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排列组合、二项式定理知识点

时间:2016-05-04


排列组合二项定理
考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的 应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.

排列组合二项定理 知识要点
一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可 以有 重复 元素 的排列. . .. .. .. 从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排, 那么第一、第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取 出 n 个元素可重复排列数 m·m·… m = mn.. 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中,不限放法,共 有多少种不同放法? (解: m 种)
n

二、排列. 1. ? 对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同 ...... 元素中取出 m 个元素的一个排列. ? 相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相 同. ? 排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的
m 一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示.

? 排列数公式:
A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!

规定 0! = 1
m m?1 An ? nAn ?1

m m m m?1 m m?1 An ? 1 ? A n ? Am ?C n ? A n ?mA n

0 规定 C n ?C n n?1

2. 含有可重元素 的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,…...an 其中限重复数

为 n1、n2……nk,且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 n ?

n! . n1!n2 !...nk !

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个 1!2! 数?其排列个数 n ? 3! ? 1 .
3!

三、组合. 1. ? 组合: 从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. ? 组合数公式: C m n?
m

Am n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! n ? Cm n? m m! m!(n ? m)! Am
n?m n;

? 两个公式:①C n ?C

②C

m?1 m m n ?C n ?C n ?1

① 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的 唯一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同选法,
m 1 m ?1 分二类,一类是含红球选法有 C m?n ?C1 1 ?C n 一类是不含红球的选法有 C n )

② 根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时,对于某一元 素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元 素,所以有 C
m
m ?1 n ,如果不取这一元素,则需从剩余

n 个元素中取出 m 个元素,所以共有

C n 种,依分类原理有 C

m?1 m m n ?C n ?C n ?1 .

? 排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ?①几个常用组合数公式
0 1 2 n Cn ?C n ?C n ???n n ?2
0 2 4 1 3 5 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ?C n ? ? ? 2 n ?1 m m m m ?1 Cm n ? C m ?1 ? C m ? 2 ?C m ? n ?C m ? n ?1 k ?1 kC k n ? nC n ?1

1 1 ?1 Ck Ck n? n ?1 k ?1 n ?1
②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:
1 2 3 n 1 n ?1 1 1 ? ? ) ? ? ?? ? 1? (利用 n! ( n ? 1)! n! 2! 3! 4! (n ? 1)! (n ? 1)!

ii. 导数法. iii. 数学归纳法.

iv. 倒序求和法.

m?1 m C 3 ?C 4 ?C 5 ? ?C n ?C n?1 . v. 递推法(即用 C m n ?C n ?C n ?1 递推)如:

3

3

3

3

4

vi. 构造二项式. 如: (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n ) ?C 2n
0 2 1 2 n 2 n

证明:这里构造二项式 ( x ? 1) n (1 ? x) n ? (1 ? x) 2n 其中 x n 的系数,左边为
0 1 n ?1 2 n?2 n 0 0 2 1 2 n 2 ?C 2 n Cn ?C n n ?C n ?C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n ) ,而右边

n

四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ① 直接法. ② 排除法. ③ 捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再 考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成
n ?m?1 ?m?1 m 一列,要求其中某 m(m ? n) 个元素必相邻的排列有 A n n ?m?1 ? A m 个.其中 A n ?m?1 是一个“整体排

列”,而 A m m 则是“局部排列”.
2 2 又例如①有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为 An . ? An?1 1 ? A2

?1 2. ②有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 An n?1 ? A2

2 ?1 . ③有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 An ? An n?1

注:①③区别在于①是确定的座位,有 A2 种;而③的商品地位相同,是从 n 件不同商品任 2 取的 2 个,有不确定性. ④ 插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主 要解决“元素不相邻问题”.
?m m 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少? An (插 n?m ? An?m?1

空法) ,当 n – m+1≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.
2

⑤ 占位法: 从元素的特殊性上讲, 对问题中的特殊元素应优先排列, 然后再排其他一般元素; 从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先 特殊后一般”的解题原则. ⑥ 调序法: 当某些元素次序一定时, 可用此法.解题方法是: 先将 n 个元素进行全排列有 A n n 种,
m(m ? n) 个元素的全排列有 A m m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取其中的某一种

排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定, 共有
An n Am m

种排列方法.

例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? 解法一: (逐步插空法) (m+1) (m+2)…n = n!/ m! ;解法二: (比例分配法) A n / A m .
n m

⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有

n n C kn ?C ( k ?1)n n ?C n

Ak k

.

例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有

C2 4 ? 3 (平均分组 2!

就用不着管组与组之间的顺序问题了) 又例如将 200 名运动员平均分成两组, 其中两名种子 选手必在一组的概率是多少? (P?
8 2 C18 C2 10 C 20 / 2!



注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变,共 有多少种排法?有 An?m ? An?m?1 / Am ,当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.
n?m m m

2

⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题. 例如: x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一 列,在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板,把球分成 4 个组.每一种方法所得 球的数目依次为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 显然 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 ,故( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )是方程的一组解.反之, 方程的任何一组解 ( y1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ,对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式(如图
x1 x2 x3
3 11

x4 所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板

的方法数 C . 注 意 : 若 为 非 负 数 解 的 x 个 数 , 即 用 a1 , a2 , .a.n . 中 a i 等 于 xi ? 1 , 有 x1 ? x2 ? x3 ... ? xn ? A ? a1 ? 1 ? a2 ? 1 ? ...an ? 1 ? A , 进 而 转 化 为 求 a 的 正 整 数 解 的 个 数 为
n ?1 CA ?n .

⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内, 并且都排在某 r 个指定位置则有
?r A rr A k n?r .

例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固 定在)某一位置上,共有多少种排法?
?1 m 1 m?1 固定在某一位置上: Am n ?1 ;不在某一位置上: A n ? A n?1 或 An?1 ? Am?1 ? A n?1 (一类是不取出

m

m?1

特殊元素 a,有 An?1 ,一类是取特殊元素 a,有从 m-1 个位置取一个位置,然后再从 n-1 个 元素中取 m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都包含在
r k ?r k ?r k 内 。先 C 后 A 策略,排列 C rr C n ? r A k ;组合 C r C n ? r .

m

ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都不包含在
k 内。先 C 后 A 策略,排列 C n ? rk A k k ;组合 C n ? r .

iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定每个排列(或组合)都

只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略,排列 C r C n ? r A k ;组合 C r C n ? r . II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的 策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ;④正难则反,等价转化策略; ⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略; ⑦定序问题除法处理策略; ⑧分排问题直排处理的策略; ⑨“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ① 均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个数相等,不管 是否分尽,其分法种数为 A / A r (其中 A 为非均匀不编号分组中分法数).如果再有 K 组均 r 匀分组应再除以 A k . k
2 4 4 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C10 C 8 C 4 / A2 2 ? 1575.若分成
1 1 2 2 2 2 4 六组,各组人数分别为 1、1、2、2、2、2,其分法种数为 C10 C 9 C 8 C 6 C 4 C 2 / A2 2 ? A4

s

k ?s

k

s

k ?s

② 非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其 分法种数为 A ? Am m 例: 10 人分成三组,各组人数分别为 2 、 3 、 5 ,去参加不同的劳动,其安排方法为:
2 3 3 C10 ?C 8 ?C 5 5 ? A3 种.

若从 10 人中选 9 人分成三组,人数分别为 2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有
2 3 4 C 10 C 8 C 5 ? A3 3种

③ 均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其
m 分法种数为 A / Ar . r ? Am

例:10 人分成三组,人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为

2 4 4 C 10 C 8C 4 3 ? A3 A2 2

④非均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,每组元素数目均不相同,且不 考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为 A
m2 mk 1 ? Cm n C n - m1 … C n -(m1 ? m2 ?... ? mk -1 )

例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C102C 83C 5 若从 10 人中选 5 ? 2520
3 出 6 人分成三组,各组人数分别为 1、2、3,其分法种数为 C 101C 92C 7 ? 12600.

五、二项式定理.
0 n 0 1 n ?1 r n ?r r n 0 n 1. ? 二项式定理: (a ? b) n ?C n a b ?C n a b ? ? ?C n a b ? ? ?C n a b .

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ? 1项;

0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ?,C n , ?,C n n;

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. ? 二项展开式的通项.
(a ? b) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C n a
r n ?r r

b (0 ? r ? n, r ? Z ) .

? 二项式系数的性质. ① 在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ② 二项展开式的中间项二项式系数 最大. .....
n I. 当 n 是偶数时,中间项是第 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大; 2 n ?1 n ?1 II. 当 n 是奇数时, 中间项为两项, 即第 项和第 它们的二项式系数 C ? 1 项, 2 2
n ?1 n ?1 2 ?C 2 n n n

最大. ③ 系数和:
0 1 n Cn ?C n ? ? ?C n n ?2 0 2 4 1 3 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? ? ?2 n?1

附: 一般来说 (ax ? by) n (a, b 为常数) 在求系数最大的项或最小的项 时均可直接根据性质二求 ...........
? A k ? A k ?1 , ? A k ? A k ?1 或? ( A k 为T k ?1 的系数或系数 ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1

解. 当 a ? 1或 b ? 1 时,一般采用解不等式组 ? 的绝对值)的办法来求解.

?如 何 来 求 (a ? b ? c) n 展 开 式 中 含 a p b q c r 的 系 数 呢 ? 其 中 p, q, r ? N , 且 p ? q ? r ? n 把
r (a ? b ? c) n ? [(a ? b) ? c] n 视 为 二 项 式 , 先 找 出 含 有 C r 的 项 C n (a ? b) n?r C r , 另 一 方 面 在
p q r n q n?r ?q q q p q (a ? b) n?r 中 含 有 b q 的 项 为 C n?r a b ?C n?r a b , 故 在 (a ? b ? c) 中 含 a b c 的 项 为

r q p q r Cn C n?r a b c .其系数为 C nr C n ?q r?

(n ? r )! n! n! p q r ? ? ?C n C n? p Cr . r! (n ? r )! q! (n ? r ? q )! r! q! p!

2. 近似计算的处理方法. 当 a 的绝对值与 1 相比很小且 n 不大时, 常用近似公式 (1 ? a) n ? 1 ? na , 因为这时展开式的后
2 2 3 3 n n 面部分 C n a ?C n a ? ? ?C n a 很小,可以忽略不计。类似地,有 (1 ? a) n ? 1 ? na 但使用这两个

公式时应注意 a 的条件,以及对计算精确度的要求.

高中数学第十一章-概率
考试内容:
随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同时发 生的概率.独立重复试验.

考试要求:
(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. (2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的 概率。 (3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率. (4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ 次的概率.


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