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必修五+选修2-1(1-1)-高中数学阶段综合测试

时间:

高中数学阶段综合测试
测试范围:必修五、选修 2-1,1-1
总分:150 分;时间:120 分钟

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。
3 1.设 x ? R ,则 x ? 1 是 x ? x 的(



A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2、下列双曲线中,渐近线方程为 y=± 2x 的是( ) A. ﹣y2=1 B. ﹣y2 =1 C.x2﹣ =1 D.x2﹣ =1

3.在△ ABC 中,若 a ? 2 , b ? 2 3 , B ? 600 ,则角 A 的大小为( A. 30 B. 60 C. 30 或 150



D. 60 或 120 ,点 M 在 上,且 OM=2MA,点 N 为

4、如图,空间四边形 OABC 中, BC 中点,则 A. C. =( ) B. D.

? x ? 1, ? 5. 已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3, 若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 ,则 a ? ( ? y ? a ( x ? 3) ?
A.



1 4

B.

1 2

C .2

D.1

6、在△ ABC 中,tanA 是以﹣4 为第三项,4 为第七项的等差数列的公差,tanB 是以 2 为公差,9 为 第五项的等差数列的第二项,则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 7.已知数列 ?a n ?是递增数列,且对 n ? N ,都有 an ? n2 ? ?n ,则实数 ? 的取值范围是( )
*

A. ( ?

7 ,??) 2

B. ?? 2,???

C. ?0,???

D. (?3,??)

1

8.如图,直三棱柱 ABC ? A ,AB=AC= AA1 ,则 1B 1C 1 中,若∠BAC=90° 异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A.30° B.45° ) D.90°

C.60°

9 、若不等式 x 2 ? ax ? b ? 0 的解集为 ?1, 2 ? , 则不等式 ( A. ? )

1 b ? 的解集为 x a

?2 ? , ?? ? ?3 ?

B.

? ??, 0 ? ? ??, 0 ?

?2 ? ? , ?? ? ?3 ? ?3 ? ? , ?? ? ?2 ?

C. ?

?3 ? , ?? ? ?2 ?

D.

10、已知 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a , b, c ,且 3b cos A ? 3a cos B ? c, 则下列结 论正确的是( ) tan B ? tan A ? 2 A tan B ? 2 tan A C 11.已知等差数列 ?a n ?的等差 d 的前 n 项和,则

B D

tan A ? 2 tan B tan A ? tan B ? 2

? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , S n 为数列 ?an ?


2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
B. 3

A. 4

C.

9 2

D. 2 3 ? 2

12.过双曲线

b x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作直线 y ? ? x 的垂线,垂足为 A ,交双曲线的左 2 a a b
) D. 7

支于 B 点,若 FB ? 2 FA ,则该双曲线的离心率为( A. 3 B.2 C. 5

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答题卡的相应位置
13.已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27, a10 =8 ,则 a100 = 14.在 ?ABC 中,若 a ? 2, b ? c ? 7, cos B ? ?
2

1 ,则 b ? ______ . 4,
.

15.已知正数 x, y 满足 x ? 2 xy ? 3 ,则 2 x ? y 的最小值是

x2 y2 16..椭圆 C: + =1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是[-2, 4 3 -1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是 。
2

三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 2 17.(本小题满分 10 分)已知命题 p:? x∈[1,2],x ﹣a≥0,命题 q:? x0∈R,x0 +2ax0+2 ﹣a=0;若命题¬(p∧q)是假命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分)在△ ABC 中,sin(C﹣A)=1,sinB= . (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)设 AC= ,求△ ABC 的面积.

19.(本小题满分 12 分)已知抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+m 所得弦长|AB|=3 5. (1)求 m 的值; (2)设 P 是 x 轴上的点,且△ ABP 的面积为 9,求点 P 的坐标.

2 20、 (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 为公差不为零的等差数列, S6 ? 60 ,且满足 a6 ? a1 a21

.

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn?1 ? bn ? an (n ? N ? ) ,且 b1 ? 3 ,求数列 {

1 } 的前 n 项和 Tn bn

21.(本小题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF⊥平面 ABCD,点 G 为 AB 的中点,AB=BE=2. (1)求证:EG∥平面 ADF; (2)求二面角 O-EF-C 的正弦值; 2 (3)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH= HF,求直线 BH 和平 3 面 CEF 所成角的正弦值.

22. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过 a 2 b2
3

点 P (1, ) ,离心率 e=

3 2

1 ,直线 l 的方程为 x=4. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,PA,PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3 问:是否存在常数 ? ,使得 k1+k2= ? k3 若存在,求 ? 的值;若不存 在,说明理由.

4

浏阳一中、攸县一中 2016 年下学期高二年级联考 理科数学答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1 B 2 D 3 A 4 C 5 B 6 A 7 D 8 C 9 D 10 C 11 A 12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13、 98 14、 4 15、 3 16、 ?

?3 3? , ? ?8 4?

三、解答题:本大题共 70 分. 17、 【解答】解:p 真,则 a≤1, q 真,则△ =4a ﹣4(2﹣a)≥0, 即 a≥1 或 a≤﹣2, ∵命题¬(p∧q)是假命题, ∴p∧q 为真命题, ∴p,q 均为真命题, ∴ ,
2

3分 6分

8分

∴a≤﹣2,或 a=1 ∴实数 a 的取值范围为 a≤﹣2,或 a=1. 18.解: (Ⅰ)因为 sin(C﹣A)=1,所以 ∴ ∴ ∴ 又 sinA>0,∴ (Ⅱ)如图,由正弦定理得 , ,

10 分 ,且 C+A=π﹣B,



6分





又 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴ 12 分 19.[解析] (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
5

? ?y=2x+m, 由? 得 4x2+4(m-1)x+m2=0, 2 ? ?y =4x
m2 由根与系数的关系得 x1+x2=1-m,x1· x2= , 4 ∴|AB|= 1+k2 x1+x2
2

3分 -m
2

-4x1x2=

1+22

m2 -4× = 4

5

-2m , 6分

∵|AB|=3 5,∴ |2a-0-4| 22+ -

-2m =3 5,解得 m=-4. 2|a-2| 1 2· S△ ABP = ,又 S△ ABP= |AB|· d,则 d= , 2 |AB| 2 5 10 分 12 分

(2)设 P(a,0),P 到直线 AB 的距离为 d, 则 d=

2|a-2| 2× 9 ∴ = ,∴|a-2|=3, 5 3 5 ∴a=5 或 a=-1,故点 P 的坐标为(5,0)或(-1,0). 20.解:(1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 ?

?6a1 ? 15d ? 60,
2 ?a1 (a1 ? 20d ) ? (a1 ? 5d ) ,

解得 ?

?a1 ? 5, ? an ? 2n ? 3 ?d ? 2,

4分

(2)由 bn?1 ? bn ? an ,?bn ? bn?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N ?) 当 n ? 2 时, bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? = (n ? 1)(n ? 2 ? 5) ? 3 ? n(n ? 2) 对 b1 ? 3 也适合,? bn ? n(n ? 2)(n ? N ) ?

? (b2 ? b1 ) ? b1 ? an?1 ? an?2 ?
8分

? a1 ? b1

1 1 1 1 ? ( ? ) bn 2 n n ? 2

10 分

1 1 1 1 ?Tn ? (1 ? ? ? ? 2 3 2 4

1 1 1 3 1 1 3n2 ? 5n ? ? )? ( ? ? )? n n ? 2 2 2 n ? 1 n ? 2 4(n ? 1)(n ? 2)

12 分

→ → → 21、[解析] 依题意,OF⊥平面 ABCD,如图,以 O 为原点,分别以AD,BA,OF的方向为 x 轴,y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得 O(0,0,0),

6

A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0). → → (1)依题意,AD=(2,0,0),AF=(1,-1,2).设 n1=(x,y,z)为平面 ADF 的法向量, → ? ? AD=0, ?n1· ?2x=0 则? ,即? .不妨设 z=1,可得 n1=(0,2,1), → x - y + 2 z = 0 ? ? ? AF=0 ?n1· → 又EG=(0,1,-2),可得 EG· n1=0,又直线 EG?平面 ADF, 所以 EG∥平面 ADF. 4分 → (2)易证,OA=(-1,1,0)为平面 OEF 的一个法向量. → → 依题意,EF=(1,1,0),CF=(-1,1,2).设 n2=(x′,y′,z′)为平面 CEF 的法向量, → ? ? EF=0 ?n2· ?x′+y′=0 则? ,即? .不妨设 x′=1,可得 n2=(1,-1,1). → - x ′ + y ′ + 2 z ′ = 0 ? ? ? n · CF = 0 ? 2 → OA· n2 6 3 → → 因此有 cos〈OA,n2〉= =- , 于是 sin〈OA,n2〉= , → 3 3 |OA|· |n2| 3 所以,二面角 O-EF-C 的正弦值为 . 8分 3 2 2 → (3)解:由 AH= HF,得 AH= AF. 因为AF=(1,-1,2), 3 5 2 4 3 3 4 → 2→ 2 → 2 8 4 所以AH= AF=( ,- , ),进而有 H(- , , ),从而BH=( , , ), 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 → BH· n2 7 → 因此 cos〈BH,n2〉= =- . → 21 |BH|· |n2| 7 所以,直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 . 12 分 21

3 x2 y 2 22.(1)椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ),可得 2 a b

1 c 1 1 9 ? 2 ? 1(a > b > 0) ①由离心率 e= 得 = ,即 a=2c,则 b2=3c2②,代入①解得 c=1,a=2, 2 2 a 2 a 4b
b= 3 故椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3
7

(5 分)

(2)由题意可知 AB 的斜率存在,则可设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)③

(6 分)

x2 y 2 ? ? 1 ,并整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0 代入椭圆方程 4 3
设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=

8k 2 4k 2 ? 12 , x x = ④ 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
y1 ?

(8 分)

3 3 y2 ? 2 ,k = 2, 在方程③中,令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k),从而 k 1 = 2 x1 ? 1 x2 ? 1

3 2 =k- 1 k3= 2 4 ?1 3k ?
注意到 A,F,B 共线,则有 k=kAF=kBF,即有

(9 分)

y1 y ? 2 =k x1 ? 1 x2 ? 1

(10 分)

3 3 y2 ? 2+ 2 = y1 ? y2 - 3 ( y1 ? y2 ) 所以 k1+k2= x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?

8k 2 ?2 2 3 3 x1 ? x2 ? 2 =2k- × ⑤④代入⑤得 k1+k2=2k- × 2 4k ? 3 2 =2k-1 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 4k ? 12 8k ? ?1 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 1 又 k3=k- ,所以 k1+k2=2k3 故存在常数 λ=2 符合题意 (12 分) 2

8


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