. 令,则,因此对有

, 因此,. 又当时上式成立. 因此. (Ⅱ)解法一:由,得 , 因,所以. 解此不等式得:对一切,有或,其中 , . 易知, 又由,知 ,

因此由对一切成立得. 又,易知单调递增,故 对一切成立,因此由对一切成立得. 从而的取值范围为. 解法二:由,得 , 因,所以对恒成立. 记,下分三种情况讨论. (ⅰ)当即或时,代入验证可知只有满足要求. (ⅱ)当时,抛物线开口向下,因此当正整数充分大时, 不符合题意,此时无解. (ⅲ)当即或时,抛物线开口向上,其对称轴 必在直线的左边. 因此,在上是增函数. 所以要使对恒成立,只需即可. 由解得或. 结合或得或. 综合以上三种情况,的取值范围为. 2009 14.设, , , ,则数列的通项公式= .

21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 设个不全相等的正数依次围成一个圆圈. (Ⅰ)若,且是公差为的等差数列,而是公比为的等比数列;数列的前项和满足: ,求 通项; (Ⅱ)若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项,求证: ; (21) (本小题 12 分) 解: (I)因是公比为 d 的等比数列,从而 由 ,故 ,即 解得或(舍去) 。因此 又 ,解得

从而当时,

当时,由是公比为 d 的等比数列得

因此 (II)由题意得

由①得



由①,②,③得, 故. 又,故有 .⑥ 下面反证法证明: 若不然,设 若取即,则由⑥得,而由③得 得由②得而 ④及⑥可推得()与题设矛盾 同理若 P=2,3,4,5 均可推得()与题设矛盾, 因此为 6 的倍数 由均值不等式得 ⑤

由上面三组数内必有一组不相等(否则,从而与题设矛盾) ,故等号不成立,从而 又,由④和⑥得

因此由⑤得

2008

(14)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=
-72

.

(22) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分.)

设各项均为正数的数列{an}满足. (Ⅰ)若,求 a3,a4,并猜想 a2008 的值(不需证明) ; (Ⅱ)记对 n≥2 恒成立,求 a2 的值及数列{bn}的通项公式.
(22)(本小题 12 分) 解:(Ⅰ)因 由此有,故猜想的通项为 (Ⅱ)令 由题设知 x1=1 且 ① ② 因②式对 n=2 成立,有 ③ 下用反证法证明: 由①得 因此数列是首项为,公比为的等比数列.故 ④ 又由①知 因此是是首项为,公比为-2 的等比数列,所以 ⑤ 由④-⑤得 ⑥ 对 n 求和得 ⑦ 由题设知 即不等式 22k+1< 对 kN*恒成立.但这是不可能的,矛盾. 因此 x2≤,结合③式知 x2=,因此 a2=2*2= 将 x2=代入⑦式得 Sn=2-(nN*), 所以 bn=2Sn=22 (nN*) 2007 1、若等差数列的前 3 项和且,则等于( A ) A、3 B、4 C、5 7、若是与 1 ? 2b 的等比中项,则的最大值为( B )


D、6

A、 B、 C、 D、 14、设为公比的等比数列,若和是方程的两根,则_____________.18 21(本小题满分 12 分,其中(Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 已知各项均为正数的数列的前项和满足,且. (Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)设数列满足,并记为的前项和,求证: . 21、 (Ⅰ)解:由,解得或.由假设,因 此. 又由,得 ,即或. 因,故不成立,舍去. 因此,从而是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故的通项为 . (Ⅱ)证法一:由可解得 从而. 因此. 令,则 . 因,故. 特别地,从而, 即. 证法二:同证法一求得及. 由二项式定理知,当时,不等式成立. 由此不等式有 . 证法三:同证法一求得及. 令. 因,因此. 从而 证法四:同证法一求得及. 下面用数学归纳法证明:. 当时, ,因此,结论成立. 假设结论当时成立,即,则当时, . 因,故. 从而.这就是说当时结论也成立. 综上对任何成立. 2006 (2)在等差数列{an}中,若 aa+ab=12,SN 是数列{an}的前 n 项和,则 SN 的值为 (A)48 (B)54 (C)60 (D)66 (14)在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________.


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