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高中数学选修2-1精编讲义:立体几何中的空间向量方法

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立体几何中的空间向量方法 学生姓名 授课教师 核心内容 ? ? 年级 日期 ? 学科 时段 课型 一对一/一对N ? 空间向量及其运算、立体几何中的向量方法(求空间距离、求空 间角) 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示; 教学目标 2.掌握利用空间向量法解决立体几何中的平行、垂直以及空间角的问题; 3.培养学生运用空间立体几何向量思想解决问题的能力。 重、难点 利用空间向量法解决立体几何中的平行、垂直以及空间角的问题 课首沟通 询问学生在校的学习情况以及对这一内容的掌握程度。 知识导图 课首小测 1. 已知向量a, b, c满足a+b+c=0,|a|=3,| b|=1,| c|=4.则ab+bc+ca=____________. 2. 已知|a|=2 ,|b|= ,ab=,则a、b所夹的角为________________. 3. [单选题] (2013大纲全国)已知正四棱柱ABCD? A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ?? ) A. B. C. D. 知识梳理 1、空间向量及其运算 ? ? ?(1)空间向量的基本知识: ? ? ? ? ? ①定义:空间向量的定义和平面向量一样,那些具有大小和方向的量叫做向量,并且仍用有向线段表示 空间向量,且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。 ? ? ? ? ? ②空间向量基本定理: ? ? ? ? ? ?ⅰ定理:如果三个向量 使 。且把 不共面,那么对于空间任一向量 ,存在唯一的有序实数组x、y、z, 都叫基向量。 叫做空间的一个基底, ? ? ? ? ? ?ⅱ正交基底:如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直,那么这个基底叫正交基底。 ? ? ? ? ? ?ⅲ 单位正交基底:当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位正交基底,通常用 表示。 ? ? ? ? ? ?ⅳ 空间四点共面:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间中任意一点P,都存在唯一的有序实数组 x、y、z,使 。 ? ? ? ? ③共线向量(平行向量): ? ? ? ? ? ⅰ定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向 量,记作 。 ?规定:零向量与任意向量共线; 平行的充要条件是:存在实数λ,使 ? ? ? ? ? ? ?ⅱ 共线向量定理:对空间任意两个向量 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ④共面向量: ? ? ? ? ? ⅰ 定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量;空间的任意两个向量都是共面向量。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⅱ 向量与平面平行:如果直线OA平行于平面或 在α内,则说向量 平行于平面α,记作 于同一平面的向量,也是共面向量。 ⅲ 共面向量定理:如果两个向量 。 ? ? ? ? ? ⅳ 空间的三个向量共面的条件:当 都是非零向量时,共面向量定理实际上也是 所在的 三条直线共面的充要条件,但用于判定时,还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。 ? ? ? ? ? ⅴ共面向量定理的推论:空间一点P在平面MAB内的充要条件是:存在有序实数对x、y,使得 ,或对于空间任意一定点O,有 ? ? ? ?⑤空间两向量的夹角:已知两个非零向量 定要相同),则叫做向量 的夹角,记作 。 ,在空间任取一点O,作 ,且 。 , (两个向量的起点一 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是:存在实数

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