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辽宁省葫芦岛市五校协作体2012届高三8月模拟考试(数学文)

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2011——2012 学年上学期五校协作体 8 月份摸底考试 2011——2012 —— 高三文科数学试卷
时间: 满分: 时间:120 分钟 满分:150 分 说明:本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。 卷为选择题, 说明:本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题,一律答在答题卡 卷为主观题,按要求答在试卷相应位置上。 上; 第Ⅱ卷为主观题,按要求答在试卷相应位置上。

第Ⅰ卷(选择题 60 分)
( 小题, 一.选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 选择题: 1.已知集合 P = {4,5,6},Q = { ,2,3} ,定义 P ⊕ Q = {x | x = p ? q, p ∈ P, q ∈ Q},则集合 1 . P ⊕ Q 的所有真子集的个数为 ( )
A.32 . B.31 . C.30 . D.以上都不对 . ( )

1 2.已知复数 z = . ,则 z ·i 在复平面内对应的点位于 1+ i

A.第一象限 . B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限学校为了调查学生 . . . 3.在 ?ABC 中 , a, b, c 分别为三个内角 A、B、C 所对的边 设向量 m = ( b ? c, c ? a ) , n 、 、 所对的边,设向量 在

= ( b, c + a ) ,若向量 m⊥n,则角 A 的大小为 ⊥ ,
( )

3 2 2 x 4. 上是增函数., . 已知命题 p: : 关于 x 的函数 y = x ? 3ax + 4 在 [1, +∞ ) 上是增函数 , 命题 q:y = (2a ? 1) : 为减函数, 为真命题, 为减函数,若 p且q 为真命题,则 a 的取值范围是 ( ) 2 1 1 2 1 B. 0 < a < C. < a ≤ D. < a < 1 A. a ≤ . . . . 3 2 2 3 2 5. 若等差数列 {an } 满足 a2 + S3 = 4 , a3 + S5 = 12 ,则 a4 + S 7 的值是 ( )
A.20 . B.36 C.24 . . cos(π ? 2α ) 2 =? 6.已知 π 2 ,则 cos α + sin α 等于 sin(α ? ) 4 A. D.72 . ( )

A. .

π
6

B. .

π

C. .

π

D. .

2π 3

?

7 2

7 B. 2

1 C. 2

1 D. 2 ?
( )

7.执行如图所示的程序框图,若输出的 n=6,则输入整数 p 的最大值是 执行如图所示的程序框图, = , 执行如图所示的程序框图 A.32 B.31 C.15 D.16

7 题图

8 题图

8..如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角形,俯视图是一个圆, 如图, 的正三角形,俯视图是一个圆, 如图 那么这个几何体的侧面积为 ( ) A. .

π
4

B. .

2 π 4

C. .

2 π 2

D. .

1 π 2

9.若关于 x 的不等式 ax ? b > 0 的解集是 (1, +∞ ) , 则关于 x 的不等式 若关于 ( ) A. ( ?∞, ?1) U (2, +∞ ) . C. ( ?1, 2) . 10. 已 知 B. ( ?1, 2) . D. ( ?∞,1) U (2, +∞ ) . 数

ax + b > 0 的解集是 x?2

f ( x) = log a x(a > 1) 的 导 函 A = f ′(a ), B = f (a + 1) ? f (a ), C = f ′(a + 1) 则
( A . A>B>C D.C>B>A . ) B . A>C>B



f ′(x)

,



C . B>A>C

?3x ? y ? 6 ≤ 0 ? 11.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y + 2 ≥ 0 ,若目标函数 z = ax + by (a>0,b>0)的最大 . , , ) ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?
值 ( A. ) 为 12 , 则

2 3 + a b











11 D. 4 3 2 x2 y2 交于不同的两点, 设斜率为 的直线 l 与椭圆 2 + 2 = 1, ( a > b > 0) 交于不同的两点,且这两个交点 12. 2 a b 在 x 轴 上 的 射 影 恰 好 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为
B. C. ( ) A.

25 6

8 3

2 2

B. 1

C.

2

3 3

D. 1

3

第Ⅱ卷 非选择题 (本大题共 小题, 二.填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 填空题: ( 13.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c = 2a , . 、 、 、 、 , 、 、 成等比数列, . 则 cosB=

?1 ? 14.已知函数 f ( x ) 满足 f ? + 1? = lg x ,则不等式 f ( x ) > 0 的解集是 。 ?x ? 14 15. 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上, 15.若一个底面边长为 ,侧棱长为 14 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,则此 2
球的内接正方体的表面积为______________. 球的内接正方体的表面积为______________.

x2 y2 分别是其左右焦点, 16. 16.在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 中, F1 , F2 分别是其左右焦点,若 PF1 = 2 PF2 ,则该 a b

椭圆离心率的取值范围是_____________. 椭圆离心率的取值范围是_____________. _____________ 解答题: (本大题共 小题, 解答应写出文字说明, 三.解答题: 本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ) ( 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.) 17 ( 12 ) . 本 小 题 满 分 分 已 知

x x x? x x x? ? ? AC = ? cos + sin ,? sin ?, BC = ? cos ? sin ,2 cos ? , 设 f (x) = AC ? BC (1). 2 2 2? 2 2 2? ? ? 的最小正周期和单调递减区间; 求 f ( x) 的最小正周期和单调递减区间; ? π π? (2)设关于 x 的方程 f ( x) = a 在 ?? , ? 有两个不相等的实数根,求 a 的取值范围 设 有两个不相等的实数根 范围. ? 2 2?

18. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查, 某网站就观众对 2010 年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查,其中持各种态度的 人数如下表: 人数如下表: 喜爱程度 喜欢 一般 不喜欢 人数 560 240 200 的样本, (1)现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取了一个容量为 n 的样本, ) 的值为多少? 已知从不喜欢小品的观众中抽取的人数为 5 人,则 n 的值为多少? 名为女性, (2)在(1)的条件下,若抽取到的 5 名不喜欢小品的观众中有 2 名为女性,现将抽取 ) )的条件下, 从中任选两名观众 名观众, 到的 5 名不喜欢小品的观众看成一个总体 ,从中任选两名观众,求至少有一名为 女性观众的概率. 女性观众的概率 如图, 中点, 19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 A—BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 本小题满分 — ⊥ , ⊥ , 中点, 为正三角形. 为 PB 中点,且△PMB 为正三角形. 求证: //平面 (Ⅰ)求证:DM//平面 APC; // ; (Ⅱ)求 证:平面 ABC⊥平面 APC; ⊥ ; =4, =20 =20, 的体积. (Ⅲ)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积. =4 —

3 2 20. (本小题满分 20. 本小题满分 12 分) 设 f ( x) = ax + bx + cx 的极小值为 ?8 ,其导函数 y = f ′( x) 的 (

图像开口向下且经过点 ( ?2 , 0) , ( , 0) . 的解析式; (Ⅱ 有唯一实数解, 的取值范围. ( (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; Ⅱ)方程 f ( x) + p = 0 有唯一实数解,求 p 的取值范围.
2 恒成立, 的取值范围. (Ⅲ)若对 x ∈ [-3,3] 都有 f ( x ) ≥ m ? 14m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2 3

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :
(1)求椭圆的方程; )求椭圆的方程;

x2 y 2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,过焦点且 2 2 a b 垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 1 ,过点 M (3, 0) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,
为坐标原点) 且满足 OA + OB = tOP( O 为坐标原点) 当 | PA ? PB |< , (2) P 为椭圆上一点, ) 设 为椭圆上一点,

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

3

时,求实数 t 的取值范围

选做题( 22、23、 三题中任选一题做答,如果多做, 四、选做题(本小题满分 10 分。请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则 按所做的第一题记分) 按所做的第一题记分) 22. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图, 的延长线上, 如图,已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切 圆 O 于 A 点,DC 是∠ACB 的平分线并交 AE 于点 F、交 ADF=? AB 于 D 点,则∠ADF=?

23. 23.选修 4—4:坐标系与参数方程 直线 l : ?
? x = a + 4t , π ( t为参数 ),圆C : ρ = 2 2 cos(θ + ) (极轴与 x 轴的非负半轴重合,且 轴的非负半轴重合, 4 ? y = ?1 ? 2t

单位长度相同) 。 单位长度相同) 的距离; (1)求圆心 C 到直线 l 的距离; (2)若直线 l 被圆 C 截的弦长为
6 5 , 求a 的值. 的值. 5

24. 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) =| 2 x + 1 | + | 2 x ? 3 | . 的解集; (1)求不等式 f ( x ) ≤ 6 的解集; 恒成立, 的取值范围. (2)若关于 x 的不等式 f ( x ) > a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2011—2012 上学期高三期初摸底考试(文)数答案 上学期高三期初摸底考试(
一.选择 1.解析:B,由所定义的运算可知 P ⊕ Q = { ,2,3,4,5} ,∴ P ⊕ Q 的所有真子集的个数为 1

25 ? 1 = 31 .故选 B。 1? i 1 i 1 1 1 1 2. 选 B.解析: z = , z = + , z ?i = ? + i .实部 ? ,虚部 ,对应点为 2 2 2 2 2 2 2 1 1 .在第二象限,故选 B. (? , ) 2 2
3.选 B 4.选 C 5.解析:C。本题考查了等差数列的性质, 因 S3 = 3a2 ,得 a2 = 1 则 a4 = 3 , S7 = 7 a4 ,则 a4 + S7 = 8a4 = 24 6.选 D 7.选 A



S5 = 5a3 ,得 a3 = 2 ,

11.选 A 12.选 A 二、填空 13.

3 4

14.

(1,) 2

15.

56

16 . 【解析】B 根据椭圆定义 PF1 + PF2 = 2a ,将设 PF1 = 2 PF2 代入得 PF2 = 根据椭圆的几何性质,PF2 ≥ a ? c , 故 故该椭圆离心率的取值范围是 ? ,1 ? 。 三、解答

2a , 3

2a c 1 1 ≥ a ? c , a ≤ 3c , ≥ , e ≥ , e < 1 , 即 故 即 又 3 a 3 3

?1 ? ?3 ?

uuur uuu r

17. 、解:(1)由 f(x)= AC · BC 得

x x x x x x x x x x f(x)=(cos 2 +sin 2 )·(cos 2 -sin 2 )+(-sin 2 )·2cos 2 =cos2 2 -sin2 2 -2sin 2 cos 2

π

=cosx-sinx= 2 cos(x+ 4 ),

------------4 分

3π 又由 2kπ≤x+ 4 ≤π+2kπ,k∈Z,得- 4 +2kπ≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z. π 3π 故 f(x)的单调递减区间是[- 4 +2kπ, 4 +2kπ](k∈Z). -------------7 分

所以 f(x)的最小正周期 T=2π.

π

----------5 分

π

2 (2)由 f(x)= a 得 2 cos(x+ 4 )= a ,故 cos(x+ 4 )= 2 a -----------8 分 π π π 3 π 又 x∈?-2,2?,于是有 x+ ∈?-4,4π?,数形结合得 ? ? ? 4 ? 2 2 ≤ 2 2 a <1 -------11 分 ∴1 ≤ a < 2 ]
所以 a 的取值范围是[1, 2 ) -----12 分 18.解: (1)采有分层抽样的方法,样本容量与总体容量的比为 n :1000 2分

π

π

n × 200 = 5 人 则不喜爱小品观众应抽取 1000 ∴ n = 25. 5分
(2)由题意得,女性观众抽取 2 人,男性观众抽取 3 人, 设女性观众为 a1 , a2 ,男性观众为 b1 , b2 , b3 则从 5 位不喜爱小品的观众中抽取两名观众有 10 种可能:

(a1 , a2 ), (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ), (b1 , b2 ), (b1 , b3 ), (b2 , b3 ),
其中抽取两名观众中至少有一名为女性观众有 7 种可能:

8分

(a1 , a2 ), (a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ),

10 分

所以从 5 位不喜爱小品的观众中抽取两名观众,至少有一名为女性观众的概率为 ……12 分 19.解: (Ⅰ)∵M 为 AB 中点,D 为 PB 中点, ∴MD//AP, 又∴MD ? 平面 ABC ∴DM//平面 APC ……………3 分 (Ⅱ)∵△PMB 为正三角形,且 D 为 PB 中点。 ∴MD⊥PB 又由(Ⅰ)∴知 MD//AP, ∴AP⊥PB 又已知 AP⊥PC ∴AP⊥平面 PBC, ∴AP⊥BC, 又∵AC⊥BC ∴BC⊥平面 APC, ∴平面 ABC⊥平面 PAC ……………8 分 (Ⅲ)∵AB=20 ∴MB=10 ∴PB=10 又 BC=4, PC = 100 ? 16 = ∴ S ?BDC =

7 10

1 S ?PBC 2 1 1 20 2 ? 10 2 = 5 3. 又 MD = AP = 2 2 1 1 ∴VD-BCM=VM-BCD= S ?BDC ? DM = × 2 21 × 5 3 = 10 7 ………………12 分 3 3

84 = 2 21. 1 1 = PC ? BC = × 4 × 2 21 = 2 21. 4 4

20.解: (1)Q f '( x) = 3ax + 2bx + c ,且 y = f '( x) 的图象过点
2

2 2b ? ?? 2 + 3 = ? 3a ?b = 2a 2 ? (?2, 0), ( , 0) ∴ ? ?? …………2 分 3 ?c = ?4a ?? 2 × 2 = c ? 3 3a ? 3 2 ∴ f ( x ) = ax + 2ax ? 4ax , 由 图 象 可 知 函 数 y = f ( x) 在 ( ?∞, ?2) 上 单 调 递 减 , 在 2 2 (?2, ) 上单调递增,在 ( ,+∞) 上单调递减,(不说明单调区间应扣分) 3 3 3 2 ∴ f ( x )极小值 = f ( ?2) ,即 a ( ?2) + 2a ( ?2) ? 4a ( ?2) = ?8 ,解得 a = ?1
∴ f ( x) = ? x3 ? 2 x 2 + 4 x …………4 分 (2) ? p = f (x ) ,又因为 f ( x )极小值 = f ( ?2) =-8. ∴ f ( x )极大值 = f ( ) = 由图像知, ? p >

2 3

40 27

40 40 或 ? p < ?8 ,即 p < ? 或p > 8 …………8 分 27 27 2 2 (3)要使对 x ∈ [ ?3,3] 都有 f ( x ) ≥ m ? 14m 成立,只需 f ( x ) min ≥ m ? 14m 2 由(1)可知函数 y = f ( x) 在 (?3,?2) 上单调递减,在 (?2, ) 上单调递增, 3 2 在 ( ,3) 上单调递减,且 f ( ?2) = ?8 , f (3) = ?33 ? 2 × 32 + 4 × 3 = ?33 < ?8 3 ∴ f ( x) min = f (3) = ?33 …………10 分
∴ ? 33 ≥ m ? 14m ? 3 ≤ m ≤ 11 . 故所求的实数 m 的取值范围为 {m | 3 ≤ m ≤ 11}. …………12 分
2

21.解: (1) 由已知 e = 所以

c 3 c2 3 = ,所以 2 = ,所以 a 2 = 4b 2 , c 2 = 3b 2 a 2 4 a
1分

x2 y2 + 2 =1 4b 2 b

又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为 所以 b = 1
2

2b 2 =1 a

3分

所以

x + y2 = 1 4分 4 (2)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), P ( x, y )

? y = k ( x ? 3) ? 2 设 AB : y = k ( x ? 3) 与椭圆联立得 ?x 2 ? + y =1 ? 4 2 2 2 2 整理得 (1 + 4k ) x ? 24k x + 36k ? 4 = 0 ? = 24 2 k 4 ? 16(9k 2 ? 1)(1 + 4k 2 ) > 0
得k <
2

1 24k 2 36k 2 ? 4 x1 + x2 = , x1 ? x2 = 6分 5 1 + 4k 2 1 + 4k 2 uuu uuu r r 1 24k 2 OA + OB = ( x1 + x2 , y1 + y2 ) = t ( x, y ) x = ( x1 + x2 ) = t t (1 + 4k 2 )

1 1 ?6 k y = ( y1 + y2 ) = [ k ( x1 + x2 ) ? 6k ] = t t t (1 + 4k 2 )
由点 P 在椭圆上得

(24k 2 ) 2 144k 2 + 2 =4 t 2 (1 + 4k 2 ) 2 t (1 + 4k 2 )2

36k 2 = t 2 (1 + 4k 2 ) 8分 uuu uuu r r 又由 PA ? PB < 3 ,即 BA < 3
所以 AB = 1 + k
2

x1 ? x2 < 3 所以 (1 + k 2 )( x1 ? x2 ) 2 < 3

? ? (1 + k 2 ) ?( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? < 3

? 242 k 4 4(36k 2 ? 4) ? ? (1 + k 2 ) ? ? <3 2 2 1 + 4k 2 ? ? (1 + 4k )
(8k 2 ? 1)(16k 2 + 13) > 0 1 2 2 所以 8k ? 1 > 0, k > 10 分 8 1 1 2 所以 < k < 由 36k 2 = t 2 (1 + 4k 2 ) 得 8 5 2 36k 9 t2 = =9? 2 1 + 4k 1 + 4k 2 2 所以 3 < t < 4 ,所以 ?2 < t < ? 3 或 3 < t < 2
45° 22. 45° …………10 分

12 分

23. (1 23.解: 1)把 ? (

? x = a + 4t 化为普通方程为 x + 2 y + 2 ? a = 0, ? y = ?1 ? 2t

2分 4分

把 ρ = 2 2 cos(θ +

π
4

) 化为直角坐标系中的方程为 x 2 + y 2 ? 2 x + 2 y = 0, 5 |1? a | 5
5 )2 = ( 5 )2

∴ 圆心到直线的距离为
(2)由已知 (
3 5 )2 + (

6分 8分 10 分

|a ?1|

∴ a 2 ? 2a = 0 , a = 0或a = 2
24. (1 24.解: 1)原不等式等价于 (

3 3 1 ? ? 1 ? ?x > ?? ≤ x ≤ ?x < ? 或? 2 或? 2 2 2 ? ?( 2 x + 1) + ( 2 x ? 3) ≤ 6 ?( 2 x + 1) ? ( 2 x ? 3) ≤ 6 ? ? ( 2 x + 1) ? ( 2 x ? 3) ≤ 6 ? ? ?

3分 6分

解,得

3 1 3 1 < x ≤ 2或 ? ≤ x ≤ 或 ? 1 ≤ x < ? 即不等式的解集为 { x | ?1 ≤ x ≤ 2} 2 2 2 2 (2)Q| 2 x + 1 | + | 2 x ? 3 |≥| ( 2 x + 1) ? ( 2 x ? 3) |= 4 8 分∴ a < 4 10 分

-----------------------10 分

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