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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.1 归纳与类比课件 文

时间:2016-04-24


第十二章

推理与证明、 算法初步与复数

12.1

归纳与类比

-3-

考纲要求:1.了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推 理,体会合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的含义, 了解合情推理和演绎推理的联系和差异. 3.掌握演绎推理的“三 段论”,能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.

-4-

1.合情推理

归纳推理 由某类事物的部分对象具有某 些特征,推出该类事物的全部 定 对象都具有这些特征的推理, 义 或者由个别事实概括出一般结 论的推理 特 由部分到整体、由个别到一般 点 的推理

类比推理 由两类对象具有某些类似 特征和其中一类对象的某 些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊的推理

-5-

1.合情推理 (1)归纳推理:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类 事物中每一个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推 理.简言之,归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理. 归纳推理的基本模式:a,b,c∈M且a,b,c具有某属性, 结论:任意d∈M,d也具有某属性. (2)类比推理:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础 上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他 特征,我们把这种推理过程称为类比推理.简言之,类比推理是由 特殊到特殊的推理. 类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d;B:具有属性:a',b',c';结 论:B具有属性d'.(a,b,c,d与a',b',c',d'相似或相同)

-6-

(3)合情推理:根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有 的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推 理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理. 2.演绎推理 (1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们 把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推 理. (2)“三段论”是最常见的一种演绎推理形式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情况; ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

-7-

1 2 3 4 5 6

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正 确. ( × ) (2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理. ( × ) (3)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种合情推 理. ( √ ) (4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理. ( × ) (5)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确. (× )

-8-

1 2 3 4 5 6

2.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的 同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所 有班人数超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 1 1 a = + D.在数列{an}中,a1=1,an= n (n≥2,n∈N+),由此 -1
2

归纳出{an}的通项公式

-1

关闭

A
答案

-9-

1 2 3 4 5 6

3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复 数集): ①“若a,b∈R,则a-b=0?a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0?a=b”; ②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d∈Q,则a+b √2=c+d √2 ?a=c,b=d”; ③若“a,b∈R,则a-b>0?a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0?a>b”. 其中类比结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
关闭

①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.
关闭

C 解析 答案

-10-

1 2 3 4 5 6

4.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( ) A.28 B.32 C.33 D.27

关闭 关闭

B 5 -2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12,所以x=32. 解析 答案

-11-

1 2 3 4 5 6
1 1 1 9 5.在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立;在四边形 ABCD 中,不 π 1 1 1 1 16 1 1 等式 + + + ≥ 成立;在五边形 ABCDE 中,不等式 + + 2π 1 1 1 25 + + ≥ 成立.猜想,在 n 边形 A 1A2…An 中,成立的不等式 3π

为 .

关闭

∵9=32,16=42,25=52,且 1=3-2,2= 4-2,3=5-2,…,∴在 n 边形 A1A2…An
中,有不等式
1 1

1

+

1 2

+…+

1 1


+


1 2

+… +
2

1

( -2)π

(n≥3)
解析 答案





2

( -2)π

(n≥3)成立.

关闭

-12-

1 2 3 4 5 6

6.(2015陕西,文16)观察下列等式

1- =

1 2

1 2

1 1 1 1- + ? 2 3 4 1 2 1 3 1 4

=

1 1 + 3 4 1 5 1 6 1 4 1 5 1 6

1- + ? + ? = + +

…… -1 1 经观察知,第 n 个等式的左侧是数列 (-1) · 的前 2n 项和,而右侧 据此规律,第n个等式可为 . 1 1 1 1 1 是数列 的第 n+1 项到第 2n 项的和,故为 1- + ? +…+ ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 +1 +2 2-1 2

关闭

1- = + ?++…+…+ ? . = + +…+ 2 3 4 2 +1 +2 2
解析 答案

1

1

1

2

3

4

2-1

关闭

-13-

1 2 3 4 5 6

自测点评 1.合情推理包括归纳推理和类比推理,其结论是猜想,不一定正确, 若要确定其正确性,则需要证明. 2.在进行类比推理时,要从本质上去类比,只从一点表面现象去类 比,就会犯机械类比的错误. 3.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前 提与推理形式是正确的,结论必定是正确的.若大前提或小前提错 误,尽管推理形式是正确的,则所得结论也是错误的. 4.合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论的推理.

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1归纳推理 例1如图是按一定规律排列的三角形等式表,现将等式从左至右, 从上至下依次编上序号,即第一个等式为20+21=3,第二个等式为 20+22=5,第三个等式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式 为21+23=10,……,依此类推,则第99个等式为( ) 20+21=3 关闭 0+22=5 1+22=6 2 2 依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中的等式的规律为:第一行为3(0,1);第二行为 20+23=9 21+23=10 22+23=12 5(0,2),6(1,2);第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为 20+24=17 21+24=18 22+24=20 23+24=24 17(0,4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);……,又因为99=(1+2+3+…+13)+8,因此第 …… 7+214=16 512,故选 99A.2 个等式应位于第 14行的从左至右的第 8 个位置 , 即是 2 7+213=8 320 7 14 B.2 +2 =16 512 关闭 B. B C.28+214=16 640 D.28+213=8 448
解析 答案

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何进行归纳推理? 解题心得:归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象,因而在进 行归纳推理时,首先观察题目给出的特殊数或式的变化规律(如本 例中,要观察各行出现的等式个数的变化规律,每个等式左边第一 个指数和第二个指数的变化规律);然后用这种规律试一试这些特 殊的数或式是否符合观察得到的规律,如果不符合,应继续寻找规 律,如果符合,则可运用此规律推出一般结论.

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 (1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多 (+1) 1 2 1 边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为 2 = 2n +2n. 记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数 的表达式: 1 1 三角形数:N(n,3)= n2+ n,

正方形数:N(n,4)=n2,
3 2

2

2

五边形数:N(n,5)= n2- n,
关闭 六边形数:N(n,6)=2n 2-n, 1 1 2 由题意可得 N ( n , k ) =a n +b n ( k ≥ 3), 其中数列 { a } 是以 为首项 , 为公 k k k …… 2 2 可以推测N( . 差的等差数列 . n,k)的表达式,由此计算N(10,24)= 1 1 数列{bk}是以 为首项,- 为公差的等差数列. 关闭 2 2 1000 则 N(n,24)=11n 2-10n,当 n=10 时 ,N(10,24)=11×102-10×10= 1 000.

1 2

解析

答案

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)观察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, …… 照此规律,第n个等式为

.
关闭

各式中等号左边规律明显,等号右边数的绝对值的变化规律为 3=1+2,6=1+2+ 3,10=1+ 2+3+4,由此可推测第 n 个等式右边的数为 1+2+3+…+n,所以第 n 个式子为 关闭
+ 1 + 2 n+ n+ 2 2+… +(-1) 1 n 1 = (1) -1) 122--2 222+ +3 32 -4 42 + n2= (1 () +1) 1 ( +1
2 2

.
解析 答案

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2类比推理 例2(1)已知在正△ABC中,若点P是正△ABC的边BC上一点,且点 P到另两边的距离分别为h1,h2,正△ABC的高为h,由面积相等可以得 到h=h1+h2;则在正四面体A-BCD中,若点P是正四面体A-BCD的平 面BCD上一点,且P到另三个面的距离分别为h1,h2,h3,正四面体ABCD的高为h,则( ) A.h>h1+h2+h3 B.h=h1+h2+h3 C.h<h1+h2+h3 D.h1,h2,h3与h的关系不定
关闭

由类比方法可知,平面上的面积类比空间中的体积,可得h=h1+h2+h3,故选

B.
B 解析

关闭

答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)(2015贵州六校联考)在平面几何中,△ABC的内角C的平分线 CE分AB所成线段的比为 = .把这个结论类比到空间:在三棱锥 A-BCD中(如图),平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则得 到类比的结论是 .

关闭

由平面中线段的比类比转化为空间中面积的比可得




=

△ △

.
关闭

=

△ △

解析

答案

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何进行类比推理? 解题心得:在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意 方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角 形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,低维对应高 维,等差数列对应等比数列等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条 边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对 应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方等等.

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 (1)(2015西安模拟)若数列{an}是等差数列,则数列 1 + 2 + … + {bn} = 也为等差数列.类比这一性质可知,若正 项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为 ( )
1 +2+…+ 1 · 2 · …· A.d B.dn= n= 方法一 :由题意可知 ,商类比开方 ,和类比积 ,算术平均数可以类比几 n n 何平均数 , n cn 1 +c2 +…+cn C.dn= D.dn= 1 · 2 · …· nn= √c1 · 故 dn 的表达式为 d c2 · …· cn .
关闭

方法二:若 {an}是等差数列,则 a1+a2+…+an=na1+

n (n -1) 2

d,
n -1 2

∴bn=a1+

(n -1) 2

d= n+a1- ,即 {bn}为等差数列;若 {cn}是等比数列 ,
2 2

d

d

则 D {d }为等比数列 . 即 n

n 1+ 2+… +(n-1) n c1· c2· …· cn=c1 · q = c1

·q

n (n -1 ) 2

,∴dn= √c1 · c2 · …· cn =c1·
解析



,

关闭

答案

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)在平面几何里,“若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r, 1 则三角形面积为S△ABC= 2 (a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若 四面体A-BCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r, 则四面体的体积为 ”.

关闭

三角形的面积类比四面体的体积,三角形的边长类比四面体四个面 1 的面积,内切圆半径类比内切球的半径.二维图形中 类比为三维图 形中的 ,得= (S1+S2+S3+S (S1+S2+S3+S4)r. V 四面体 A-BCD 3 3 4)r
3

1

1 四面体 A-BCD= V

1

2

关闭

解析

答案

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3演绎推理

例 3 数列{an}的前 n
N*).求证:


+2 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= Sn(n∈

(1)数列 是等比数列; (2)Sn+1=4an.

证明 :(1)∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=

+2

Sn,

∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),
即 nSn+1=2(n+1)Sn. +1 ∴ =2· . (小前提 ) 又 =1≠0, (小前提) 故
1 +1 1

是以 1 为首项 ,2 为公比的等比数列 . (结论 )

(大前提是等比数列的定义,这里省略了)

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)由(1)可知

+1

则 Sn+1=4(n+1)· =4· · Sn-1=4an(n≥2). 又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+ 3=4=4a1, ∴对于任意正整数 n,都有 Sn+1=4an.
-1 -1

+1 -1 -1 +1

=4· -1(n≥2),



-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:三段论推理的依据是什么? 解题心得:三段论的依据及应用时的注意点: (1)演绎推理的一般模式为三段论,三段论推理的依据是:如果集 合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具 有性质P. (2)应用三段论的注意点:解决问题时,首先应该明确什么是大前 提,小前提,然后再找结论.

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,关闭 证明 :同位角相等 ,两条直线平行 , (大前提 ) 且DE ∥BA. 求证:ED=AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和 BFD 与 ∠A 是同位角 ,且 ∠BFD=∠A, (小前提 结论∠ ,并最终把推理过程用简略的形式表示出来 ). ) 所以 DF∥EA. (结论 ) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 , (大前提) DE∥BA,且 DF∥EA, (小前提 ) 所以四边形 AFDE 为平行四边形 . (结论 ) 平行四边形的对边相等 , (大前提 ) ED 和 AF 为平行四边形的对边 , (小前提) 所以 ED=AF. (结论 ) 上面的证明可简略地写成 : ∠ = ∠? ∥ ?四边形 AFDE 是平行四边形 ∥ ?ED=AF.
答案

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.合情推理与演绎推理的区别 (1)归纳是由特殊到一般的推理; (2)类比是由特殊到特殊的推理; (3)演绎推理是由一般到特殊的推理; (4)从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;而 演绎推理若前提和推理形式正确,得到的结论一定正确. 2.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现 结论.在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路 与方向.数学结论的证明主要通过演绎推理来进行. 3.“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确,且小前提是大 前提的子集关系,这样经过正确推理,才能得出正确结论.

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.演绎推理常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性, 书写格式的规范性. 2.合情推理中运用猜想时不能凭空想象,要有猜想或拓展依据.


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