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2015-2016学年高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及其应用(一)课件 新人教A版必修4

时间:2015-12-12

第一章
1.2

三角函数

任意角的三角函数

1.2.1 任意角的三角函数的定义及其应用(一)

题型1 利用三角函数的定义求三角函数值
例1 已知角α的终边过点P(-3,2),求sin α,cos

α,tan α的值. 分析:本题考查角α的三角函数值,已知x=-3,y =2,先求出r,然后根据三角函数的定义求解.

解析:∵x=-3,y=2,∴r= (-3)2+22= 13, 2 2 y ∴sin α= = = 13, r 13 13

3 2 2 x -3 y cos α= = =- 13,tan α= = =- . r x -3 13 3 13

点评: (1) 解已知角 α 的终边在直线上的问题时,

常用的解题方法有两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标, 然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角 函数值.

②注意到角的终边为射线, 所以应分两种情况处理, 取射线上任 意一点坐标(a,b),则对应角的正弦值 sin α= a α= 2 2 . a +b (2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的 实际情况对参数进行分类讨论. b 2 2,余弦值 cos a +b

?跟踪训练 1.在平面直角坐标系中,若角 α 终边经过点 P(-3,4),则 cos α 的值为 (B) A.- 4 3 3 4 B.- C. D. 5 5 5 5

解析: ∵x=-3,y=4,∴r= (-3)2+42=5, 3 x -3 ∴cos α= = =- ,故选 B. r 5 5

2. 已知角α的终边落在直线 y=2x上,求 sin α, cos α,tan α的值. 分析: 因为角α的终边是一条射线,故应分两种 情况进行讨论.可在直线上取一特殊点转化成例

1类似的问题,进而求解.
解析: 当角 α 的终边在第一象限时,角 α 的终边 上取点P(1,2),

∵x=1,y=2,∴r= 12+22= 5, 5 y 2 2 x 1 ∴sin α= = = 5,cos α= = = , r r 5 5 5 5

y 2 tan α= = =2.当角 α 的终边在第三象限时,角 α 的终 x 1 边上取点 Q(-1,-2), ∵x=-1,y=-2,∴r= (-1)2+(-2)2= 5, 2 5 y -2 x -1 ∴sin α= = =- 5,cos α= = =- , r r 5 5 5 5 y -2 tan α= = =2. x -1

题型2 应用诱导公式(一)进行简化、求值
例 2 求下列各三角函数的值: (1)cos(-1 050°);
? 31 ? (2)sin?- 4 π ?. ? ?

解析:(1)∵-1 050°=-3×360°+30°, ∴-1 050°角与 30°角的终边相同, 3 ∴cos(-1 050°)=cos(-3×360° +30°)=cos 30°= . 2

π 31 (2)∵- π=-4×2π+ , 4 4 π 31 ∴- π角与 角的终边相同, 4 4
? π ? 31 ? π? 2 ? ? ? ? ∴sin - 4 π =sin -4×2π+ =sin = . 4 2 ? ? 4? ?

点 评 : 解 答 此 类 问 题 的 方 法 是 先 把 已 知 角 化 归 到 2k π + α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,再利用诱导公式(一)化简求值.

?跟踪训练
? 11 ? 9 3.求值:cos π +tan?- 6 π ?=________. 4 ? ? ? π? 9 2 解析:∵cos π=cos?2π+ ?= , 4 4? 2 ? ? π ? 11 ? π? 3 tan?- 6 π?=tan?-2π+ ?=tan = , 6 3 ? ? 6? ? ? 11 ? 9 2 3 ? ? - π ∴cos π+tan = + . 4 2 3 ? 6 ?

2 3 答案: + 2 3

题型3 判断三角函数值的符号问题
例3 (1) 若 角 α 分 别是 第 二 、 三 、 四 象 限 角 , 则 点

P(sin α , cos α) 分 别 落 在 第 ________ 、 ________ 和

________象限.
解析:当角α是第二象限角时,sin α>0,cos α<0,则 点P(sin α,cos α)在第四象限; 当角α是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,则点P(sin α,cos α)在第三象限;

当角 α 是第四象限角时,sin α<0,cos α>0,则点 P(sin α, cos α)在第二象限. 答案:四 三 二

(2)依据三角函数线,作出如下四个判断:
? π? π 7π π π 3π ? ? ① sin = sin ; ②cos = cos - ; ③tan >tan ; 6 6 4 8 8 ? 4?

3π 4π ④sin >sin . 5 5

其中判断正确的有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

)

解析 :在平面直角坐标系中作单位圆,依次作相

关角的三角函数线,由图象可知:

? π? π 7π π π 3π sin ≠sin ,cos =cos?- ?,tan <tan , 6 6 4 8 8 ? 4?

3π 4π sin >sin , 5 5 ∴序号②④判断正确,答案选 B. 答案:B 点评:此类问题的关键在于牢记各象限内的三角 函数值的符号,尤其是以弧度制给出角时,判断 角所在的象限位置特别重要.

?跟踪训练 4.判断下列各三角函数值的符号: sin 3,cos 4,tan 5. π 3π 3 解析: ∵ <3<π,π<4< π, <5<2π, 2 2 2 ∴sin 3>0,cos 4<0,tan 5<0.


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