高等数学二试卷(开卷)
中国地质大学（北京）继续教育学院
2013 年 09 课程考试
《高等数学二》试卷（开卷） （补）
考点： 学号： 姓名： 专业层次:
试卷说明： 1. 本次考试为开卷考试。本试卷共计 2 页，5 大部分，请勿漏答；附答题卷 2 页，请核查； 2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间； 3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考点、学号、姓名和专业层次填写清楚； 4. 本试卷所有试题答案写在答题卷上； 5. 答题完毕，请将试卷和答题卷展开、正面向上交回，不得带出考场； 6. 考试中心提示：请遵守考场纪律，参与公平竞争！ 一．填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1． a =(3，-5，8)， b =(-1，1，-4)，则 | a ? b | = 2．函数 z ?
? ?
6 ．
．
x sin xy 的间断点是 x2 ? y 2
x? y ?0
3．设 f ( x, y) ? x sin xy
则 f x? (1, 0) ?
0
, f y? (1, 0) ? ．
1
_．
4．已知 f ( x, y) ? x2 y3 , 则 dz ? 5. 设 D ? {( x, y ) | 6． I ?
2xy3 dx ? 3x2 y2 dy _
2?
1
x2 ? y 2 ? 1} ，则 ?? dxdy ? 4 D
．
x
? dy?
0
1
y
y
f ( x, y)dx 改变积分次序后，I=
I ? ? dx ? 2 f ( x, y )dy __
0 x
． ．
7. 设 L 是圆周： x ? a cost , y ? a sin t , 则曲线积分 8.
?
L
x 2 ? y 2 ds =
2? a 2
??? xydxdydz
V
=
2
, 其中 V : 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 ,1 ? z ? 3 .
9．若级数
? ?u
n ?1
?
n
? 1? 收敛，则 lim un ?
n??
1
．
10．幂级数
xn 的收敛区间是 ? n ?1 n
?
(-1,1)
．
二．单项选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 1．函数 z ? ln
2
x 2 ? y 的定义域是（ A ） 。
B. {( x, y ) | x ? y} C. {( x, y ) | x ? y}
2 2
A. {( x, y ) | x ? y}
D. {( x, y ) | x ? y}
2
2．下列与向量 (2,3,5) 垂直的平面方程是（ C ） 。
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A.
x y z ? ? 2 3 5
B.
x y z ? ? ?1 2 3 5
C. ?2 x ? 3 y ? 5z ? 1
D.都不对
3．函数 z ? f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续是函数在该点处可微的（ D ） 。 A.充分但不必要条件； C.充要条件； 4． 将极坐标系下的二次积分 I ? 积分，则 I ? （ D ） 。 A. C. B.必要但不充分条件； D.既不充分也不必要条件．
?
?
0
d? ?
2 sin ?
0
r f ( r cos? , r sin ? )dr 化为直角坐标系下的二次
? ?
1
?1 1
dy ?
1? 1? y 2
1? 1? y 2 2 y? y2
f ( x, y )dx f ( x, y )dx
B.
?
1
?1 2
dx ?
1? 1? x 2
1? 1? x 2 2 x? x2
f ( x, y )dy f ( x, y )dy
?1
dy ?
? 2 y? y2
D.
?
0
dx ?
? 2 x? x2
5．若 L 是平面内一闭区域 D 的正向边界曲线，则曲线积分 （ B ） 。 A. C.
?
L
xe xy dx ? x 2 dy 等于二重积分
?? ( x e
2 D
xy
? 2 x )d? B. ?? ( 2 x ? x 2 e xy )d?
D 2 xy
?? (e
D
xy
? x e )d? D. ?? ( e xy ? x 2 e xy )d?
D
6．已知交错级数
?
? (?1)
n ?1 ?
?
n
an 条件收敛，则下面叙述正确的是（
） 。
A.
? an 收敛
n ?1
B.
? an 发散
n ?1
C.
? a2n 收敛
n ?1
?
D.
? (?1)
n ?1
?
n
an 发散
三．计算题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 1．已知方程 e z ? xyz ? 0 确定二元函数： z ? f ( x, y) ,求：
?z ? z , .。 ?x ? y
2．求
??
D
xdxdy , 其中 D 由抛物线 x ?
y ，直线 x ? 0 和 3x ? 2 y ? 2 ? 0 围成的区域。
3．判定级数
2 n n! 的敛散性。 ? n n ?1 n
x ?1 y ?1 z ?1 x y z ?1 ? ? ? 和 ? 都平行，试求此 1 1 0 1 ?1 0
?
四．应用题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 1． 已知平面过点 P(1,?2,0) 且与直线 平面方程。
， 1 ， 0?，v2 ? ?1 ， ?1 ， 0? ，平面与直线平行，则平 解：两已知直线的方向向量分别为 v1 ? ?1
面的法向量 a ? ? A，B，C ? 与直线的方向向量垂直
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由 a ⊥ v1 ，有 A ? B ? 0 ? 0 由 a ⊥ v2 ，有 A ? B ? 0 ? 0 联立（1） ， （2）求得 A ? 0, B ? 0 ,只有 C ? 0
（1） （2）
又因为平面经过点 P?1 ， ? 2， 0? ，代入平面一般方程得
0 ? 1 ? 0 ? ?? 2? ? C ? 0 ? D ? 0
所以 D ? 0 故所求平面方程 Cz ? 0 ，即 z ? 0 ，也就是 xoy 平面。
2．求由曲面 z 2 ? x 2 ? y 2 , 柱面 x2 ? y 2 ? 1 及 z ? 0 所围的曲顶柱体的体积。 解: V ?
x 2 ? y 2 ?1
??
( x 2 ? y 2 )d ? ? ? d ? ? r 2 ? r ? dr ? 2? ?
0 0
2?
1
r4 4
1 0
?
?
2
五．证明题（本大题共 10 分） 1. 设 u ?
x 2 ? y 2 ? z 2 , 求证： (
?u ? ?x x x2 ? y 2 ? z 2
?u 2 ?u 2 ?u 2 ) ? ( ) ? ( ) ?1 ?x ?y ?z
y x2 ? y 2 ? z 2 , ?u ? ?z z x2 ? y 2 ? z 2
证明:
,
?u ? ?y
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