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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第12章 第4节 直接证明与间接证明_图文

时间:2015-04-17

走向高考 · 数学
北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第十二章
算法初步、复数、推理与证明

第十二章

算法初步、复数、推理与证明

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第十二章
第四节 直接证明与间接证明

第十二章

算法初步、复数、推理与证明

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1

高考目标导航

3

课堂典例讲练

2

课前自主导学

4

课 时 作 业

第十二章

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第十二章

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考纲要求

命题分析

数学证明题是锻炼学生思维能力和优化人的 1.了解直接证 大脑的体操,在高考中占据重要地位,除在立体几 明的两种基本方法— 何中考查空间位置关系的判定外,还常与函数,数 —分析法和综合法; 列、圆锥曲线等相结合进行考查,要求学生具备较 了解分析法和综合 强的逻辑思维能力、推理论证能力和综合能力以及 法的思考过程、特 化归与转化思想.本节在高考中一般不会直接命 点. 题,往往是以其他知识为载体作为一种方法考查相 2.了解间接证 关内容. 明的一种基本方法— 预计2016年高考对本节知识的考查主要是导 —反证法,了解反证 数及其应用,不等式及其证明,数列的递推公式及 法的思考过程、特 通项公式,题型多为解答题,分值约为12分.与数 点. 列知识结合命题的机会较大,主要考查不等式的放 缩.

第十二章

算法初步、复数、推理与证明

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课前自主导学

第十二章

算法初步、复数、推理与证明

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1 .直 接 证 明 是 从 命 题 的 条 件 或 结 论 出 发 , 根 据 已 知 的 定 义 、 公 理 、 定 理 、 法 则 等 , 直 接 推 证 结 论 的 真 实 性 . 2.综 合 法 从 命 题 的 条 件 出 发 , 利 用 定 义 、 公 理 、 定 理 及 运 算 法 则 , 通 过 演 绎 推 理 , 一 步 一 步 地 接 近 要 证 明 的 结 论 , 直 到 完 成 命 题 的 证 明 , 把 这 样 一 种 思 维 方 法 称 为 综 合 法 . 综 合 法 是 一种

由因导果 _ _ _ _ _ _ _ _ 的 证 明 方 法 .
综 合 法 的 证 明 步 骤 用 符 号 表 示 是 : P0(已 知 )?P1?P2??Pn(结 论 ).
第十二章 算法初步、复数、推理与证明

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3.分 析 法 从 求 证 的 结 论 出 发 , 一 步 一 步 地 探 索 保 证 前 一 个 结 论 成 立 的 充 分 条 件 , 直 到 归 结 为 这 个 命 题 的 条 件 , 或 者 归 结 为 定 义 、 公 理 定 理 等 , 把 这 种 思 维 方 法 称 为 分 析 法 . 分 析 法 是 一 种

执果索因 _ _ _ _ _ _ _ _ 的 证 明 方 法 , 用 分 析 法 证 明 的 逻 辑
“未 知 ”看 需 知 , 逐 步 靠 拢 个 明 显 成 立 的 条 件 为 止 . “已知”看“可知”, 逐 步 推 向 “未 “已 知 ”,

关 系 是 : B(结 论 )?B1?B2???Bn?A(已 知 ). 分 析 法 的 特 点 是 : 从 把 要 证 明 的 结 论 归 纳 为 判 定 一 综 合 法 的 特 点 是 : 从 其 每 步 推 理 都 是 寻 求 使 每 一 步 结 论 成 立 的 充 分 条 件 , 直 到 最 后

知”, 其 每 步 推 理 都 是 寻 找 使 每 一 步 结 论 成 立 的 必 要 条 件 .
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4.反证法

在证明数学命题时,要证明的结论要么正确,要么错误,
二者必居其一.我们可以先假定命题结论的反面成立,在这个 前提下,若推出的结果与定义公理、定理矛盾,或与命题中的 已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面 不可能成立.由此断定命题的结论成立,这种证明方法叫作反 证法. 数学中的命题,都有题设和结论两部分,反证法是从否定 这个命题的结论出发,通过正确、严密的逻辑推理,由此引出

一个新的结论,而这个新结论与已知矛盾,得出结论的反面不
正确,从而肯定原结论是正确的一种间接证明方法.
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应用反证法证明数学命题的一般步骤: 作出否定结论的假设 ; (1)____________________ 进行推理,导出矛盾 ; (2)____________________ 否定假设,肯定结论 . (3)____________________

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3 3 1.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 a> b”时,假设 的内容应是( 3 3 ) B. a< b 3 3 D. a= b或 a< b 3 3 3 3 3 3

A. a= b C. a= b且 a< b
[ 答案]
[ 解析]

3

3

D 3

3 3 3 a> b的反面是 a≤ b, 3 3 3 3

它的含义为 a= b或 a< b.

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2 .分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立 的( ) A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.等价条件

[答案] A

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3.设t=a+2b,s=a+b2+1,则下列关于t和s的大小关系 中正确的是( A.t>s C.t<s ) B.t≥s D.t≤s

[答案] D
[解析] ∵s-t=a+b2+1-a-2b=(b-1)2≥0,∴s≥t.

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4.设a=lg2+lg5,b=ex(x<0),则a与b大小关系为( A.a>b C.a=b [答案] A B.b<a D.a≤b

)

[解析] ∵a=lg2+lg5=lg10=1,
而b=ex<e0=1,故a>B.

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5. (文)要 证 明 “ 3+ 7<2 5”可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是________.(填序号) ①反证法,②分析法,③综合法.

[ 答案]



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(理)(创新题)已知 a,b 为不相等的实数且 a>0,b>0,x= a+ b ,y= a+b,则 x,y 的大小关系是________. 2

[ 答案]

x<y

[ 解析] ∴x<y.

a+b+2 ab 2?a+b? 2 x= < = a + b = y , 2 2
2

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6 .用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个 不大于60°”时,假设应该是________________________. [答案] 三角形的三个内角都大于60° [解析] 用反证法证明命题时,假设结论不成立,即否定

命题的结论.

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课堂典例讲练

第十二章

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综合法
如图, 四边形 ABCD 是正方形, PB⊥平面 ABCD, MA⊥平面 ABCD,PB=AB=2MA.求证:

(1)平面 AMD∥平面 BPC; (2)平面 PMD⊥平面 PBD.
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[规 范 解 答 ] A B C D ,

证 明 : ( 1 ) 因 为 PB⊥平 面 A B C D ,MA⊥平 面

所 以 PB∥MA. 因 为 PB 平 面 BPC,MA?平 面 B P C , 所 以 MA∥平 面 BPC. 又 AD∥BC,AD?平面 BPC,BC 平 面 BPC, 所 以 AD∥平 面 BPC, 又 MA 平面 A M D ,AD 平 面 A M D ,MA∩AD=A, 所 以 平 面 A M D ∥平 面 BPC.
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( 2 ) 连 接 AC, 设 AC∩BD=E,取 PD 的 中 点 F, 连 接 EF, MF.

因 为 四 边 形

A B C D

为 正 方 形 , 所 以

E 为 BD 的 中 点 .

因 为 F 为 PD 的 中 点 , 1 1 所 以 EF 2PB.又 AM∥2PB, 所 以 四 边 形 AEFM 为 平 行 四 边 形 .
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所 以 MF∥AE. 因 为 PB⊥平 面 A B C D ,AE 平 面 A B C D , 所 以 PB⊥AE, 所 以 MF⊥PB. 因 为 四 边 形 A B C D 为 正 方 形 , 所 以 AC⊥BD. 所 以 MF⊥BD.所 以 MF⊥平 面 PBD. 又 MF 平面 P M D , 所 以 平 面 P M D ⊥平 面 PBD.

第十二章

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[方 法 总 结 ]

1 .综 合 法 是 “由 因 导 果 ”, 它 是 从 已 知 条 件 出

发 , 顺 着 推 证 , 经 过 一 系 列 的 中 间 推 理 , 最 后 导 出 所 证 结 论 的 真实性.用综合法证明题的逻辑关系是: A?B1?B2???Bn ?B(A 为 已 知 条 件 或 数 学 定 义 、 定 理 、 公 理 , 它 的 常 见 书 面 表 达 是 “∵,∴”或“?”. 2. 利 用 综 合 法 证 不 等 式 时 , 是 以 基 本 不 等 式 为 基 础 , 以 不 等 式 的 性 质 为 依 据 , 进 行 推 理 论 证 的 . 因 此 , 关 键 是 找 到 与 要 证 结 论 相 匹 配 的 基 本 不 等 式 及 其 不 等 式 的 性 质 . B为 要 证 结 论 ),

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设x是正实数,
求证:(x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.

[ 证明]

x 是正实数,由基本不等式知

x+1≥2 x,1+x2≥2x,x3+1≥2 x3, 故(x +1)(x2+1)(x3 +1)≥2 x · 2x· 2 x3 =8x3( 当且仅当 x = 1 时等号成立).

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分析法
|a|+|b| 已知非零向量 a,b 且 a⊥b,求证 ≤ 2. |a-b| [ 思路分析] a⊥b?a· b=0.同时注意,|a|2=a2,将要证式

子变形平方即可获证.
[ 规范解答] ∵a⊥b,∴a· b=0. |a|+|b| 要证 ≤ 2, |a-b| 只需证|a|+|b|≤ 2|a-b|,

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平方得|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a· b+b2), 只需证|a|2+|b2|-2|a||b|≥0, 即(|a|-|b|)2≥0. ∵(|a|-|b|)2≥0 成立, ∴原不等式成立. [ 方法总结] 当 已 知 条 件 与 结 论 之 间 的 联 系 不 够 明 显 、 直

接 , 或 证 明 过 程 中 所 需 用 的 知 识 不 太 明 确 、 具 体 时 , 往 往 采 用 分 析 法 , 特 别 是 含 有 根 号 、 绝 对 值 的 等 式 或 不 等 式 , 从 正 面 不 易推导时,常考虑用分析法.

第十二章

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已知 [ 解析]

1 a,b∈(0,+∞),求证:(a3+b3)3

. 因为 a,b∈(0,+∞),要证原不等式成立,
]6< [ (
1 a2+b2)2

1 <(a2+b2)2

1 只需证[(a3+b3)3

]6,

即证(a3+b3)2<(a2+b2)3, 即证 a6+2a3 b3+b6<a6+3a4b2+3a2b4+b6, 只需证 2a3b3<3a4b2+3a2b4.

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因为 a,b∈(0,+∞), 所以即证 2ab< 3 ( a2+b2). 而 a2+b2≥2ab,3(a2+b2)≥6ab>2ab 成立, 所以(a
3

1 3 3 +b )

<(a

2

1 2 2 +b )

.

第十二章

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反证法
1+b 1+a 已知 a>0, b>0, 且 a+b>2, 求证: a , b 中至少有一个小于 2. [ 思路分析] 已知条件较少,结论反而有三种情况,故联

想到从结论的反面入手较易,即使用反证法. 1+b 1+a [ 规范解答] 假设 a , b 都不小于 2,
1+b 1+a 即 a ≥2, b ≥2.

第十二章

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∵a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b, ∴1+1+a+b≥2(a+b),即 2≥a+b, 这与已知 a+b>2 矛盾,故假设不成立. 1+b 1+a 即 a , b 中至少有一个小于 2.
[方 法 总 结 ] 结论若是“都是”“都不是”“至多”“至 少”形 式 的 不 等 式 , 或 直 接 从 正 面 入 手 难 以 寻 觅 解 题 突 破 口 的 问题,宜考虑使用反证法.

第十二章

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用反证法证明不等式 若 p>0,q<0,p3+q3=2,求证:p+q≤2.
[证 明] 假设 p+q>2, 即 p>2-q, ∴p3> ( 2 -q)3=8-1 2 q+6q2-q3, 即 8-1 2 q+6q2-(q3+p3) < 0 , ∴6-1 2 q+6q2<0, 那 么 q2-2q+1 < 0 , ∴(q-1 ) 2<0 与(q-1 ) 2≥0 相 矛 盾 , 故 假 设 不 成 立 , ∴p+q≤2 .

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[点评]

条件与结论之间的因果关系不是很明显,直接证

明无从着手,可考虑使用反证法.

反证法是常用的一种重要的思维方法和数学方法,在平面
几何、不等式及立体几何中有着广泛的应用.

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反证法在证明题中的应用 x2 2 直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: 4 +y =1 相交 于 A,C 两 点 , O是 坐 标 原 点 . ( 1 ) 当点 B 的坐标为( 0 1 ,) AC 的长; ( 2 ) 当点 B 在 W 上且不是 W 的 顶 点 时 , 证 明 : 四 边 形 不可能为菱形. O A B C ,且四边形 O A B C 为菱形时,求

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[ 规范解答]

( 1 ) 因 为 四 边 形

O A B C

为 菱 形 ,

所以 AC 与 OB 互 相 垂 直 平 分 .

(2 分)

1 t2 1 所以可设 A(t,2),代入椭圆方程得 4 +4=1, 即 t=± 3. 所以|AC|=2 3. ( 5 分)

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( 2 ) 假 设 四 边 形
2 2 ? ?x +4y =4 由? ? ?y=kx+m

O A B C

为 菱 形 . AC⊥OB, 所 以 k≠0 .

因 为 点 B不 是 W的 顶 点 , 且 消y并 整 理 得

(1+4k2)x2+8k m x +4m2-4=0 ( 7 . 设 A(x1,y1),C(x2,y2), 则

分)

x 1 +x 2 y1+y2 x1+x2 4km m - =k· 2 +m= 2, 2. 2 = 2 1+4k 1+4k 所 以 AC 的 中 点 为 4km m M(- , ).(9 分) 1+4k2 1+4k2
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因 为 M 为 AC 和 OB 的 交 点 , 且 所 以 直 线 OB 的 斜 率 为 - 1 1 .1 4k(

m≠0,k≠0, 分)

1 因 为 k· (-4k)≠-1, 所 以 AC 与 OB 不 垂 直 . ( 1 3 分) 所 以 四 边 形 所 以 当 点 形 .( 1 4 分) O A B C 不 是 菱 形 , 与 假 设 矛 盾 . O A B C 不 可 能 是 菱 B不 是 W的 顶 点 时 , 四 边 形

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[方法总结]

(1)掌握反证法的证明思路及证题步骤,明确

作假设是反证法的基础,应用假设是反证法的基本手段,得到 矛盾是反证法的目的. (2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正

面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时,常采用反证
法. (3)利用反证法证明时,一定要回到结论上去.

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答题模板:用反证法证明数学命题的答题模板: 第一步:分清命题“p→q”的条件和结论; 第二步:作出与命题结论q相矛盾的假定非q; 第三步:由p和非q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾 结果;

第四步:断定产生矛盾结果的原因,在于所作的假设非 q
不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题.

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设直线 l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1,k2 满 足 k1k2+2=0. ( 1 ) 证明:l1 与 l2 相交; ( 2 ) 证明:l1 与 l2 的交点在椭圆 2x2+y2=1 上.
[ 解析] ( 1 ) 假设 l1 与 l2 不相交, k1=k2, 则 l1 与 l2 平 行 或 重 合 , 有

代入 k1k2+2=0,得 k2 1+2=0. 这与 k1 为实数的事实相矛盾,从而 k1≠k2, 即 l1 与 l2 相 交 .
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( 2 ) 由 方 程 组 解 得 交 点
2

? ?y=k1x+1, ? ? ?y=k2x-1,

k2+k1 2 P的 坐 标 为 ( , ). k2-k1 k2-k1
2

2 2 k2+k1 2 从 而 2x +y =2 ( ) +( ) k2 -k1 k2-k1
2 2 8+k2 k1 +k2 2+k1+2k1k2 2 +4 = 2 2 = 2 2 =1, k2+k1-2k1k2 k1+k2+4

所 以 l1 与 l2 的 交 点 P(x,y)在 椭 圆 2x2+y2=1 上.

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一个关系 综合法与分析法的关系

分析法与综合法相辅相成,对较复杂的问题,常常先从结
论进行分析,寻求结论与条件、基础知识之间的关系,找到解 决问题的思路,再运用综合法证明,或者在证明时将两种方法 交叉使用.

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两个防范 (1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假 设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推 理过程不是反证法.

(2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,
常常用“要证 ( 欲证 )?”“即要证?”“就要证?”等分析到 一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.

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