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3.2.1一元二次不等式及其解法教案 北师大版必修5

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课题 课型 新授课

3.2.1 一元二次不等式及其解法 第 1 课时 课时 备课时间 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系, 掌握图象法解一元二次不等式的方法; 培养数形结合的能 力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑 思维能力; 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和 通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、 方程的联 系,获得一元二次不等式的解法 激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精 神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

知识与技能 教学 目 标

过程与方法

情感态度与价值观 重点 难点

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系

教学方法 教学过程

1.课题导入
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材 P84 互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一元二次不等式模型:

x2 ? 5x ? 0 …………………………(1)
2.讲授新课 1)一元二次不等式的定义
象 x ? 5x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元
2

二次不等式

2)探究一元二次不等式 x2 ? 5x ? 0 的解集
怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x2 ? 5x 的图象,如图,观察函数图象,可知: 当 x<0 ,或 x>5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时, y>0, 即

x2 ? 5x ? 0 ;当 0<x<5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y<0,即 x2 ? 5x ? 0 ;所以,不等式 x2 ? 5x ? 0 的解集是 ?x | 0 ? x ? 5? ,从而解决了本节开始时
提出的问题。 3)探究一般的一元二次不等式的解法 任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 , 总 可 以 化 为 以 下 两 种 形 式 :

ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)
用心 专心 爱心 -1-

一般地,怎样确定一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解集呢?
2 2

组织讨论,总结讨论结果:
2 (l)抛物线 y ? ax ? bx ? c (a> 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一

元二次方程 ax ? bx ? c =0 的判别式 ? ? b ? 4ac 三种取值情况(Δ> 0,Δ=0,Δ<0)来
2 2

确定.因此,要分二种情况讨论 (2)a<0 可以转化为 a>0 分 Δ>O,Δ=0,Δ<0 三种情况,得到一元二次不等式 ax ? bx ? c >0 与 ax ? bx ? c <0 的解
2 2

集 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集: 设 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的 两 根 为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,

? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 86 页的表格)
??0 ??0 ??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集
[范例讲解] 例2

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

(课本第 87 页)求不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.
2
2

解:因为 ? ? 0 , 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ?

1 . 2
-2-

用心 专心 爱心

所以,原不等式的解集是 ? x x ?

? ?

1? ? 2?

例 3 (课本第 88 页)解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

因为 ? ? 0 , 方程 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 无实数解, 所以不等式 x
2

? 2x ? 3 ? 0 的解集是 ? .

从而,原不等式的解集是 ? .

3.随堂练习
课本第 89 的练习 1(1) 、 ( 3) 、 (5) 、 (7)

4.课时小结
解一元二次不等式的步骤: ① 将二次项系数化为“+” :A= ax ? bx ? c >0(或<0)(a>0)
2

② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x2 , ?

?若A ? 0,则x ? x1或 ? x2; ?若A ? 0,则x1 ? x ? x2 .

?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x2 = x0 , ?若A ? 0,则x ? ?; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?
ⅲ. ? <0 时,方程无解, ? ③ 写出解集.

?若A ? 0,则x ? R; ?若A ? 0,则x ? ?.

5.评价设计
课本第 89 页习题 3.2[A]组第 1 题 教学反思

用心 专心 爱心

-3-


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