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正弦函数、余弦函数的图象和性质及答案(二)

时间:2012-02-05


正弦函数、余弦函数的图象和性质( 正弦函数、余弦函数的图象和性质(二)
●作业导航 掌握余弦函数图象的定义域、值域、最大值和最小值、周期、奇偶性、单调性. 选择题(本大题共 小题, 一、选择题 本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 1.若 f(x)sinx 是周期为π的奇函数,则 f(x)可以是( ) A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 2.已知函数 y=cos(sinx),下列四个结论中,正确的是( ) A.它的定义域是[-1,1] B.它是奇函数 C.它的值域是[cos1,1] D.它的周期是 2π

5 3.函数 y=sin(2x+ 2 π)的图象的一条对称轴方程是( )

π
A.x=- 2

π
B.x=- 4

5π C.x= 8 D.x= 4 4.已知函数 y=acosx+b,ab>0,在(a,b)上是增函数,则 y=acosx+b 在(-b,-a)上 是( ) A.增函数 B.减函数 C.增函数或减函数 D.以上都不对 3π 5.与正弦曲线 y=sinx 关于直线 x= 4 对称的曲线是( ) B.y=cosx C.y=-sinx D.y=-cosx A.y=sinx
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 填空题 本大题共 小题,

π

π
1.设 x∈Z,则函数 f(x)=cos 3 x 的值域为_________. 2.函数 y= 2 cos x ? 3 的单调递减区间是_________. 3.若 sin2x>cos2x,则 x 的取值范围是_________. 4.函数 y=|cosx|的最小正周期为_________. 5.函数 y=2cosx 的单调减区间是_________. 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 解答题 本大题共 小题, 1.求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期、最大值和最小值.

2.求 f(x)=lg(sinx+cosx-sinxcosx+3)的定义域和值域.

3.若函数 y=f(x)(x∈R),满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(常数 a>0),则 f(x)是周期函数.

3 3 ,tan2α= 4 ,f(x)=sin(α+x)+sin(α-x)-2sinα的最小值为 0,求 4.已知α∈[0, 2 π] sinα+cosα的值.
5.已知定义域是(-∞,3]上的单调减函数 f(x),若 f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对一切实

数 x 均成立,求 a 的取值范围.

参考答案 一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)

1 1.B 分析:∵ y=sinx·cosx= 2 sin2x 是周期为π的奇函数. 2.C 3.A 4.B 分析:∵ f(x)=acosx+b 是一个偶函数.若在区间(a,b)上为增函数,则在(-b, -a)上是减函数. 5.D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 2π =6 π 1 1 1.{-1,- 2 , 2 ,1} 分析:T= 3
1 1 1 1 令 x=0,1,2,3,4,5 可得 cos 3 x 的值为 1, 2 ,- 2 ,-1,- 2 , 2 . 1 1 ∴ 值域为{-1,- 2 , 2 ,1}.

π

π
2. [2kπ,2kπ+ 6 (k∈Z) 分析: (1)先求 y= 2 cos x ? 3 的定义域, 再求 t=2cosx- 3 的单调递减区间. (2)或在 y=cosx

3 2 部分中的单调递减区间. 的图象中,找出 cosx≥ 3π π 3.kπ+ 4 <x<kπ+ 4 ,k∈Z 分析:∵ sin2x>cos2x ∴ cos2x-sin2x<0 ∴ cos2x<0 π 3π ∴ 2kπ+ 2 <2x<2kπ+ 2 ,k∈Z 3π π ∴ kπ+ 4 <x<kπ+ 4 ,k∈Z 4.π 分析:由 y=|cosx|的图象可得出 T=π. 5. [2kπ,2kπ+π] ,(k∈Z) 分析:只要求出 y=cosx 的单调递减区间. 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 6 分,共 30 分) 1.解:y=sin6x+cos6x =(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) =sin4x-sin2xcos2x+cos4x =(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x 3 =1- 4 (2sinxcosx)2

3 =1- 4 sin22x

3 1 ? cos 4 x 2 =1- 4 · 5 3 + cos 4 x. =8 8 1 ∴ 函数的最小正周期为 2 ,最大值为 1,最小值为 4 .

π

π
2.解:∵ sinx+cosx= 2 sin(x+ 4 ) ∴ - 2 ≤sinx+cosx≤ 2 ∵ ∴ ∴ ∴

1 sinxcosx= 2 sin2x 1 1 - 2 ≤sinxcosx≤ 2 sinx+cosx-sinxcosx+3>0 恒成立. 定义域为 x∈R.

t2 ?1 令 t=sinx+cosx,则 sinxcosx= 2 t2 ?1 ∴ f(t)=lg(t- 2 +3) 1 =lg[4- 2 (t-1)2]且- 2 ≤t≤ 2 5?2 2 2 ∴ 函数的值域为{y|lg ≤y≤lg4}. 3.解:∵ f(x)=f(x-a)+f(x+a) ① ∴ f(x+a)=f(x)+f(x+2a) ② ①+②得 f(x-a)+f(x+2a)=0 即 f(x-a)=-f(x+2a) ∴ f(x)=-f(x+3a) ③ ∴ f(x+3a)=-f(x+6a) ④ 由③、④得 f(x)=f(x+6a) ∴ f(x)是周期函数,6a 是它的一个周期. 4.解:f(x)=sin(α+x)+sin(α-x)-2sinα=2sinαcosx-2sinα=2sinα(cosx-1) ∵ f(x)有最小值 0 ∴ f(x)≥0 ∴ 2sinα(cosx-1)≥0 ∵ cosx-1≤0 ∴ sinα≤0 3π 3π ∵ α∈[0, 2 ] ∴ α∈[π, 2 ] ∴ 2α∈[2π,3π] 3 ∵ tan2α= 4 >0

5π ∴ 2α∈[2π, 2 ] 5π ∴ α∈[π, 4 ] ∴ 0≤tanα≤1

2 tan α 3 = 2 ∵ tan2α= 1 ? tan α 4 1 ∴ tanα= 3

3 10 10 ∴ sinα=- 10 ,cosα=- 10 2 10 ∴ sinα+cosα=- 5
?a 2 ? sin x ≤ 3 ? ? 2 ?a + 1 + cos x ≤ 3 ? 2 2 ?a ? sin x ≥ a + 1 + cos x 5.解:由题意,得 ?
?a 2 ≤ 3 + sin x ? ? ? ?a ≤ 2 ? cos 2 x ? 2 2 ?a ? a ? 1 ≥ cos x + sin x ? ? ?a 2 ≤ 2 ? ? ?a ≤ 1 ? 5 ?a 2 ? a ? 1 ≥ 4 ? ? ?? 2 ≤ a ≤ 2 ? ? ?a ≤ 1 ? 1 1 1 1 ?a ≤ ? 10或a ≥ + 10 2 2 2 2 ? 1 1 ?? 2 ≤a≤ ? 10 . 2 2


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