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北京市西城区2011年高三一模数学文试卷及答案

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北京市西城区 2011 年高三一模试卷 数 学(文科)2011. 4 共 40 分) 第Ⅰ卷(选择题 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5} ,集合 A ? {2,5} , B ? {4,5} ,则 ? U (A (A) {1, 2,3, 4} (B) {1,3} (C) {2, 4,5} B) 等于 (D) {5} 2. 函数 y ? 2 ? x ? lg x 的定义域是 (A) ? 0, 2? (B) (0, 2) (C) ? 0, 2? (D) ?1, 2? 3.为了得到函数 y ? sin x ? cos x 的图像,只需把 y ? sin x ? cos x 的图象上所有的点 ? 个单位长度 4 ? (C)向左平移 个单位长度 2 (A)向左平移 .u.c.o .u.c.o ? 个单位长度 4 ? (D)向右平移 个单位长度 2 (B)向右平移 .u.c.o 4. 设 a ? log2 3 , b ? log4 3 , c ? (A) a ? c ? b 1 ,则 2 (C) b ? c ? a (D) c ? b ? a (B) c ? a ? b 5.一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积是 (A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 36 3 4 3 3 正(主)视图 3 4 侧(左)视图 俯视图 6.对于平面 ? 和异面直线 m, n ,下列命题中真命题是 (A)存在平面 ? ,使 m ? ? , n ? ? (B)存在平面 ? ,使 m ? ? , n ? ? (C)存在平面 ? ,满足 m ? ? , n // ? (D)存在平面 ? ,满足 m // ? , n // ? 第 1 页 共 10 页 北京市西城区 2011 年高三一模试卷 数学(文科) 7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的 成绩,其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过 乙的平均成绩的概率为 (A) 9 甲 8 8 9 (D) 乙 3 3 7 9 2 1 0 2 5 (B) 7 10 ( C) 4 5 9 10 8. 某次测试成绩满分为 150 分, 设 n 名学生的得分分别为 a1 , a2 , 1? i ? n ) , , an( ai ? N , bk ( 1 ? k ? 150 )为 n 名学生中得分至少为 k 分的人数.记 M 为 n 名学生的平均成绩.则 b ? b2 ? ? b150 b ? b2 ? ? b150 (A) M ? 1 (B) M ? 1 n 150 b ? b2 ? ? b150 b ? b2 ? ? b150 (C) M ? 1 (D) M ? 1 n 150 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 若复数 (1 ? i)(1 ? ai) 是纯虚数,则实数 a 等于______. 10.设向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (1, cos ? ) ,若 a ? b ? 3 ,则 sin 2? ? ______. 5 11. 双 曲 线 C : x2 ? y 2 ? 1 的 离 心 率 为 ______ ; 若 椭 圆 2 x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与双曲线 C 有相同的焦点,则 a ? ______. a2 12. 设 不 等 式 组 ? ??2 ? x ? 2 , 表 示 的 区 域 为 W , 圆 ??2 ? y ? 2 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 及其内部区域记为 D .若向区域 W 内投 入一点,则该点落在区域 D 内的概率为_____. 13. 阅读右侧程序框图,则输出的数据 S 为_____. 14. 已知数列 {an } 的各项均为正整数, Sn 为其前 n 项和,对于 n ? 1, 2,3, ,有 ?3an ? 5, an为奇数, ? , an ?1 ? ? an , an为偶数.其中k为使an ?1为奇数的正整数 ? k ?2 当 a3 ? 5 时, a1 的最小值为______;当 a1 ? 1 时, S1 ? S2 ? ? S20 ? ______. 第 2 页 共 10 页 北京市西城区 2011 年高三一模试卷 数学(文科) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ? o 4 ,b ? 2. 5 (Ⅰ)当 A ? 30 时,求 a 的值; (Ⅱ)当 ?ABC 的面积为 3 时,求 a ? c 的值. 16. (本小题满分 13 分) 如图所示, 正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相 垂直, ?ADE ? 90 , AF // DE , DE ? DA ? 2 AF ? 2 . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: AC // 平面 BEF ; (Ⅲ)求四面体 BDEF 的体积. A B F D C E 17. (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? 2a2 ? 3a3 . (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设 {bn } 是首项为 2 ,公差为 q 的等差数列,其前 n 项和为 Tn . 当 n ? 2 时,试比 较 bn 与 Tn 的大小. 第 3 页 共 10 页 北京市西城区 2011 年高三一模试卷 数学(文科) 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值点; (Ⅱ)若直线 l 过点 (0, ?1) ,并且

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