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2011年全国高中数学联赛四川初赛试题及答案

时间:2015-05-19


2011 年全国高中数学联赛 四川初赛试题详细解答
一、选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、右准线 l1、l2 将线段 F1F2 三等分(其中 F1 、 F2 分别为双曲线的左、右 a 2 b2
) .

焦点) ,则该双曲线的离心率 e 等于( A、

6 2

B、 3

C、

3 3 2

D、 2 3

解:由题意得 2c ? 3 ?

2a 2 ,解得 e ? 3 . 故答案选 B. c

2、已知三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d , (a, b, c, d ? R ),
3 2

命题 p : y ? f ( x) 是 R 上的单调函数; 命题 q : y ? f ( x) 的图像与 x 轴恰有一个交点. 则 p 是 q 的( ) B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

A、充分但不必要条件 C、充要条件 解:选 A.

3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏.每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布” 中的一种手势,且是相互独立的.设在一局中甲赢的人数为 ? ,则随机变量 ? 的数学期望 E? 的值为 ( A、 )

2 4 C、 D、1 9 3 3? 4 4 3? 4 4 3 ?1 1 解: P(? ? 0) ? ? , P(? ? 1) ? ? , P(? ? 2) ? ? , 27 9 27 9 27 9 4 4 1 2 于是 E? ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? . 故答案选 C . 9 9 9 3
B、

1 3

4、函数 f ( x) ? A、 3

x ? 5 ? 24 ? 3x 的最大值为(
B、3 C、 2 3

) D、 3 3

解:法一: f ( x) 的定义域为 5 ? x ? 8 ,

1

由 f ?( x) ?

1 2 x?5

?

?3 2 24 ? 3x

?

24 ? 3x ? 3 x ? 5 2 x ? 5 ? 24 ? 3x

? 0 ,解得 x ?

23 . 4

因为 f (5) ? 3 , f ( 故答案选 C.

23 23 ) ? 2 3 , f (8) ? 3 ,于是 f ( x) max ? f ( ) ? 2 3 . 4 4

法二: f ( x) 的定义域为 5 ? x ? 8 ,

f 2 ( x) ? (1 ? x ? 5 ? 3 ? 8 ? x )2 ? (1 ? 3)( x ? 5 ? 8 ? x) ? 12
当且仅当

23 x?5 8? x ,即 x ? 时, f ( x) 取到最大值 2 3 .故答案选 C. ? 4 1 3
F N A M D C B E

5、如图,边长为 2 的正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的面 N 分别是线段 AC 和 BF 上的点,且 AM ? FN , 则线段 MN 的长的取值范围是 A、 [ , 2]

成 60° 角,M、

1 2

B、 [1, 2]

C、 [ 2, 2]

D、 [ 3, 2]

解:过点 M 作 MH//BC 交 AB 于 H,则 又 AM=FN,AC=FB,∴

AM AH , ? AC AB

F N A M D H

E

FN AH ,∴NH//AF, ? FB AB

B C

∴NH⊥AB,MH⊥AB,∴∠MHN=60° . 设 AH=x(0≤x≤2),则 MH=x, NH ? 2 ? x , ∴ MN ?

x 2 ? (2 ? x)2 ? 2 x(2 ? x) cos 60? ? 3x 2 ? 6 x ? 4 ? 3( x ? 1) 2 ? 1

∴ 1 ? MN ? 2 .选答案选 B. 6、设数列 {a n } 为等差数列,数列 {bn } 满足: b1 ? a1 , b2 ? a2 ? a3 , b3 ? a4 ? a5 ? a6 ,??,若

lim

bn ? 2 ,则数列 {a n } 的公差 d 为( n ?? n 3
A、



1 2

B、1

C、2

D、4

解: bn ? a n ( n?1)
2

?1

? a n ( n?1)
2

?2

? ? ? a n ( n?1)
2

?n

n ? [a n ( n?1) ? a n ( n?1) ] ?1 ?n 2 2 2

n n(n ? 1) n(n ? 1) n ? [a1 ? d ? a1 ? ( ? n ? 1)d ] ? (2a1 ? d ? n 2 d ) 2 2 2 2
于是 lim

bn 1 2a ? d d ? lim ( 1 2 ? d ) ? ? 2 ,解得 d ? 4 .故答案选 D. 3 n ?? n n ?? 2 2 n
2

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7、已知实数 x 满足 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |? 6 ,则 x 的取值范围是 解:因为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 5 |?| (2 x ? 1) ? (5 ? 2 x) |? 6 , 等号成立当且仅当 (2 x ? 1)(2 x ? 5) ? 0 ,即 ? .

1 5 1 5 ? x ? .故答案填 [? , ] . 2 2 2 2

8、设平面内的两个非零向量 a 与 b 相互垂直,且 | b |? 1 ,则使得向量 a ? mb 与 a ? (1 ? m)b 互相垂 直的所有实数 m 之和为 .
2 2

解:由于 0 ? (a ? mb) ? [a ? (1 ? m)b] = a ? a ? b ? m(1 ? m)b ?| a | ?m(1 ? m) ,
2

即 m ? m? | a | =0,
2 2

所以由根与系数的关系知符合条件所有实数 m 之和为 1.故答案填 1. 9、记实数等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S10 ? 10, S30 ? 70 ,则 S 40 ? 解:记 b1 ? S10 , b2 ? S20 ? S10 , b3 ? S30 ? S20 , b4 ? S40 ? S30 设 q 为 {an } 的公比,则 b1 , b2 , b3 , b4 构成以 r ? q10 为公比的等比数列, 于是 70 ? S30 ? b1 ? b2 ? b3 ? b1 (1 ? r ? r ) ? 10(1 ? r ? r )
2 2



即 r 2 ? r ? 6 ? 0 ,解得 r ? 2 或 r ? ?3 (舍去) , 故 S40 ? 10(1 ? r ? r ? r ) ? 150 .故答案填 150.
2 3

10、设 x 为实数,定义 ?x ? 为不小于 x 的最小整数,例如 ?? ? ? 4 , ?? ? ? ? ?3 .关于实数 x 的方程

?3x ? 1? ? 2 x ?
解: 设 2x ? 即?2 ?

1 的全部实根之和等于 2



1 2k ? 1 2k ? 3 ? 2k ? 3 ? 则x ? ,3x ? 1 ? k ? 1 ? , 于是原方程等价于 ? ? k ?Z , ? ? ?1 , 2 4 4 ? 4 ?

2k ? 3 11 7 ? ?1 ,从而 ? ? k ? ? ,即 k ? ?5或 ? 4 . 4 2 2 9 7 相应的 x 为 ? ,? .于是所有实根之和为 ? 4 .故答案填 ? 4 . 4 4
11、已知 (1 ? 3 ) ? an ? bn 3 ,其中 a n , bn 为整数,则 lim
n

an ? n ? ?? b n



解:由条件 (1 ? 3 ) ? an ? bn 3 知 (1 ? 3 ) ? an ? bn 3 ,
n n

3

于是 a n ?

1 1 [(1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ], bn ? [(1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n ] , 2 2 3

故 lim

n ???

an (1 ? 3 ) ? (1 ? 3 ) ? lim 3 ? ? lim n ? ?? bn (1 ? 3 ) n ? (1 ? 3 ) n n???
n n

1? 1? ( 1? 3? 1? 1? ( 1?

3 3 3 3

)n ? 3. )
n

故答案填 3 . 12、已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,且 SA=SB=SC=AB=2,设 S、A、B、 C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 解:如图,因为 SA=SB=SC,所以 S 在平面 ABC 上的射影是△ABC 的外心, 即 AB 的中点 H,同理 O 点在平面 ABC 上的射影也是△ABC 的外心 H,即在等 边△SAB 中,求 OH 的长,其中 OA=OB=OS. 显然, OH ?

S

1 1 3 3 3 .故答案填 . SH ? ? 2 ? ? 3 3 2 3 3

A C

O H B

三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13、已知 m ? 0 ,若函数 f ( x) ? x ? 100 ? mx 的最大值为 g (m) ,求 g (m) 的最小值. 解:令 t ? 100 ? mx ,则 x ?

100 ? t 2 , m

(5 分)

∴y?

100 ? t 2 1 m 100 m ? t ? ? (t ? ) 2 ? ? , m m 2 m 4

∴当 t ?

m 100 m 100 m 时, y 有最大值 ? ,即 g (m) ? ? . 2 m 4 m 4

(10 分)

∴ g (m) ?

100 m 100 m ? ?2 ? ? 10 , m 4 m 4

(15 分)

等号当且仅当 m ? 20 时成立, ∴当 m ? 20 时, g (m) 有最小值 10. (20 分)

14、已知函数 f ( x) ? 2(sin x ? cos x) ? m(sin x ? cos x) 在 x ? [0,
4 4 4

?
2

] 有最大值 5,

求实数 m 的值. 解: f ( x) ? 2(sin x ? cos x) ? 4 sin x cos x ? m(sin x ? cos x)
2 2 2 2 2 4

? 2 ? (2 sin x cos x) 2 ? m(sin x ? cos x) 4

(5 分)

4

令 t ? sin x ? cos x ?
2

2 sin( x ?

?
4

) ? [1, 2 ] ,
2 2 4 4 2

则 2 sin x cos x ? t ? 1 ,从而 f ( x) ? 2 ? (t ? 1) ? mt ? (m ? 1)t ? 2t ? 1 (10 分) 令 u ? t ? [1, 2] ,由题意知 g (u) ? (m ? 1)u ? 2u ? 1 在 u ? [1, 2] 有最大值 5.
2 2

当 m ? 1 ? 0 时, g (u) ? 2u ? 1 在 u ? 2 时有最大值 5,故 m ? 1 符合条件; 当 m ? 1 ? 0 时, g (u) max ? g (2) ? 2 ? 2 ? 1 ? 5 ,矛盾! 当 m ? 1 ? 0 时, g (u) ? 2u ? 1 ? 5 ,矛盾! 综上所述,所求的实数 m ? 1 . 15、抛物线 y ? x 与过点 P(?1, ?1) 的直线 l 交于 P 1、P 2 两点.
2

(15 分)

(20 分)

(I)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (II) 求在线段 PP 1 2 上满足条件

1 1 2 的点 Q 的轨迹方程. ? ? PP PP2 PQ 1
2

解: (I)直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,与抛物线方程 y ? x 联立

? y ? x2 2 2 得? ,消去 y 得 x ? k ( x ? 1) ? 1 ,即 x ? kx ? (k ? 1) ? 0 , ? y ? 1 ? k ( x ? 1)
由 ? ? (?k ) ? 4(k ? 1) ? 0 ,解得 k ? ?2 ? 2 2 或 k ? ?2 ? 2 2 .
2

(5 分)

(II)设 Q 点坐标为 ( x, y) , P 1 点坐标为 ( x1 , y1 ) , P 2 点坐标为 ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ? k , x1 ? x2 ? ?(k ? 1) , 又P 1、P 2 、 Q 都在直线 l 上,所以有 y ? 1 ? k ( x ? 1) , y1 ? 1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? 1 ? k ( x2 ? 1) , 由

1 1 2 得 ? ? PP PP PQ 1 2
1 ? 1 ( x2 ? 1) ? ( y2 ? 1)
2 2

( x1 ? 1) ? ( y1 ? 1)
2

2

?

2 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 2
2

化简得

1 1 2 ? ? | x1 ? 1| | x2 ? 1| | x ? 1|

(10 分)

又 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? ?(k ? 1) ? k ? 1 ? 2 ? 0 ,点 Q 在线段 PP 1 2 上,

5

所以 x1 ? 1, x2 ? 1, x ? 1 同号.则

1 1 2 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x ? 1
①,

因此 x ? 2

x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 2?k ?1 ? x1 ? x2 ? 2 k ?2

2?k 3k ? 2 ②, ? 1) ? 1 ? k ?2 k ?2 2 ? 2x 3 ?2 2 ? 2x x ?1 由①得 k ? 代入②得 y ? ? 1 ? 2 x ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 , (15 分) 2 ? 2x x ?1 ?2 x ?1 4 又因为 k ? ?2 ? 2 2 或 k ? ?2 ? 2 2 ,所以 x ? ? 1 的取值范围是 k ?2 y ? k ( x ? 1) ? 1 ? k ? (

? 2 ? 1 ? x ? 2 ? 1 且 x ? ?1 ,
因此点 Q 的轨迹方程是 2 x ? y ? 1 ? 0 ( ? 2 ? 1 ? x ? . (20 分) 2 ? 1 且 x ? ?1 )

16、已知 m 为实数,数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,满足: S n ? 任何的正整数 n 恒成立. 求证:当 m 取到最大值时,对任何正整数 n 都有 证明:当 n ? 1时,由 a1 ?

9 4 64 对 an ? ? 3n ? m ,且 a n ? 8 3 3

3k 3 ? . ? 16 k ?1 S k
n

9 a1 ? 4 ? m 得 a1 ? 8(4 ? m) , 8 9 4 n 9 4 n?1 当 n ? 1 时, S n ? a n ? ? 3 ? m , S n ?1 ? a n ?1 ? ? 3 ? m , 8 3 8 3 9 9 8 n 64 n ∴ a n ?1 ? a n ?1 ? a n ? ? 3 ,即 a n ?1 ? 9a n ? (5 分) ?3 , 8 8 3 3 32 n?1 32 ∴ a n ?1 ? ? 3 ? 9(a n ? ? 3n ) 9 9 32 n 32 ∴ an ? ? 3 ? (a1 ? ) ? 9 n?1 , 9 3 8 32 即 an ? (10 分) (16 ? 3m) ? 9 n ? ? 3n 27 9 8 32 64 由条件知, 对任何正整数 n 恒成立, (16 ? 3m) ? 9 n ? ? 3n ? 27 9 3 8 64 1 32 1 即 (16 ? 3m) ? ? ? ? 对任何正整数 n 恒成立, 27 3 9 n 9 3n 64 1 32 1 64 1 32 1 96 由于 , ? n ? ? n 在 n ? 1时取最大值 ? ? ? ? 3 9 9 3 3 9 9 3 27 8 96 4 于是 ,解得 m ? . (16 ? 3m) ? 27 27 3 4 由上式知道 m 的最大值为 . (15 分) 3
6

4 32 n ?2 n 时, a n ? ?9 ? ?3 , 3 9 9 9 32 n 32 n 4 4 于是 S n ? ( ? 9 ? ? 3 ) ? ? 3n ? 8 9 9 3 3 4 4 ? [3 ? (3n ) 2 ? 4 ? 3n ? 1] ? (3n?1 ? 1)(3n ? 1) , 3 3
当m ? 所以

3k 3 n 3k 3 n 1 1 ? ? ( k ? k ?1 ) ? ? ? k ?1 k 4 k ?1 (3 ? 1)(3 ? 1) 8 k ?1 3 ? 1 3 ? 1 k ?1 S k
n

3 1 1 3 1 3 . ? ( ? n?1 ) ? ? ? 8 3 ? 1 3 ? 1 8 2 16

(20 分)

7


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