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《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练1-7-2第二讲 椭圆、双曲线、抛物线

时间:2013-03-30


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1-7-2 第二讲

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椭圆、双曲线、抛物线

一、选择题 x2 2 1.(2012 年长沙一中月考)已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 3 +y =1 上,顶 点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是 ( ) A.2 3 C.4 3 B.6 D.12

解析:根据椭圆定义可知,△ABC 的周长等于椭圆长轴长的二倍,即 4 3. 答案:C x2 y2 2.(2012 年北京东城模拟)若双曲线 6 - 3 =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2= r2(r>0)相切,则 r=( A. 3 C.3 ) B.2 D.6

x2 y2 2 解析:双曲线 6 - 3 =1 的渐近线为 y=± 2 x,因为双曲线的渐近线与圆(x 2 -3)2+y2=r2(r>0)相切,故圆心(3,0)到直线 y=± 2 x 的距离等于圆的半径 r, 则 r= | 2× 2× 3± 0| = 3. 2+4

答案:A 3.(2012 年大同模拟)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与曲线 x2+y2-6x-7 =0 相切,则 p 的值为( A.2 1 C.2 ) B.1 1 D.4

p 解析: 注意到抛物线 y2=2px 的准线方程是 x=-2, 曲线 x2+y2-6x-7=0, p 即(x-3)2+y2=16 是圆心为(3, 半径为 4 的圆. 0), 于是依题意有|2+3|=4.又 p>0,
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p 因此有2+3=4,解得 p=2,故选 A. 答案:A x2 y2 4.过双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点 F 作与 x 轴垂直的直线,分别与 → → 双曲线、双曲线的渐近线交于点 M、N(均在第一象限内),若FM=4MN,则双曲 线的离心率为( 5 A.4 3 C.5 ) 5 B.3 4 D.5

b2 bc → → 解析:由题意知 F(c,0),则易得 M、N 的纵坐标分别为 a 、a ,由FM=4MN b2 bc b2 b 4 c 5 得 a =4·a - a ),即 c=5,又 c2=a2+b2,则 e=a=3. ( 答案:B x2 y2 5.(2012 年高考山东卷)已知双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2. 若抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( ) 16 3 B.x2= 3 y D.x2=16y

8 3 A.x2= 3 y C.x2=8y

解析:根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解. x2 y2 ∵ 双曲线 C1:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2, a2+b2 c ∴ = a =2,∴ b= 3a, a ∴ 双曲线的渐近线方程为 3x± y=0, p | 3× 2| 0± p ∴ 抛物线 C2:x2=2py(p>0)的焦点(0,2)到双曲线的渐近线的距离为 2 =2,∴ p=8. ∴ 所求的抛物线方程为 x2=16y. 答案:D
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二、填空题

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3 6.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 2 ,且椭圆上 一点到椭圆的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________. x2 y2 解析: 设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), 根据椭圆定义知 2a=12, a=6, 即 c 3 x2 y2 由a= 2 ,得 c=3 3,b2=a2-c2=36-27=9,故所求的椭圆方程为36+ 9 =1. x2 y2 答案:36+ 9 =1 7.(2012 年高考辽宁卷)已知双曲线 x2-y2=1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥ 2,则|PF1|+|PF2|的值为________. PF 解析:根据双曲线的定义列方程求解. 设 P 在双曲线的右支上,|PF1|=2+x,|PF2|=x(x>0),因为 PF1⊥ 2, PF 所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,所以 x= 3-1,x+2= 3+1,所以|PF2|+|PF1| =2 3. 答案:2 3 8.(2012 年高考辽宁卷)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横 坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为________. 解析:根据题意先求出 P,Q 的坐标,再应用导数求出切线方程,然后求出 交点. 1 因为 y=2x2,所以 y′=x,易知 P(4,8),Q(-2,2),所以在 P、Q 两点处切 线斜率的值为 4 或-2. 所以这两条切线的方程为 l1:4x-y-8=0, l2:2x+y+2=0, 将这两个方程联立方程组求得 y=-4. 答案:-4 三、解答题 x2 y2 9.(2012 年广州模拟)设椭圆 M:a2+ 2 =1(a> 2)的右焦点为 F1,直线 l:x
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a2 → → 与 x 轴交于点 A,若OF1+2AF1=0(其中 O 为坐标原点). a2-2 (1)求椭圆 M 的方程; (2)设 P 是椭圆 M 上的任意一点,EF 为圆 N:x2+(y-2)2=1 的任意一条直

→ PF → 径(E、F 为直径的两个端点),求PE· 的最大值. 解析:(1)由题设知,A( → → 由OF1+2AF1=0, 得 a2-2=2( a2 - a2-2), a2-2 a2 ,0),F1( a2-2,0), a2-2

解得 a2=6. x2 y2 所以椭圆 M 的方程为 6 + 2 =1. (2)设圆 N:x2+(y-2)2=1 的圆心为 N, → PF → → (NF → → 则PE· =(NE-NP)·→ -NP) → → (NF → =(-NF-NP)·→ -NP) → → =NP2-NF2 → =NP2-1. → PF → → 从而将求PE· 的最大值转化为求NP2 的最大值. 因为 P 是椭圆 M 上的任意一点,设 P(x0,y0), x2 y2 0 0 所以 6 + 2 =1,即 x2=6-3y2. 0 0 → 因为点 N(0,2),所以NP2
2 =x0+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12.

→ 因为 y0∈ [- 2, 2],所以当 y0=-1 时,NP2 取得最大值 12. → PF → 所以PE· 的最大值为 11. 1 10.已知抛物线 C:x2=2py(p>0),其焦点 F 到准线的距离为2. (1)试求抛物线 C 的方程; (2)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t(t>0),过 P 的直线交 C 于另一点 Q,
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交 x 轴于 M,过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N,若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值. 1 1 解析:(1)因为焦点 F 到准线的距离为2,所以 p=2. 故抛物线 C 的方程为 x2=y.
2 (2)设 P(t,t2),Q(x,x2),N(x0,x0),则直线 MN 的方程为 y-x2=2x0(x-x0). 0

x0 令 y=0,得 M( 2 ,0), x2-x2 t2 2t2 0 所以 kPM= x = ,kNQ= =x0+x. 2t-x0 x0-x 0 t- 2 因为 NQ⊥ QP,且两直线斜率存在, 2t2 所以 kPM·NQ=-1,即 k · +x)=-1, (x 2t-x0 0 2t2x+2t 整理,得 x0= .① 1-2t2 又 Q(x,x2)在直线 PM 上, 2xt → → 则MQ与MP共线,得 x0= ,② x+t 由① ,得 ② 2t2x+2t 2xt = (t>0), 1-2t2 x+t

x2+1 2 2 所以 t=- 3x ,所以 t≥3或 t≤-3(舍去). 2 所以所求 t 的最小值为3. x2 y2 11.如图,已知 F(2,0)为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的右焦点,AB 为椭圆的通 径(过焦点且垂直于长轴的弦),线段 OF 的垂直平分线与椭圆相交于两点 C、D, 且∠ CAD=90° .

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(1)求椭圆的方程; (2)设过点 F 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆相交于两点 P、Q.若存在一定点 E(m,0),使得 x 轴上的任意一点(异于点 E、F)到直线 EP、EQ 的距离相等,求 m 的值. b a2-1 b2 解析:(1)F(2,0),则 A(2, a ),C(1,y0),D(1,-y0),其中 y0= . a b2 → b2 → 所以AC=(-1,y0- a ),AD=(-1,-y0- a ). → AD → AD → 因为∠ CAD=90° ,所以AC⊥→ ,即AC· =0. 所以
4 b2(a2-1) b4 2 b 1=y0- 2,即 - 2=1,解得 2

a

a

a

a2=6,所以 b2=2.

x2 y2 可得椭圆方程为 6 + 2 =1. (2)设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),直线 l 的方程为 y=k(x-2)(k≠0).
2 2 ?x y ? + =1 由? 6 2 得 ?y=k(x-2) ?

(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0. 12k2-6 12k2 所以 x1+x2= ,x1·2= x . 1+3k2 1+3k2 根据题意,x 轴平分∠ PEQ,则直线 EP、EQ 的倾斜角互补,即 KEP+KEQ= 0. 设 E(m,0),则有 y1 y2 + =0.(当 x1=m 或 x2=m 时不合题意) x1-m x2-m k(x1-2) k(x2-2) + =0. x1-m x2-m

将 y1=k(x1-2),y2=k(x2-2)代入上式,得

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又 k≠0,所以 即 即

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x1-2 x2-2 + =0. x1-m x2-m

(x1-2)(x2-m)+(x2-2)(x1-m) =0. (x1-m)(x2-m) 2x1x2-(m+2)(x1+x2)+4m =0, (x1-m)(x2-m)

2x1x2-(m+2)(x1+x2)+4m=0. 12k2-6 12k2 将 x1+x2= ,x1x2= 代入, 1+3k2 1+3k2 解得 m=3.

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