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高中数学(北师大版)必修五教案:23典例分析:应用性问题

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应用性问题
1.三角形中的有关公式(正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积 公式等) ; 2.正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有:测量距离问题、测量高度问题、 测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等; 3.实际问题中有关术语、名称. (1)仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方 的角叫仰角;在水平视线下方的角叫俯角 (2)方位角:指正北方向顺时针转到目标方向线水平角. 典例分析 例 1.(1)某人朝正东方走 x km 后,向左转 1500,然后朝新方向走 3km,结果它离出 发点恰好 (A)
3

km,那么 x 等于
3

( (C)
3


3

(B) 2

3

或2

(D)3

解:C 提示:利用余弦定理 (2)甲、乙两楼相距 20m ,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60 0 ,从甲楼顶望乙楼顶 的俯角为 30 0 ,则甲、乙两楼的高分别是 A
20 3m, 40 3 m 3





B

10 3m, 20 3m

C

10( 3 ? 2)m, 20 3m D

15 3 20 3 m, m 2 3

解:A (3)一只汽球在 2250m 的高空飞行,汽球上的工件人员测得前方一座山顶上 A 点 处的俯角为 180 ,汽球向前飞行了 2000m 后,又测得 A 点处的俯角为 82 0 ,则山的 高度为( A
1988m

) B
2096m

C

3125m

D

2451m

解: B (4)已知轮船 A 和轮船 B 同时离开 C 岛,A 向北偏东 250 方向,B 向西偏北 20 0 方

-1-/6

3 向,若 A 的航行速度为 25 nmi/h,B 的速度是 A 的 ,过三小时后,A、B 的距离 5

是 . 解:90.8 nmi (5) 货轮在海上以 40km/h 的速度由 B 到 C 航行, 航向为方位角 ?NBC ? 1400 ,A 处有灯塔, 其方位角 ?NBA ? 1100 ,在 C 处观测灯塔 A 的 方位角 ?MCA ? 350 ,由 B 到 C 需航行半小时, 则 C 到灯塔 A 的距离是 解:10( 6 ? 2) km 提示:由题意知 ?BCA ? 750 ,利用余弦定理或解直角三角形 可得。 变式训练 1:如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有 一艘渔船遇险等待营救. 甲船立即前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ? , 相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援 (角度精确到 1 ? )? 解:连接 BC,由余弦定理得 BC2=202+102-2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=10 7 . ∵
sin ?ACB sin120? ? , 20 10 7


∴sin∠ACB= ∴∠ACB=41°

3 , 7

A 10 ?C

20

B

∵∠ACB<90°

∴乙船应朝北偏东 71°方向沿直线前往 B 处救援. 例 2. 在某海滨城市附近海面有一台风,据检测,当前台风中心位于城市 O(如图) 的东偏南 ? (cos ? ?
2 ) 方向 300 km 的海面 P 处,并以 20 km / h 的速度向西偏北 10

45? 的方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60 km ,并以 10 km /

h 的速度不断增加,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?持续多长时间? 解:设在时刻 t(h)台风中心为 Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为 10t+60(km)

-2-/6

若在时刻 t 城市 O 受到台风的侵袭,则 OQ ? 10t ? 60 由余弦定理知

OQ2 ? PQ2 ? PO2 ? 2PQ ? PO cos?OPQ
由于 PO=300,PQ=20t
cos ?OPQ ? cos ? ? 45 ? ?

?

?

4 5
2

故 OQ2 ? 202 t 2 ? 3002 ? 9600t ? ?10t ? 60 ? 即 t 2 ? 36t ? 288 ? 0 解得 12 ? t ? 24

答:12 小时后该城市受到台风的侵袭,侵袭的时间将持续 12 小时. 变式训练 2:如图所示,海岛 A 周围 38 海里内有暗礁,一艘船向正南方向航行,在 B 处测得岛 A 在船的南偏东 30 0 方向上,船航行 30 海里后,在 C 处测得岛 A 在船的 南偏东 450 方向上,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁危险? 解:由题意得,在△ABC 中,BC=30, B ? 300 , ?ACB ? 1350 所以 A ? 150 ,由正弦定理可知:
? BC AC ? sin A sin B

30 AC ? 所以 AC ? 60cos150 , 0 sin15 sin 300

于是 A 到 BC 所在直线的距离为
AC sin 450 ? 60cos150 sin 450 ? 40.98 ? 38

所以船继续向南航行无触礁危险。 例 3. 如图所示,公园内有一块边长 2a 的等边△ABC 形状的三角地, 现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分,D 在 AB 上, E 在 AC 上. (1)设 AD ? x( x ? a) ,ED ? y ,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本希望它最短,DE 的位置 应该在哪里?如果 DE 是参观线路,则希望它最长,DE 的 位置又在哪里?请给予证明. 解: (1)在△ABC 中,D 在 AB 上,? a ? x ? 2a

-3-/6

S△ADE=
? AE ?

1 1 1 S△ABC ? x ? AE sin 600 ? AB 2 ? sin 600 2 2 4

2a 2 ,在△ADE 中,由余弦定理得: x 4a 4 4a 4 2 2 ? 2 a ? y ? x ? ? 2a 2 (a ? x ? 2a) x2 x2

y 2 ? x2 ?

(2)令 x2 ? t ,则 a 2 ? t ? 4a 2 则 y ? t ? 令 f (t ) ? t ? 则 f ?(t ) ? 1 ?
4a 4 ? 2a 2 , t ? [ a 2 , 4 a 2 ] , t

4a 4 ? 2a 2 t

4a 4 t 2 ? 4a 4 (t ? 2a 2 )(t ? 2a 2 ) ? ? t2 t2 t2

?当t ? (a2 , 2a2 ) 时,f ?(t ) ? 0 ; 当t ? (2a2 , 4a2 ) 时,f ?(t ) ? 0 又 f (a2 ) ? 3a2 , f (2a2 ) ? 2a2 , f (4a2 ) ? 3a2
?当 t ? 2a2 ,即 x ? 2a 时, y 有最小值 2a ,此时 DE∥BC,且 AD ? 2a

当 t ? a2 或 4a2 , 即 x ? a 或 2a 时,y 有最大值 3a ,此时 DE 为△ABC
的边 AB 或 AC 的中线上. 变式训练 3:水渠道断面为等腰梯形,如图所示,渠道深为 h ,梯形面积为 S,为 了使渠道的渗水量达到最小, 应使梯形两腰及下底之和达到最小, 此时下底角 ? 应 该是多少? 解:设 CD ? a ,则 CD ? a, 则CB ?
h 2h , AB ? a ? , sin ? tan ?

1 2h S h ) ? h?a ? ? 所以 S ? (a ? a ? 2 tan ? h tan ?

设两腰与下底之和为 l , 则 l ? a ? 2CB ?
S h 2h S 2 ? cos ? ? ? ? ? ?h h tan ? sin ? h sin ?

? ? 1 ? 2sin 2 ? S 2 ? ?? h ? 2sin ? cos ? ? 2 2

? ? ? ? 3sin 2 ? cos 2 ? ? S 2 2 ??h ? ? ? h ? 2sin ? cos ? ? ? ? 2 2

? ? ??h ? ?

-4-/6

? S ?3 ? 1 ? ? ? tan ? h ?2 2 2 tan ? ? 2

? ? ? S ? 3 ? 1 ? ? h ? ? ? 2 tan ? h ? 2 2 2 tan ? ? ? 2 ? ?

? ? S ??h ? ? 3 ?h h ? ? ?

? 3 3 ? 1 当且仅当 tan ? 时,上式取等号,即当 tan ? 时,上式取等号 2 3 2 2 2 tan ? 2
?

?
2

? 300 , 即? ? 600 ,所以下角 ? ? 600 时,梯形两腰及下底之和达到最小.

例 4. 如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任 意一点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC。问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面 积最大? 解:设 ?AOB ? ? ,在△AOB 中,由余弦定理得:
AB2 ? OA2 ? OB2 ? 2 ? OA ? OB cos ?AOB ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos ? ? 5 ? 4cos ?

于是,四边形 OACB 的面积为
1 3 S=S△AOB+ S△ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4
1 3 ? ? 2 ?1? sin ? ? (5 ? 4cos ? ) 2 4 ? sin ? ? 3 cos ? ? 5 3 ? 5 3 ? 2sin(? ? ) ? 4 3 4

因为 0 ? ? ? ? ,所以当 ? ? 四边形 OACB 面积最大.

?
3

?

?
2

,? ?

5? 5? ,即 ?AOB ? 时, 6 6

变式训练 4: 如图所示, 某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 60 0 的 C 处,12 时 20 分测得船在海岛北偏西 60 0 的 B 处,12 时 40 分轮船到达位于海 岛正西方且距海岛 5 km 的 E 港口,如果轮船始终匀速直线 前进,问船速多少? 解:轮船从 C 到 B 用时 80 分钟,从 B 到 E 用时 20 分钟, 而船始终匀速前进,由此可见:BC=4EB,设 EB= x ,则
-5-/6

则 BC=4 x ,由已知得 ?BAE ? 300 , ?EAC ? 1500 在△AEC 中,由正弦定理得:
1 EC AE AE ? sin ?EAC 5sin1500 ? ? sin C ? ? ? sin ?EAC sin C EC 5x 2x

BC ? sin C BC AB ? 在△ABC 中,由正弦定理得: ? AB ? ? 0 sin120 sin C sin1200
在△ABE 中,由余弦定理得: BE 2 ? AB2 ? AE 2 ? 2 AB ? AE ? cos300

4x ?

1 2x ? 4 3 3 3 2

? 25 ?

16 4 3 3 31 31 ? 2? 5? ? ? , 故BE ? 3 3 2 3 3

31 BE 所以船速 v ? ? 3 ? 93 1 t 3

答:该船的速度为 93 km/h

-6-/6


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