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二轮复习之奇偶性与单调性(基础篇)

时间:2015-10-21

二轮复习之奇偶性与单调性(基础篇)
适用学科 适用区域
高中数学 人教版 1、 函数的单调性

适用年级 课时时长(分钟)

高三 60

知识点

2、函数的最大(小)值 3、函数的奇偶性的概念与判定 4、函数的奇偶性的应用 1、能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。

教学目标

2、理解函数的奇偶性及其几何意义; 3、掌握判断函数奇偶性的方法,能证明一些简单函数的奇偶性;

教学重点

1、掌握什么是增函数和减函数,增函数和减函数的判定方法;

2、掌握什么是奇函数和偶函数,奇函数和偶函数的判定方法; 3、懂的怎样去应用函数的奇偶性去做题 1、增减性的判定与应用;

教学难点

2、最大与最小值的求法 3、奇偶性的判定与的应用;

教学过程
一、高考解读
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一,考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出
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本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义,掌握判定方法,正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考
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生学会怎样利用两性质解题,掌握基本方法,形成应用意识

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二、复习预习
1、 增 (减) 函数: 如果函数 f ( x) 对于定义域 I 内某个区间 D 上的两个自变量的值 x1、 x2, 当 x1<x2 时, 都有 f ( x1 ) f ( x 2 ) ( f ( x1 ) f ( x 2 ) ) ,那么就说函数在 f ( x) 区间 D 上是增(减)函数。 2、偶(奇)函数的定义:一般地,如果对于函数 f ( x) 的定义域内任意一个 x,都有 () ,那么函数 f ( x) 就叫做偶(奇)函数。

三、知识讲解
考点 1
(1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性
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若为抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性

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同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的训练认真体会,用好数与形的统一 复合函数的奇偶性、单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程,又掌握基本函数
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考点 2
(1)加强逆向思维、数形统一 正反结合解决基本应用题目
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(2)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目 此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力, 并具有综合分析
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问题和解决问题的能力 (3)应用问题
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在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方
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法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决 值问题
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特别是 往往利用函数的单调性求实际应用题中的最
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四、例题精析
例题 1 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f(80) ? f(11) ).

【 规 范 解 答 】 因 为 f ( x) 满 足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) , 所 以 f ( x ? 8)? f ( x ) ,所以函数是以 8 为周期的周期函数, 则
f (?25) ? f (?1) , f (80) ? f (0) , f (11) ? f (3) , 又 因 为 f ( x) 在

R

上 是 奇 函 数 ,

f (0) ? 0 , 得

f (80) ? f (0) ? 0 , f (?25) ? f (?1) ? ? f (1) , 而由 f ( x ? 4) ? ? f ( x )得 f (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) , 又因为 f ( x) 在

区间[0,2]上是增函数,所以 f (1) ? f (0) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 ,即 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D. 【总结与思考】本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的思想解答问 题.

例题 2 判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) =x3+2x (4) f ( x) =0 (2) f ( x) =2x4+3x2
1? x 1? x

(3) f ( x) =x3+x2 (6) f ( x) =
1 ? x2 x?2 ?2

(5) f ( x) =(x-1) ?

【规范解答】由奇函数的判定 f(-x)=-f(x) 又偶 (5)x∈(-1,1],故非奇非偶

偶函数 f(-x)=f(x)即可判定(1)奇

(2)偶 (3)非奇非偶 (4)既奇

(6)∵x∈[-1,0)∪(0,1] ∴ f ( x) = 【总结与思考】函数奇偶性的判定方法

1 ? x2 , f (? x) =- f ( x) , f ( x) 是奇函数。 x

例题 3 已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( )=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任意 x、y∈(-1,1)都有

1 2

f(x)+f(y)=f(

x? y ),试证明 1 ? xy

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(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减

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【规范解答】(1)由 f(x)+f(y)=f( 令 x=y=0,得 f(0)=0, 令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f(
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x? y ), 1 ? xy

x?x )=f(0)=0 1? x2
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∴f(x)=-f(-x) ∴f(x)为奇函数
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(2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减

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令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(

x 2 ? x1 ) 1 ? x1 x 2

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴ 又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0 ∴x2-x1<1-x2x1, ∴0<

x 2 ? x1 >0, 1 ? x 2 x1

x 2 ? x1 x ?x <1,由题意知 f( 2 1 )<0,? 1 ? x 2 x1 1 ? x1 x 2

即 f(x2)<f(x1)

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∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0 ∴f(x)在(-1,1)上为减函数
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【总结与思考】奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想 对于(1),获得 f(0)的值进而取 x=-y 是解题关键;
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对于(2),判定

x 2 ? x1 的范围是焦点 1 ? x1 x 2

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例题 4 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增,f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1) 求 a 的取值
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范围,并在该范围内求函数 y=( ) a

1 2

2

?3a ?1

的单调递减区间

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【规范解答】设 0<x1<x2,则-x2<-x1<0,∵f(x)在区间(-∞,0)内单调递增, ∴f(-x2)<f(-x1),∵f(x)为偶函数,∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1), ∴f(x2)<f(x1) ∴f(x)在(0,+∞)内单调递减
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1 7 1 2 又2a 2 ? a ? 1 ? 2(a ? ) 2 ? ? 0,3a 2 ? 2a ? 1 ? 3(a ? ) 2 ? ? 0. 4 8 3 3

由 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1)得 2a2+a+1>3a2-2a+1 解之,得 0<a<3
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又 a2-3a+1=(a- )2- ∴函数 y=( ) a
1 2
2

3 2

5 4

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?3a ?1

的单调减区间是[ ,+∞]
1 a2 ?3a ?1 3 ) 的单调递减区间为[ ,3) 2 2
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3 2

结合 0<a<3,得函数 y=(

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【总结与思考】逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题 本题属于知识组合题类,关键在于
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读题过程中对条件的思考与认识,通过本题会解组合题类,掌握审题的一般技巧与方法

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2 3 例题 5 已知函数 f ( x) ? x ? c 为奇函数, f (1) ? f (3) ,且不等式 0 ? f ( x) ? 的解集是

ax ? b

2

[?2,?1] ∪ [2,4]

(1)求 a,b,c。 (2)是否存在实数 m 使不等式 f (?2 ? sin ? ) ? m 2 ? 对一切 ? ? R 成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请 说明理由。
3 2

2 【规范解答】 (1)∵ f ( x) ? x ? c 为奇函数,

ax ? b

∴ ( ? x) ? c
2

a(? x) ? b

??
3 2

x ?c , 解得b ? 0. ax ? b
2

∵ ∴

0 ? f ( x) ?

的解集中包含 2 和-2,
f (2) ? 0

f (?2)=? f (2) ? 0

2 即得 f (2) ? 0 ? 2 ? c , 所以 c= ? 4

2a

5 3 5 , ∴? ? , 所以 a ? 0. 3a a 3a 2 下证:当 a>0 时,在(0,+∞)上 f ( x) ? x ? 4 是增函数 ax

∵ f (1) ? f (3), f (1) ? ? ,

3 a

f (3) ? ?

在(0,+∞)内任取 x1,x2,且 x1<x2,那么
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 x 4 4 1 4 ? ? 2 ? ? ( x1 ? x 2 )(1 ? )?0 a ax1 a ax2 a x1 x 2

x2 ? 4 即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ),?当a ? 0时,在( 0,??)上f ( x) ? 是增函数
3 42 ? 4 f (2)=0, f (4) ? ? , 解得a ? 2. 所以, 2 4a

ax

2x x2 ? 4 (2)∵ f ( x) ? 为奇函数, 2x 2 ∴ f ( x) ? x ? 4 在(-∞,0)上也是增函数。 2x

2 综上所述: a ? 2, b ? 0, c ? ?4, f ( x) ? x ? 4

又 ? 3 ? ?2 ? sin ? ? ?1,

∴ f (?3) ? f (?2 ? sin ? ) ? f (?1) ? , 而 m 2 ?
3 2

3 2

3 3 ? , 2 2

所以,m 为任意实数时,不等式 f (?2 ? sin ? ) ? m 2 ? 对一切 ? ? R成立 【总结与思考】结合函数的数字特征,借助函数的奇偶性,处理函数的解析式

课程小结
(1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数,严格按照定义判断,注意变换中的等价性
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同时,注意判断与证明、讨论三者的区别,针对所列的训练认真体会,用好数与形的统一 复合函数的奇偶性、单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程,又掌握基本函数
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问题和解决问题的能力 (4)应用问题
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在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方
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法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决

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特别是 往往利用函数的单调性求实际应用题中的最
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值问题

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2011高考数学二轮复习专题讲座(第7讲)奇偶性与单调性(1).doc

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高中数学高考二轮复习讲义:单调性、奇偶性函数问题的方....doc

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高三数学第二轮专题讲座复习:处理具有单调性、奇偶性函....doc

高三数学第二轮专题讲座复习:处理具有单调性奇偶性函数问题的方法(1)_数学_...在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性 同时,注意判断与...

((Simon整理)第8讲)奇偶性与单调性(2).doc

2011高考数学二轮复习专题... 6页 2财富值 8奇偶性与单调性(二) 6页 1财富...定义的基础上, 用好赋值法, 注意赋值的科学性、 合理性 同时,注意判断与证明...

...函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性(含详解,....doc

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2018年高中数学理科高考二轮复习:函数的单调性和奇偶性质的应用(链接高考解析版)...周期性求函数值及求参数值等问题是重点,也是难点. 基础知识回顾: 1.函数的单调...

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高中数学复习专题讲座(第8讲)奇偶性与单调性(2).doc

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二轮复习之函数图像及图像性质的应用(基础篇).pdf

二轮复习之函数图像及图像性质的应用(基础篇) 适用学 科 适用区 域 知识点 ...③讨论函数的性质即单调性奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋 势);④描点连线...

高考专题讲座(第7讲)奇偶性与单调性(1).doc

高考专题讲座(第7讲)奇偶性与单调性(1) - 北京高三教师陈志轩老师上传,用于高三学生高考总复习一轮二轮用,也可以用于高一二学生拔高之用。

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[第七讲]奇偶性与单调性(一... 5页 2财富值 2011高考数学二轮复习专题......定义的基础上, 用好赋值法, 注意赋值的科学性、 合理性 同时,注意判断与证明...

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...数学第二轮专题讲座复习 处理具有单调性、奇偶性函....doc

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高三数学第二轮的复习,是在第一轮复习基础上,对高考知识点进行巩固强化,是...函数的性质:着重掌握函数的单调性,奇偶性,周期性, 对称性。这些性质通常会综合...

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难点07 奇偶性与单调性(一).doc

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