中国地质大学(北京)继续教育学院
2013 年 09 课程考试
《高等数学二》试卷(开卷) (补)
考点: 学号: 姓名: 专业层次:
试卷说明: 1. 本次考试为开卷考试。本试卷共计 2 页,5 大部分,请勿漏答;附答题卷 2 页,请核查; 2. 考试时间为 120 分钟,请掌握好答题时间; 3. 答题之前,请将试卷和答题纸上的考点、学号、姓名和专业层次填写清楚; 4. 本试卷所有试题答案写在答题卷上; 5. 答题完毕,请将试卷和答题卷展开、正面向上交回,不得带出考场; 6. 考试中心提示:请遵守考场纪律,参与公平竞争! 一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. a =(3,-5,8), b =(-1,1,-4),则 | a ? b | = 2.函数 z ?
? ?
6 .
.
x sin xy 的间断点是 x2 ? y 2
x? y ?0
3.设 f ( x, y) ? x sin xy
则 f x? (1, 0) ?
0
, f y? (1, 0) ? .
1
_.
4.已知 f ( x, y) ? x2 y3 , 则 dz ? 5. 设 D ? {( x, y ) | 6. I ?
2xy3 dx ? 3x2 y2 dy _
2?
1
x2 ? y 2 ? 1} ,则 ?? dxdy ? 4 D
.
x
? dy?
0
1
y
y
f ( x, y)dx 改变积分次序后,I=
I ? ? dx ? 2 f ( x, y )dy __
0 x
. .
7. 设 L 是圆周: x ? a cost , y ? a sin t , 则曲线积分 8.
?
L
x 2 ? y 2 ds =
2? a 2
??? xydxdydz
V
=
2
, 其中 V : 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 ,1 ? z ? 3 .
9.若级数
? ?u
n ?1
?
n
? 1? 收敛,则 lim un ?
n??
1
.
10.幂级数
xn 的收敛区间是 ? n ?1 n
?
(-1,1)
.
二.单项选择题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 1.函数 z ? ln
2
x 2 ? y 的定义域是( A ) 。
B. {( x, y ) | x ? y} C. {( x, y ) | x ? y}
2 2
A. {( x, y ) | x ? y}
D. {( x, y ) | x ? y}
2
2.下列与向量 (2,3,5) 垂直的平面方程是( C ) 。
第 1 页(共 2 页)
中国地质大学(北京)继续教育学院
2013 年 09 课程考试
A.
x y z ? ? 2 3 5
B.
x y z ? ? ?1 2 3 5
C. ?2 x ? 3 y ? 5z ? 1
D.都不对
3.函数 z ? f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续是函数在该点处可微的( D ) 。 A.充分但不必要条件; C.充要条件; 4. 将极坐标系下的二次积分 I ? 积分,则 I ? ( D ) 。 A. C. B.必要但不充分条件; D.既不充分也不必要条件.
?
?
0
d? ?
2 sin ?
0
r f ( r cos? , r sin ? )dr 化为直角坐标系下的二次
? ?
1
?1 1
dy ?
1? 1? y 2
1? 1? y 2 2 y? y2
f ( x, y )dx f ( x, y )dx
B.
?
1
?1 2
dx ?
1? 1? x 2
1? 1? x 2 2 x? x2
f ( x, y )dy f ( x, y )dy
?1
dy ?
? 2 y? y2
D.
?
0
dx ?
? 2 x? x2
5.若 L 是平面内一闭区域 D 的正向边界曲线,则曲线积分 ( B ) 。 A. C.
?
L
xe xy dx ? x 2 dy 等于二重积分
?? ( x e
2 D
xy
? 2 x )d? B. ?? ( 2 x ? x 2 e xy )d?
D 2 xy
?? (e
D
xy
? x e )d? D. ?? ( e xy ? x 2 e xy )d?
D
6.已知交错级数
?
? (?1)
n ?1 ?
?
n
an 条件收敛,则下面叙述正确的是(
) 。
A.
? an 收敛
n ?1
B.
? an 发散
n ?1
C.
? a2n 收敛
n ?1
?
D.
? (?1)
n ?1
?
n
an 发散
三.计算题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分) 1.已知方程 e z ? xyz ? 0 确定二元函数: z ? f ( x, y) ,求:
?z ? z , .。 ?x ? y
2.求
??
D
xdxdy , 其中 D 由抛物线 x ?
y ,直线 x ? 0 和 3x ? 2 y ? 2 ? 0 围成的区域。
3.判定级数
2 n n! 的敛散性。 ? n n ?1 n
x ?1 y ?1 z ?1 x y z ?1 ? ? ? 和 ? 都平行,试求此 1 1 0 1 ?1 0
?
四.应用题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分) 1. 已知平面过点 P(1,?2,0) 且与直线 平面方程。
, 1 , 0?,v2 ? ?1 , ?1 , 0? ,平面与直线平行,则平 解:两已知直线的方向向量分别为 v1 ? ?1
面的法向量 a ? ? A,B,C ? 与直线的方向向量垂直
第 2 页(共 2 页)
中国地质大学(北京)继续教育学院
2013 年 09 课程考试
由 a ⊥ v1 ,有 A ? B ? 0 ? 0 由 a ⊥ v2 ,有 A ? B ? 0 ? 0 联立(1) , (2)求得 A ? 0, B ? 0 ,只有 C ? 0
(1) (2)
又因为平面经过点 P?1 , ? 2, 0? ,代入平面一般方程得
0 ? 1 ? 0 ? ?? 2? ? C ? 0 ? D ? 0
所以 D ? 0 故所求平面方程 Cz ? 0 ,即 z ? 0 ,也就是 xoy 平面。
2.求由曲面 z 2 ? x 2 ? y 2 , 柱面 x2 ? y 2 ? 1 及 z ? 0 所围的曲顶柱体的体积。 解: V ?
x 2 ? y 2 ?1
??
( x 2 ? y 2 )d ? ? ? d ? ? r 2 ? r ? dr ? 2? ?
0 0
2?
1
r4 4
1 0
?
?
2
五.证明题(本大题共 10 分) 1. 设 u ?
x 2 ? y 2 ? z 2 , 求证: (
?u ? ?x x x2 ? y 2 ? z 2
?u 2 ?u 2 ?u 2 ) ? ( ) ? ( ) ?1 ?x ?y ?z
y x2 ? y 2 ? z 2 , ?u ? ?z z x2 ? y 2 ? z 2
证明:
,
?u ? ?y
第 3 页(共 2 页)