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宿松2016_2017学年高中数学第三章直线与方程3.3.4两条平行直线间的距离教案新人教A版必修2

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3.3.4 教学 两条平行直线间的距离 1.让学生掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离. 2.引导学生构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索 目标 问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作. 教学 教学重点:点到直线距离公式的推导和应用. 重、 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立. 难点 教学 多媒体课件 准备 导入新课 点 P(0,5)到直线 y=2x 的距离是多少?更进一步在平面直角坐标系中,如果 已知某点 P 的坐标为(x0,y0),直线 l 的方程是 Ax+By+C=0,怎样由点的坐标 和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢?这节课我们就来专门研究这 个问题. 提出问题 ①已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P 到直线 l 的距离.你最容易 想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么? 教学过 ②前面我们是在 A、B 均不为零的假设下推导出公式的,若 A、B 中有一个 程 为零,公式是否仍然成立? ③回顾前面证法一的证明过程,同学们还有什么发现吗?(如何求两条平 行线间的距离) 活动: ①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x0=0,y0=0 时,d= |C| A2 ? B 2 ;(ⅱ)x0≠0,y0=0 时,d= | Ax0 ? C | A2 ? B 2 ; (ⅲ)x0=0,y0≠0 时,d= | By0 ? C | A2 ? B 2 . 观察、类比上面三个公式,能否猜想:对任意的点 P(x0,y0),d=? 1 学生应能得到猜想:d= | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 . 启发诱导:当点 P 不在特殊位置时,能否在距离不变的前提下适当移动点 P 到特殊位置, 从而可利用前面的公式?(引导学生利用两平行线间的距离 处处相等的性质,作平行线,把一般情形转化为特殊情形来处理) 证明:设过点 P 且与直线 l 平行的直线 l1 的方程为 Ax+By+C1=0,令 y=0, 得 P′( ? C1 ,0). A | A ? (? ∴P′N= C1 )?C | | C ? C1 | A ? . (*) 2 2 A ?B A2 ? B 2 ∵P 在直线 l1:Ax+By+C1=0 上, ∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|= | C ? Ax0 ? By0 | A2 ? B 2 ,. 即 d= | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 ②可以验证,当 A=0 或 B=0 时,上述公式也成立. ③ 引 导 学 生 得 到 两 条 平 行 线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 的 距 离 d= | C1 ? C2 | A2 ? B 2 . 证明: 设 P0(x0,y0)是直线 Ax+By+C2=0 上任一点, 则点 P0 到直线 Ax+By+C1=0 的距离为 d= | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 . 又 Ax0+By0+C2=0,即 Ax0+By0=-C2,∴d= | C1 ? C2 | A2 ? B 2 . 讨论结果:①已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P 到直线 l 的距 离公式为 d= | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 . ②当 A=0 或 B=0 时,上述公式也成立. 2 ③两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离公式为 d= 应用示例 例 1 求点 P0(-1,2)到下列直线的距离: (1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:(1)根据点到直线的距离公式得 d= | C1 ? C2 | A2 ? B 2 . | 2 ? (?1) ? 2 ? 10 | 2 2 ? 12 2 5 -(-1)|= . 3 3 ? 10 5 ?2 5. (2)因为直线 3x=2 平行于 y 轴,所以 d=| 点评:例 1(1)直接应用了点到直线的距离公式,要求学生熟练掌握;(2) 体现了求点到直线距离的灵活性,并没有局限于公式. 变式训练 点 A(a,6)到直线 3x-4y=2 的距离等于 4,求 a 的值. 解: | 3a ? 4 ? 6 ? 2 | 32 ? 4 2 =4 ? |3a-6|=20 ? a=20 或 a= 46 . 3 例 2 已知点 A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC 的面积. 解:设 AB 边上的高为 h,则 S△ABC= 1 |AB|·h. 2 2 2 |AB|= (3 ? 1) ? (1 ? 3) ? 2 2 , AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离. AB 边所在的直线方程为 y ? 3 x ?1 ? ,即 x+y-4=0. 1? 3 3 ?1 点 C 到 x+y-4=0 的距离为 h= | ?1 ? 0 ? 4 | 12 ? 12 ? 5 2 , 因此,S△ABC= 1 5 ×2 2 ? =5. 2 2 点评:通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解 应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练 求过点 A(-1,2),且与原点的距离等于 2 的直线方程. 2 3 解:已知直线上一点,故可设点斜式方程,再根据点到直线的距离公式,即 可求出直线方程为 x+y-1=0 或 7x+y+5=0. 例 3 求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离. 解 : 在直线 2x-7y-6=0 上任取一点 , 例如取 P(3,0), 则点 P(3,0) 到直线 2x-7y+8=0 的距离就是两平行线间的距离.因此, d= | 2?3? 7?0 ? 8 | 2 2 ? (?7) 2 ? 14 53

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