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北京四中2011届高三上学期开学测试理科数学试题

时间:2010-12-13


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北京四中 2010~2011 学年度第一学期高三年级开学测试
数学试卷( 数学试卷(理) (试卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 选择题(
1.设 域, 为值 域的函数关系的是( ) , ,给出四个图形,其中以集合 为定义

A

B

C

D

2.已知

为非零的平面向量,甲: B. 必要不充分条件

,乙:

,则甲是乙的( )

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3. 已知

,则

等于( )

A.7

B.

C.

D.

4.函数

的图象为 C,则下列论断中,正确论断的个数是( )

(1)图象 C 关于直线

对称;

(2)函数

在区间

内是增函数;

(3)由函数
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的图象向右平移
-1-

个单位长度可以得到图象 C.
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A.0

B.1

C.2

D.3

5.已知等差数列 (该直线不过 原点 A.100 ),则 B. 101

的前 项和为

,若

,且 A、B、C 三点共线

=( ) C. 200 D. 201

6.已知随机变量 服从正态分布 A. B. C.

, D.

,则

( )

7.一组抛物线 任取的一个数,

,其中 为 2,4,6,8 中任取的一个数, 为 1,3,5,7 中

从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线 ( ) A. B. C. D.

交点处的切线相互平行的概率是

8. 函数

的定义域为 ,则直线

,且 与函数

为奇函数,当

时,

图象的所有交点的横坐标之和是

( ) A.1 B.2 C.4 D.5

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 填空题(

9.

的值域为___________。

10.

的展开式中,

的系数是___________。

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11.由一条曲线 积是______。

与直线

以及

轴所围成的曲边梯形的面

12.已知:定义在(-2,2)上的偶函数 成立,则实数 的取值范围是___________。

,当

时为减函数,若



13. 在△ABC 中, 为边 BC 上一点, D BD= 则 BAC=___________。

DC, ADB=120°, AD=2, 若△ADC 的面积为



14.定义映射 整数对 满足下述条件:① ③ 则 表示)。

,其中



. 已知对所有的有序正

;②若

, .



的值是___________;

的表达式为___________。 (用含 的代数式

三.解答题(共 6 题,共 80 分) 解答题(
15.(本小题满分 13 分) 解关于 的不等式 ( )。

16.(本小题满分 13 分) 甲和乙参加智力答题活动,活动规则:①答题过程中,若答对则继续答题;若答错则停 止答题;②每人最多答 3 个题;③答对第一题得 10 分,第二题得 20 分,第三题得 30 分,答

错得 0 分。已知甲答对每个题的概率为 (1)求甲恰好得 30 分的概率;
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,乙答对每个题的概率为



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(2)设乙的得分为 ,求 的分布列和数学期望; (3)求甲恰好比乙多 30 分的概率.

17.(本小题满分 13 分) 已知:向量 (1)求:角 的大小; 与 共线,其中 A 是△ABC 的内角。

(2)若 BC=2,求△ABC 面积 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状。

18.(本小题满分 13 分) 已知:如图,长方体 , (1) 求异面直线 (2) 证明 (3) 求二面角 与 平面 . 所成角的余弦值; ; 的正弦值. 中, 、 分别是棱 , 上的点,

19.(本小题满分 14 分) 已知: 函数 为实数). (1)当 (2)若 时,求 ,试判断 的解析式; 上的单调性,并证明你的结论; 是定义在 上的偶函数, 当 时,

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(3)是否存在 ,使得当 请说明理由.

有最大值 1?若存在,求出 的值;若不存在,

20.(本小题满分 14 分) 已知:函数 (1)若函数 (2)关于 的不等式 (3)对于函数 和 都成立,则称直线 为函数 与 的“分界线”。 与 ( ), . 距离的最小值为 ,求 的值;

图象上的点到直线

的解集中的整数恰有 3 个,求实数 的取值范围; 定义域上的任意实数 ,若存在常数 ,使得不等式



, ,试探究 与 是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方

程;若不存 在,请说明理由.

参考答案: 参考答案:
一、 选择题: 题号
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1

2

3

4

5

6

7

8

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答案

B

B

C

C

A

D

B

D

二、 填空题:

9、

10、 1890

11、 ln2

12、

13、 60

0

14、 6;

三、解答题(共 6 题,共 80 分) 15.解: 解 (1)当 时 , ,即: ;

(2)当

时 ,

,即:





(3)当

时 ,





,则

;若

,则无解;若

,则

.

综上:原不等式的解集分别为

当 若

时, 时, ;



当 当 时,

时, ;



时,



.

16.解: 解

(I)甲恰好得 30 分,说明甲前两题都答对,而第三题答错,其概率为
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(II) 的取值为 0,10, 30,60.





, 的概率分布如下表: 0 10 30 60

(III)设甲恰好比乙多 30 分为事件 A,甲恰好得 30 分且乙恰好得 0 分为事件 B1, 甲恰好得 60 分且乙恰好得 30 分为事件 B2,则 A= 为互斥事件.

.

所以,甲恰好比乙多 30 分的概率为

17.解: 解 (1)因为 m//n,所以 n 所以 因为 , 所以 ,即 . 故 . ,即 , . .

(2)由余弦定理,得 又 而 , ,(当且仅当 时等号成立)

所以 当△ABC 的面积取最大值时,
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.
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,故此时△ABC 为等边三角形.

18. 解: 法一: 法一: 如图所示,以点 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系, 设 ,

依题意得

,

,

,

(1)易得

,

,

于是

所以异面直线 (2)已知

与 ,

所成角的余弦值为

, 于是 因此, 所以 平面 · =0, , · =0. ,又

(3)设平面

的法向量 。 为平面

,则

,即

不妨令 X=1,可得 由(2)可知,

的一个法向量。

于是

,从而

,

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所以二面角 法二: 法二:

的正弦值为

(1)设 AB=1,可得 AD=2,AA1=4,CF=1.CE= 连接 B1C,BC1,设 B1C 与 BC1 交于点 M,易知 A1D∥B1C,

由 故

,可知 EF∥BC1. 是异面直线 EF 与 A1D 所成的角,

易知 BM=CM=

,

所以

,

所以异面直线 FE 与 A1D 所成角的余弦值为

(2)连接 AC,设 AC 与 DE 交点 N 因为 所以 又由于 故 AC⊥DE,又因为 CC1⊥DE 且 ,从而 ,所以

, , , ,所以 DE⊥平面 ACF,从而 AF⊥DE.

连接 BF,同理可证 B1C⊥平面 ABF,从而 AF⊥B1C, 所以 AF⊥A1D 因为 ,所以 AF⊥平面 A1ED.

(3)连接 A1N.FN,由(2)可知 DE⊥平面 ACF, 又 NF 故 平面 ACF, A1N 平面 ACF,所以 DE⊥NF,DE⊥A1N,

为二面角 A1-ED-F 的平面角.

易知

,所以



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所以





, 连接 A1C1,A1F 在

。所以

所以二面角 A1-DE-F 正弦值为

.

19.解: 解 (I)设

(II) 又 (III)当 意,舍去) 上为增函数. 不合题



如下表:

x

[

+

0 最大值



[

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无最大值.

∴存在 20.解: 解 (1)因为 ,所以

上有最大值 1.

,令

得:

,此时



则点

到直线

的距离为





,解之得





经检验知, (2)法一:不等式 等价于 令 所以函数

为增解不合题意,故 的解集中的整数恰有 3 个, 恰有三个整数解,故 ,由 且 的一个零点在区间 , , , ,

则另一个零点一定在区间

故 法二:

解之得

. 恰有三个整数解,故 , ,即 ,

所以
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,又因为
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所以

,解之得





3









. 所以当 因此 时, 时, ;当 时, .

取得最小值 ,





的图象在

处有公共点







存在 “分界线”,方程为







由 立 . 所以 .



恒成立,则



恒成

成立,因此

下面证明

恒成立.

设 所以当 时,

,则 ;当 时,

. .

因此



取得最大值 ,则

成立.

故所求“分界线”方程为:



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