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2011年浙江省高中数学竞赛试题与解答

时间:2011-05-03


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2011 年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
说明:本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22题组成,即 10 道选择题,7 道填 空题、3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道解答题。 一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入 题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 5π 3π 1. 已知 θ ∈ [ , ] ,则 1 ? sin 2θ ? 1 + sin 2θ 可化简为( D ) 4 2 A. 2sin θ B. ?2sin θ C. ?2 cos θ D. 2 cos θ 5π 3π 解答:因为 θ ∈ [ , ] ,所以 1 ? sin 2θ ? 1 + sin 2θ = cos θ ? sin θ ? cos θ + sin θ 4 2 = 2 cos θ 。正确答案为 D。
2.如果复数 ( a + 2i )(1 + i ) 的模为 4,则实数 a 的值为( C



A. 2

B. 2 2

C.

±2

D. ±2 2

解答:由题意得 2 ? a 2 + 4 = 4 ? a = ±2 。正确答案为 C。
3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ∈ A ∩ B , 命题 q: x ∈ A 或 x ∈ B , 则 p 是 q 的( B ) A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件

解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。
4. 过椭圆
x2 + y 2 = 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 45o 弦 AB,则 AB 为( 2

C



A.

2 6 3

B.

4 6 3

C.

4 2 3

D.

4 3 3

解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y = x ? 1, 代入椭圆方程得
3 x 2 ? 4 x = 0 ? x1 = 0, x2 = 4 4 2 ? AB = 2( x1 ? x2 )2 = 。正确答案为 C。 3 3 A

?1 ? 5? x 5. 函数 f ( x) = ? x ? 5 ?1

x≥0 ,则该函数为( x<0



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A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )
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2 2

2 2 2 2 3 1 1

正视图 5π 3π A. 4+ B. 4+ 2 2

侧视图 C. 4+

俯视图(圆和正方形) D. 4+ π

π
2

解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 几何体的体积为 2 × 2 ×1 + 3π ?

π
2

) ,所以该

π
2

= 4+

5π 。正确答案为 A。 2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依

次记为: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),L , ( xn , yn ),L ; 若程序运行中 输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x = ( B )
A.64 B.32 C.16 答案 经计算 x = 32 。正确答案为 B。 D. 8

8. 在平面区域 {( x, y ) | x |≤ 1,| y |≤ 1} 上恒有 ax ? 2by ≤ 2 ,则动点

P (a, b) 所形成平面区域的面积为(

A



A. 4

B.8

C. 16

D. 32

解答:平面区域 {( x, y ) | x |≤ 1,| y |≤ 1} 的四个边界点(—1,—1) , , , (—1,1)(1,—1)(1,1)满足 ax ? 2by ≤ 2 ,即有
a + 2b ≤ 2, a ? 2b ≤ 2, ? a ? 2b ≤ 2, ? a + 2b ≤ 2

由此计算动点 P (a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。

π ? π? 9. 已知函数 f ( x) = sin(2 x ? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围为( C ) 6 ? 2?
?1 ? A. ? , 1? ?2 ? ?1 ? B ? , 1? ?2 ? ?1 ? C. ? , 1? ?2 ? ?1 ? D. ? , 1? ?2 ?

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π ? π? 解答: 问题等价于函数 f ( x) = sin(2 x ? ) 与直线 y = m 在 ?0, ? 上有两个交点, 所以 m 6 ? 2?
?1 ? 的取值范围为 ? , 1? 。正确答案为 C。 ?2 ?

10. 已知 a ∈ [?1,1] ,则 x 2 + (a ? 4) x + 4 ? 2a > 0 的解为( C ) A. x > 3 或 x < 2 B. x > 2 或 x < 1 C. x > 3 或 x < 1 D. 1 < x < 3

解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a ) = ( x ? 2)a + ( x 2 ? 4 x + 4) 由 f (?1) = x 2 ? 5 x + 6 > 0, f (1) = x 2 ? 3 x + 2 > 0 ? x < 1 或 x > 3 。 正确答案为 C。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) x 11. 函数 f ( x) = 2 sin ? 3 cos x 的最小正周期为______4 π ____。 2
解答:最小正周期为 4 π 。

12. 已知等差数列 {an } 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 + a8 + a15 =____6_______.
解答:由 S15 = 30 ? a1 + 7 d = 2 ,而 a1 + a8 + a15 = 3( a1 + 7 d ) = 6 。

r r r r 13. 向量 a = (1, sin θ ) , b = (cos θ , 3) , θ ∈ R ,则 a ? b 的取值范围为 [1,3]



r r 解答: a ? b = (1 ? cos θ ) 2 + (sin θ ? 3)2 = 5 ? 2(cos θ ? 3 sin θ )
= 5 ? 4sin( ? θ ) 6

π

,其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。

14. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动

点(含端点) D 为 BC 边上的中点,且 PD ⊥ PE 。则直线 AP, PE 的夹角为_ 90o _。 , 解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以
AD⊥PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90o 。 15.设 x, y 为实数,则
5 x 2 + 4 y 2 =10 x

max ( x 2 + y 2 ) = _____4________。

解答: 5 x 2 + 4 y 2 = 10 x ? 4 y 2 = 10 x ? 5 x 2 ≥ 0 ? 0 ≤ x ≤ 2

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4( x 2 + y 2 ) = 10 x ? x 2 = 25 ? (5 ? x) 2 ≤ 25 ? 32 ? x 2 + y 2 ≤ 4 16. 马路上有编号为 1,2,3,…,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方
300 法共有___ C1710 _______种。 (用组合数符号表示) 300 解答:问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯,所以共有 C1710 种关灯方法。

17. 设 x, y, z 为整数,且 x + y + z = 3, x 3 + y 3 + z 3 = 3 ,则 x 2 + y 2 + z 2 = _3 或 57_。 解答:将 z = 3 ? x ? y 代入 x 3 + y 3 + z 3 = 3
xy = 3( x + y ) ? 9 +

得到

8 ,因为 x, y 都是整数,所以 x+ y

?x + y = 1 ?x + y = 4 ?x + y = 2 ?x + y = 8 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解;后两个方程组解得 ? ? xy = 2 ? xy = 5 ? xy = 1 ? xy = 16
x = y = z = 1; x = y = 4, z = ?5 。所以 x 2 + y 2 + z 2 = 3 或 57。

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分)
18. 设 a ≤ 2 ,求 y = ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。

解答:当 x ≤ 0, y = ?( x ? 1)2 + 1,
当 x > 0, y = ( x ? 1) 2 ? 1, 由此可知 ymax = 0 。 当 1 ≤ a ≤ 2, ymin = a ? 2a ;
2

---------------------------------- 5 分 ---------------------------------- 10 分

当 1 ? 2 ≤ a < 1, ymin = ?1 ; 当 a < 1 ? 2, ymin = ? a + 2a 。
2

---------------------------------- 17 分

19. 给 定 两 个 数 列 {x n } ,

{y n }

满 足 x0 = y 0 = 1 , xn =

x n?1 (n ≥ 1) , 2 + x n ?1

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yn =

2 y n ?1 (n ≥ 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 j n ,使得 y n = x jn 。 1 + 2 y n ?1

解答:由已知得到:
1 2 1 1 1 = 1+ ? + 1 = 2(1 + ) ? { + 1} 为等比数列,首项为 2,公比为 2, xn xn ?1 xn xn ?1 xn
所以

1 1 + 1 = 2 n +1 ? xn = n +1 。 xn 2 ?1

----------------- 5 分

( yn ?1 + 1) 2 y +1 y +1 1 1 2 又由已知, yn + 1 = ? n = ( n ?1 )2 ? 1 + = (1 + ) yn y n ?1 yn yn ?1 1 + 2 y n ?1
由1 +

n 1 1 1 = 2 ? 1+ = 2 2 ? yn = , y0 yn 2n ? 1 2

所以取 jn = 2 ? 1 即可。

n

------------------- 17 分

20. 已知椭圆

x2 y 2 + = 1, 过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A, 两点, (a, 0) 为 F1 B D 52 4 2

右侧一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 , 求 a 的值。 解答: F1 (?3, 0), 左准线方程为x = ?
25 ;AB方程为 y = k ( x + 3)(k为斜率) 。 3

? y = k ( x + 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 由 ? x 2 y 2 =1 ? + ? 25 16 x1 + x2 = ?

? (16 + 25k 2 ) x 2 + 150k 2 x + 225k 2 ? 400 = 0 得

150k 2 225k 2 ? 400 256k 2 , x1 x2 = ? ? y1 y2 = k 2 ( x1 + 3)( x2 + 3) = ? 16 + 25k 2 16 + 25k 2 16 + 25k 2
----------------------10 分

设 M (?

25 25 (3a + 25) y1 (3a + 25) y2 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 = ,同理y4 = 。 3 3 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 )
, 得



uuuur uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuu r 16 16 F1M = (? , y3 ), F1 N = (? , y4 ),由已知得 F1M ⊥ F1 N ? F1M ? F1 N = 0 3 3

256 (3a + 25) 2 y1 y2 256k 2 (3a + 25) 2 256 y3 y 4= ? , 而y 3 y 4 = ,即 ? ? =? , 整理 2 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 16 + 25k 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9

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(1 + k 2 )(16a 2 ? 400) = 0 ? a = ±5, 又a > ?3, 所以a = 5 。 --------------17 分

四、附加题(本大题共 2 小题,每小题 25 分,共计 50 分) 21. 在锐角三角形 ABC 中,∠A =

π
3

, 设在其内部同时满足 PA ≤ PB 和 PA ≤ PC 的点 P

1 的全体形成的区域 G 的面积为三角形 ABC 面积的 。证明三角形 ABC 为等边三 3 角形。

解答:做 ?ABC 的外接圆 O,做 OE ⊥ AB于E , OF ⊥ AC于F , OM ⊥ BC于M , 则 G 为四边形 A
AEOF。又

E

F

O

C B M D

1 S四边形AEOF = S ?ABC , 2 S四边形AEOF = 2 S ?AEO + 2 S ?AOF = S ?AOB + S ?AOC 3 1 所以 S ?OBC = S ?ABC 。 --------------------------10 分 3 1 由已知∠BOC = 120o , 则∠OBC = 30o ,则OM= R(R为?ABC外接圆半径) 2 3 作AD ⊥ BC于D, 则AD ≥ AO + OM = R 2 1 3R S ?ABC ≥ × BC = 3S ?OBC ,等号成立当且仅当 A、O、M 共线,即 ?ABC 为等边三角形。 2 2
--------------------------25 分

22. 设 a, b, c ∈ R + ,且 a + b + c = 3 。求证:

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a+b b+c c+a 3 + + ≥ , 2+a+b 2+b+c 2+c+a 2 并指明等号成立的条件。
n

证明:由柯西不等式

∑b
i =1

a

2 i i



(∑ ai ) 2
i =1 n

n

得到
i

∑b
i =1

a+b b+c c+a ( a + b + c + b + a + c )2 ≥ + + 2+a+b 2+b+c 2+c+a 6 + 2(a + b + c)

(1) --------------------10 分

(1)式右边的分子= 2( a + b + c ) + 2( a + b c + b + c + b a + c + a + c c + b ) = 2( a + b + c) + 2( b + b(a + c) + ac + L) ≥ 2( a + b + c) + 2( b + 2b ac + ac + L)
2 2

≥ 2(a + b + c) + 2(b + ac + a + bc + c + ab ) = 3(a + b + c) + ( a + b + c ) 2
= 3(a + b + c + 3) 。
等号成立条件是 a = b = c = 1 。结论成立。 --------------------------20 分 --------------------------25 分

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