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高中数学第二章推理与证明章末综合检测新人教A版选修1-2

时间:2018-08-01


【优化方案】 高中数学 第二章 推理与证明章末综合检测 新人教 A 版选修 1-2
(时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.(2014· 天津和平区高二期中)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是 ( ) ①与已知条件矛盾;②与假设矛盾;③与所证结论矛盾;④与定义、定理、公理、法则矛盾; ⑤与事实矛盾. A.①③④⑤ B.①②④⑤ C.①②③⑤ D.①②③④ 解析:选 B.矛盾是可以与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、定理、公理、法则、 事实矛盾等,故选 B. 1 2.(2014· 天津耀华中学高二期中)“因为指数函数 y=ax 是增函数(大前提),而 y=( )x 是指 3 1 数函数(小前提),所以函数 y=( )x 是增函数(结论)”. 3 上面推理的错误在于( ) A.大前提错误导致结论错 B.小前提错误导致结论错 C.推理形式错误导致结论错 D.大前提和小前提错误导致结论错 解析:选 A.因为函数 y=ax 的增减性受 a 影响,当 a>1 时,函数 y=ax 为增函数,而 0<a<1 时,函数 y=ax 为减函数,故大前提错. 3.(2014· 成都高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一排:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2), (3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)…,则第 66 个“整数对”是( ) A.(7,5) B.(5,7) C.(2,10) D.(11,1) 解析:选 D.由条件可知,“整数对”中,两数字和为 2 的 1 个“整数对”,和为 3 的两个,和为 4 的 3 个,和为 5 的 4 个,由 + 2 + 2 =66,得 n=11,又 n=10 时,

=55,又 66-55=11,

所以第 66 个整数对应为(11,1). 4 .由 “ 正三角形的内切圆切于三边的中点 ” 可类比猜想 “ 正四面体的内切球切于四个面 ________”.( ) A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点 解析:选 C.正三角形的边对应正四面体的面, 即正三角形所在的正四面体的侧面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中

1

心.故选 C. 5.(2014· 台州高二检测)用反证法证明“方程 ax2+bx+c=0(a≠0)至多有两个解”的假设中, 正确的是( ) A.至多有一个解 B.有且只有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 解析:选 C.“至多 n 个”的反设应为“至少 n+1 个”,故选 C. 6.(2014· 广大附中高二期中)某演绎推理的“三段”分解如下. ①(250-1)不能被 2 整除 ②一切奇数都不能被 2 整除 ③(250-1)是奇数 按照演绎推理的三段论模式排序正确的是( ) A.①→②→③ B.③→②→① C.②→①→③ D.②→③→① 解析:选 D.根据三段论的模式,大前提→小前提→结论.故选 D. 1 7.(2014· 襄阳高二检测)已知 x>0,由不等式 x+ ≥ x 2 1 4 x x 4 x· =2,x+ = + + ≥ x x2 2 2 x2 3 xx 4 a · · =3,…,可以推出结论:x+ ≥n+1(n∈N*),则 a=( 2 2 x2 xn )

3

A.2n B.3n C.n2 D.nn 解析:选 D.由两个不等式的结构特点知, a x x x a x+ = + n +…+ + ≥ xn n n 个 n xn n+1 x x n+1 a x a · ·…· · =(n+1) =n+1. nn n xn nn

(n+1)

所以 a=nn. 8.(2014· 遵义高二检测)对于直角坐标系内任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),定义运算 P1 ?P2=(x1,y1)?(x2,y2)=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1),若 M 是与原点相异的点,且 M?(1,1) =N,则∠MON=( ) 3 π A. π B. 4 4 π π C. D. 2 3 解析:选 B.设 M(x0,y0)且 x0≠0,y0≠0, 由 M?(1,1)=N,得 N(x0-y0,x0+y0), → → OM· ON 所以 cos∠MON= → → |OM||ON| = x2 0+y2 0 x2 0+y2 0· - + + = 2 , 2

2

π 所以∠MON= . 4 9.(2014· 济宁高二期中)下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,由 an=2n-1,求出 S1=12,S2=22,S3=32,…,推断 Sn=n2 B.由 f(x)=xcos x 满足 f(-x)=-f(x)对?x∈R 都成立,推断 f(x)=xcos x 为奇函数 x2 y2 C.由圆 x2+y2=r2 的面积 S=πr2 推断:椭圆 + =1(a>b>0)的面积 S=πab a2 b2 D.由(1+1)2>21,(2+1)2>22,(3+1)2>23,…,推断对一切正整数 n,(n+1)2>2n 解析:选 A.A 正确. B 是利用定义推出 f(x)=xcos x 是奇函数. C 是类比推理,D 是归纳推理,但不正确. 10. 已知 f(x)=x3+x, a, b, c∈R, 且 a+b>0, a+c>0, b+c>0, 则 f(a)+f(b)+f(c)的值( ) A.一定大于零 B.一定等于零 C.一定小于零 D.正负都有可能 解析:选 A.因为 f(x)=x3+x 为奇函数且在(-∞,+∞)上单调递增, 所以 a+b>0 时,a>-b,有 f(a)>f(-b)=-f(b). a+c>0 时,c>-a,有 f(c)>f(-a)=-f(a), b+c>0 时,b>-c,有 f(b)>f(-c)=-f(c), 所以 f(a)+f(b)+f(c)>-f(a)-f(b)-f(c), 从而 f(a)+f(b)+f(c)>0.故选 A. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 11.已知 x,y∈R,且 x+y>2,则 x,y 中至少有一个大于 1.在用反证法证明时,假设应为 ________. 答案:x,y 均不大于 1(或 x≤1 且 y≤1) 12.(2013· 高考陕西卷)观察下列等式: 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 … 照此规律,第 n 个等式可为________. 解析:分 n 为奇数、偶数两种情况.第 n 个等式的左边为 12-22+32-…+(-1)n+1n2. 当 n 为偶数时,分组求和:(12-22)+(32-42)+…+[n-1)2-n2]=- 当 n 为奇数时, (12-22)+(32-42)+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2 =- - 2 +n2= + 2 . + 2 .

综上,第 n 个等式为:12-22+32-…+(-1)n+1n2 = - 2 +1 n(n+1). - 2 +1 n(n+1)

答案:12-22+32-…+(-1)n+1n2=

3

a11+a12+…+a20 13.已知等差数列{an}中,有 10 a1+a2+…+a30 = ,则在等比数列{bn}中.会有类似的结论________. 30 解析:由等比数列性质可知 b1b30=b2b29=…=b11b20, ∴ 10 b11b12…b20= 10 30 b1b2…b30. 30 b1b2…b30

答案:

b11b12…b20=

a-b+mb b+2c-mc 14. 已知 a、 b、 c、 m∈R, 且满足 a< <b< <c, 则 m 的取值范围为________. m 3-m a-b+mb b+2c-mc 解析:∵a< <b< <c, m 3-m ∴ - m - >0 且 - 3-m - >0,

b-c <0. 3-m ∵a<b<c, ∴b-a>0,b-c<0. m-1 m-2 1 ∴ >0, <0, >0. m 3-m 3-m ∴m<0 或 1<m<2, ∴m 的取值范围为(-∞,0)∪(1,2). 答案:(-∞,0)∪(1,2) 15.给出下列不等式: b2 ①a>b>0,且 a2+ =1,则 ab>a2b2; 4 a2+b2 ②a,b∈R,且 ab<0,则 ≤-2; ab a+m a ③a>b>0,m>0,则 > ; b+m b 4 x+ ?≥4(x≠0). ④? ? x? 其中正确不等式的序号为________. b 解析:①a>b>0,所以 a≠ , 2 b2 所以 a2+ =1>2 4 b2 a2· =ab, 4

所以 1-ab>0,所以 ab-a2b2=ab(1-ab)>0, 所以 ab>a2b2 正确. a2+b2 ② +2= ab + ab ,

因为 ab<0,(a+b)2≥0,
4

a2+b2 所以 ≤-2,②正确; ab a+m a ③ - = b+m b - + ,

因为 a>b>0,m>0, 所以 b(b+m)>0,b-a<0, 所以 - + <0,

a+m a 所以 < ,③不正确. b+m b 4? 4 ④? ?x+x?=|x|+|x|≥4,④正确. 答案:①②④ 三、解答题(本大题 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答应写出必要的文字说明,证明过 程或演算步骤) 16.用反证法证明:若 a>b>0,则 a> b. 证明:假设 a不大于 b,即 a≤ b, 即 a< b或 a= b, ∵a>0,b>0,且 a< b, ∴( a)2<( b)2, ∴a<b. 又由 a= b,得 a=b. 这些都与已知条件 a>b>0 矛盾, ∴ a> b. 17.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图①、②、③、④为她们的刺绣中最简单的四个 图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小 正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f(5); (2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式, 并根据你得到的关系式求 f(n)的表达式. 解:(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4× 4=41. (2)∵f(2)-f(1)=4=4× 1. f(3)-f(2)=8=4× 2, f(4)-f(3)=12=4× 3, f(5)-f(4)=16=4× 4. 由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(2)-f(1)=4× 1,
5

f(3)-f(2)=4× 2, f(4)-f(3)=4× 3, …… f(n-1)-f(n-2)=4(n-2), f(n)-f(n-1)=4(n-1), ∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)] =2n(n-1), ∴f(n)=2n2-2n+1. 18.用分析法证明:若 a>0,则 证明:要证 只需证 1 1 a2+ - 2≥a+ -2. a2 a

1 1 a2+ - 2≥a+ -2, a2 a

1 1 a2+ +2≥a+ + 2. a2 a

因为 a>0, 所以两边均大于零,因此只需证 ( 1 1 a2+ +2)2≥(a+ + 2)2, a2 a 1 1 a2+ ≥a2+2+ +2+ a2 a2

1 只需证 a2+ +4+4 a2 1? 2 2? ?a+a?, 只需证

1 1 2 a+ ?, a2+ ≥ ? a2 2 ? a?

1 1 1 a2+ +2?, 只需证 a2+ ≥ ? a2 ? a2 2? 1 即证 a2+ ≥2, a2 它显然成立, 所以原不等式成立. 19.(2014· 泰州高二期中)先解答(1),再通过结构类比解答(2). π π (1)请用 tan x 表示 tan(x+ ).并写出函数 y=tan(x+ )的最小正周期. 4 4 1+ (2)设 x∈R,a 为非零常数,且 f(x+2a)= 1- 试问 f(x)是周期函数吗?证明你的结论. π 解:(1)tan(x+ )= 4 π tan x+tan 4 1+tan x = , π 1-tan x 1-tan xtan 4 .

π 所以函数 y=tan(x+ )的最小正周期为 π. 4 (2)f(x)是以 8a 为一个周期的周期函数.

6

1+ 因为 f(x+4a)=f(x+2a+2a)= 1- 1+ 1+ 1- = 1+ 1- 1- 1

+ +

=-



所以 f(x+8a)=f(x+4a+4a)=- =- - 1 1 =f(x).

1 +

所以 f(x)是周期函数,其中一个周期为 8a. 20.已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27, S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式. (2)记 Tn=anb1+an-1b2+…+a1bn,n∈N*,证明 Tn+12=-2an+10bn(n∈N*). 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.
? ? ?2+3d+2q3=27, ?d=3, 由条件,得方程组? 解得? ?8+6d-2q3=10, ?q=2. ? ?

所以 an=3n-1,bn=2n,n∈N*. (2)证明:由(1)得 Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,① 2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1.② 由②-①,得 Tn=-2(3n-1)+3× 22+3× 23+…+3× 2n+2n+2= -6n+2 =10× 2n-6n-10, 而-2an+10bn-12 =-2(3n-1)+10× 2n-12 =10× 2n-6n-10, 故 Tn+12=-2an+10bn,n∈N*. -2n- 1-2 +2n+2

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