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北京市朝阳区2016届高三上学期期末考试数学(理)试题【含答案】

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北京市朝阳区 2015-2016 学年度第一学期高三期末 理科数学 2016.1 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. x ? ? ? 0 ? ,则 M N ? ( 1.已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 1? , N ? ? x | ) ? x ?1 ? A. ?x | 0 ? x ? 1? B. ?x | 0 ? x ? 1? C. ? x | x ? 0? D. ?x | ?1 ? x ? 0? 开始 m =1,i=1 2.复数 z ? i ?1 ? i ? ( i 是虚数单位)在复平面内所对应点的坐标为( A. ?1,1? B. ? ?1, ?1? C. ?1, ?1? ) D. 6 ) m=m (2-i)+1 D. ? ?1,1? 3.执行如图所示的程序框图,则输出的 i 值为( A. 3 B. 4 C. 5 i= i +1 4.在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的 200 辆 进行车速统计,统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常 行驶速度为 90km/h~120km/h,试估计 2000 辆车中,在这段时间内以正常速度通过 该处的汽车约有( A. 30 辆 C. 170 辆 ) B. 300 辆 D. 1700 辆 0.035 0.030 0.020 0.010 0.005 80 90 频率 组距 m=0? 是 输出 i 否 结束 5.“ a ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? a ? x ? cos x 在 R 上 单调递增”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 100 110 120 130 车速(km/h) ) 6.已知点 Q 2 2, 0 及抛物线 x ? 4 y 上一动点 P ? x,y ? ,则 y ? PQ 的最小值是( 2 ? ? A. 1 2 B.1 C.2 ) D.3 7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是( A.27 C.32 B.30 D.36 3 4 正视图 3 侧视图 俯视图 8. 设函数 f ? x ? 的定义域 D , 如果存在正实数 m , 使得对任意 x ? D , 都有 f ? x ? m? ? f ? x ? , 则称 f ? x ? 为 D 上的“ m 型增函数” .已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x? ? x ? a ? a (a?R ) .若 f ? x ? 为 R 上的“ 20 型增函数” ,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 0 B. a ? 5 C. a ? 10 ) D. a ? 20 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? ?? ? ?1 的最小正周期是 6? ,最小值是 . ?x ? y ? 2 ? 10.若 x、 y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 , z ? x ? y 的最大值为 ?y ?1 ? . 11.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a2 ? 2 ,则 a1 ? 2a3 的最小值是 . 12.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间,甲同学不与老师 相邻,则不同站法种数为 2 . 2 13.已知 A、B 为圆 C : ? x ? m ? ? ? y ? n ? ? 9 ? m、n ? R ? 上两个不同的点( C 为圆心) ,且满足 CA ? CB ? 2 5 ,则 AB ? . 14.已知点 O 在 ?ABC 的内部,且有 xOA ? yOB ? zOC ? 0 ,记 ?AOB、? BOC、 ? AOC 的面积分别 为 S?AOB,S?BOC,S?AOC . 若 x ? y ? z ?1, 则 S?AOB : S?BOC : S?AOC ? 则 S?AOB : S?BOC : S?AOC ? . ; 若 x ? 2, y ?3 , z?4 , 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 某中学高一年级共 8 个班,现从高一年级选 10 名同学组成社区服务小组,其中高一(1)班选取 3 名 同学,其它各班各选取 1 名同学.现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到社区老年中心参加“尊老爱 老”活动(每位同学被选到的可能性相同). (Ⅰ)求选出的 3 名同学来自不同班级的概率; (Ⅱ)设 X 为选出同学中高一(1)班同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 16. (本小题满分 13 分) 2 ? 7 如图,在 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上, ?CAD ? ,AC ? , cos ?ADB ? ? . 4 2 10 (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)若 BD ? 5 ,求 ?ABD 的面积. 17. (本小题满分 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,且 ?DAB ? 60? .点 E 是棱 PC 的中点,平面 ABE 与棱 PD 交于点 F . (Ⅰ)求证: AB ∥ EF ; (Ⅱ)若 PA ? PD ? AD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ,求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余弦 值. P F D A E C B 18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x ,其中 a ? R . (Ⅰ)若 f ? x ? 在区间 ?1, 2? 上为增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? ?e 时, ①证明: f ? x ? ? 2

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